黄广华

摘  要：学生数学核心素养结构包括学科事实概念、学科思想方法以及学科价值观念等。从某种意义上说，从学科知识到核心素养的演变、转化，其根本旨趣就在于让数学教学超越传统“双基”的桎梏，用学科思想或价值观来引领教学、引领学生活动。在这个过程中，教师要超越“冰冷的知识”，激活学生“火热的思考”。学生数学素养的生成过程是数学学科知识被重新发现、质疑、批判、思想的过程。

关键词：学科知识;核心素养;学科教学

发展学生核心素养是当下课程与教学改革的总的方向。面对信息社会的挑战，以学科知识为核心、为逻辑的课程与教学正越来越困窘、越来越尴尬。“从学科知识到核心素养”不是一句口号，而是实实在在的发展、改革趋向。“从关注学科到关注人，从关注知识到关注素养” [1]，需要教师智性的教学实践。核心素养需要知识，但知识绝不等于核心素养。以数学学科为例，核心素养是学生适应社会的必备品格和关键能力。有专家认为，新课标所提出的十大核心概念就是核心素养，具体包括数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识;也有专家认为，数学核心素养包括六大方面，就是数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。无论怎样分析，都表明数学核心素养不是单一的，而是一个具有多层次、多结构的复合体。本文以《圆的周长》为例，试探学生掌握学科事实性知识到形成数学核心素养的过程嬗变。

一、知性认知：从核心素养视角设置教学目标

教学目标是教学的原点和归宿，对教学有着导向性作用。教学目标不仅涉及知识性目标，更涉及能力性目标、情意性目标等;不仅涉及基础性目标，而且涉及发展性目标、提升性目标等;不仅有短期目标，更有长期目标等。尽管这些目标内容、表现形态不同，但都指向学生数学核心素养生成。

确立数学教学目标，必须有两方面的观照：其一是对学科知识逻辑的观照;其二是对学生具体学情的观照 [2]。学科事实性知识逻辑属于本体性知识，是学生核心素养的重要组成部分。尽管学科本体性知识并不是学科素养，但学科素养一定离不开学科本体性知识。没有学科本体性知识，学科素养就是无源之水、无本之木。由此，观照数学学科本体性知識也就是确定教学目标的必然。对于《圆的周长》知识而言，教师既要让学生认识“周长”“圆的周长”等陈述性知识，也要让学生掌握测量圆的周长等操作性、程序性知识;既要让学生理解测量圆的周长的化曲为直的显性知识，要让学生感悟圆出于方、方出于矩等蕴含极限思想的隐性知识。这些程序性知识、隐性知识等是学生数学素养的内核，需要学生在学习中慢慢感悟，对学生今后数学学习发挥着潜在作用。

比如测量圆的周长的程序性知识，就需要引导学生思考“怎样才算滚了一整圈”（做记号、滚动时不能打滑等），引导学生思考“用线绕着圆一周时要注意什么？”（线要尽量贴着圆的周长等）。在这个过程中，有学生甚至感悟到“应该用尽量大一些的圆做实验，因为圆越大误差越小因而探究出的圆周率越精准”。再比如感悟极限思想的隐性知识，需要教师运用多媒体课件动态展示刘徽的割圆术，从正六边形到正十二边形，从正十二边形到正二十四边形……。在割圆的过程中，学生通过“看”，能对“正多边形无限接近圆”“正多边形就是圆”等形成本质直观，进而感悟到“极限”的鲜活思想。这种极限思想的感悟，对学生后续学习圆的面积、圆柱的体积等都具有重要的意义和价值。

观照学生具体学情，主要是指教师要认识学生“已经认识了什么”“还应当认识什么”“怎样进行这种认识”等，在知识上、技能上、思想方法上，等等。如笔者在教学前，通过调查研究发现，学生已经知道了圆周率的存在，部分学生知道圆周率用π表示，少部分学生知道圆周率就是圆的周长和直径的比值，但学生对圆的周长没有进行过动手的探究，因而对圆周率的理解比较肤浅，停留在“知道”层面。从效果上说，学科知识逻辑是确定教学目标的逻辑起点，而学生具体学情是确定教学目标的现实起点。

基于对学科知识逻辑和学生具体学情的把脉，笔者在教学中设置了这样的教学目标：①在感知圆滚动过程中认识圆周上的点所经过的路线，并能描述这种路线;②通过“滚圆法”“绕圆法”探索圆的周长，培养学生观察、操作、分析、比较的能力;③深入理解圆周率的意义，感受、体验圆周率是一个无限不循环小数。这样的教学目标设置，既关注了数学知识，更关注了学生的数学核心素养。

二、智性实践：从核心素养视角展开教学设计

理性思考是智性实践的前提。只有对教学目标进行深度思考，才能展开有效的教学设计。如果说教学目标是一种规划，那么教学设计就是构建蓝图 [3]。核心素养视野下的教学设计是基于教学目标的，是为了学生发展的，是指向学生、借助学生、成全学生的。从教学目标出发，遵循学生认知发展规律，在学生原有知识经验基础上展开。通过教学设计，引导学生经历数学知识的“再创造”，从而建构学生可能性学习。

1. 在“数学实验”中形成学法

①看一看：课件出示学生生活中圆形物体中的圆，比如圆镜的镶边框，让学生感知圆的周长，也就是一周边线的长度。

②摸一摸：教师出示学生已学图形，要求学生指出它们的周长。在此基础上出示圆形，同样要求学生指出周长。在比画过程中，学生能感受、体验到已学图形的周长（直线）和圆形周长（曲线）的联系和区别。

③测一测：这些图形的周长怎样测量呢？已学的直线图形的周长可以运用直尺直接测量，而圆形的周长是曲线，又应怎样测量呢？从而激发学生思考，引导学生探究，从而导引出“滚圆法”和“绕圆法”。

通过数学实验，学生已学会了测量圆的周长。通过测量，学生能深刻感受、体验到圆是一种曲线图形，领悟到“化曲为直”的思想方法。

2. 在“圆的轨迹”中激发冲突

对于教学来说，测量圆的周长不是目的，而是探究圆周率的手段。在数学实验中，有学生会形成这样的认知，即对于任何一个圆，都可以运用测量的方法求得周长。教学中，笔者设置了这样的环节：

1. 转一转：用一个细的绳子系住重物，然后甩动重物，形成一个圆形的轨迹。

2. 想一想：对于轨迹圆，如何“测量”出其周长呢？什么决定圆的周长的长短？

3. 猜一猜：探究圆的周长和直径的关系，或者探究圆的周长和半径的关系。

4. 算一算：圆的周长和直径的商。

教学预设：学生计算圆的周长和直径的比值一定会产生不一致。具体而言，这是由于两方面的原因：其一是由于学生测量工具、测量材料、观察等主观性因素的影响;其二是由于圆周率π本身就是一个无理数（无限不循环小数），这就从根本上决定了学生计算圆的周长和直径的比值不是一个确定的数。面对不一致，教师不是被动回避，而是正面引导，让学生深度思考：为什么圆的周长和直径的比值是一个不确定的数。如此，不仅提升学生的操作技能，而且有助于激发学生思考。

3. 在“数据思辨”中建构知识

教学中，笔者设置了这样的一个环节，就是让学生对每个小组计算的圆的周长和直径的比值进行研讨。

问题1：圆的周长与直径之间有没有倍数关系？

问题2：如果有倍数关系，为什么会各不相同？如果没有倍数关系，为什么又会接近某一个数值？

通过这样的思辨，让学生认识到圆的周长和直径之间有着明确的倍数关系，但是这种倍数关系不同于以前的整数倍、小数倍，而是不同的数，从而让学生感受、体验圆周率的存在。

4. 在“历史回望”中清晰认知

在学生感受到圆的周长和直径的比值的存在后，笔者运用多媒体课件向学生介绍圆周率，从而培养学生科学求真精神。比如向学生介绍《周髀算经》中的“周三径一”说法，向学生介绍刘徽的“割圆术”，向学生介绍祖冲之对圆周率的探索，向学生介绍英国数学家琼斯用π来表示圆周率的故事，向学生介绍德国数学家朗伯证明圆周率π是一个无理数的故事，向学生介绍德国数学家林德曼证明圆周率是一种超越数的故事，向学生介绍现代计算机已经将圆周率计算精确到小数点后十万亿位，等等。

三、理性思考：从核心素养视角促发教学反思

对于小学生来说，圆周率知识属于一种“超验性”知识，但却可以通过经验性猜想、验证、探究等活动，让学生触摸到圆周率内核、灵魂。着眼于“圆周率”这样的学科本体性知识，教师完全可以运用“单刀直入”式的教学方式，在学生测量、计算基础上告诉。但这样的教学，不利于发展学生数学核心素养，包括主动质疑、理性思辨、深度探究等能力，对此学生不得不向教师妥协。而引导学生对圆周率知识进行深度探究，让学生经历人类探索知识的历程，重走人类探究圆周率的关键之路，就能提升学生数学核心素养 [4]。

学科核心素养至少呈现为三种形态，即“结果形态”“过程形态”和“价值形态”。从结果上看，学科核心素养是由事实性知识、概念性知识以及方法性知识、价值性知识等构成的一种“层级结构” [5]。就《圆的周长》这一课的教学而言，认识圆周长、认识圆周率π都是一种事实性知识，而探究圆的周长、计算圆的周长和直径的比值等是一种方法性知識，如何运用圆周长公式进行计算的知识则属于一种价值性知识;从过程上看，学科核心素养是由事实性知识、概念性知识以及方法性知识、价值性知识等组成的“顺序结构”，比如从“数学实验”到“认知冲突”，从“数据思辨”到“历史回望”，学生数学学习是一个逐步提升、深化的过程。比如对于圆的周长与直径之间的倍数关系进行思辨，就具有一种问题价值，正是通过思辨圆的周长和直径之间的倍数关系，学生才能感悟到圆周率的真谛，即圆周率既是客观存在的，其小数部分的数的出现又是没有规律的。而运用轨迹圆唤起学生对圆的周长与直径关系、圆的周长与半径关系的猜想，就具有很深的价值旨趣，它让学生明确了为什么要探究圆的周长与直径之间的关系;从价值上看，学科核心素养是事实性知识、概念性知识以及方法性知识、价值性知识组成的“层核结构”，其中以探究圆周率为载体，让学生形成“极限思想”是学生数学学习的内核，这个内核具有包摄性、迁移性，是一种“高观点”“大观念”“深思想”，这些观点、观念、思想等就是学生的数学核心素养，它们是超越数学事实性知识的。

学生数学核心素养结构包括学科事实概念、学科思想方法以及学科价值观念等。从某种意义上说，从学科本体知识到核心素养的演变、转化，其根本旨趣就在于让数学教学超越传统的“双基”的桎梏 [6]，用学科思想或学科价值观来引领教学，从学科思想和学科价值观角度来设计教学或者说来引领学生数学活动。在这个过程中，教师要超越“冰冷的本体性知识”，激活学生“火热的数学思考” [7]。在数学本体性知识被重新发现、质疑、批判和运思过程中，学生的数学核心素养悄然生成！

参考文献：

[1]  中华人民共和国教育部. 普通高中语文课程标准[S]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]  龚怡祖. 学科的内在建构路径与知识运行机制[J]. 教育研究， 2013（9）.

[3]  邵朝友，崔允漷. 指向核心素养的教学方案设计：大观念的视角[J].全球教育展望， 2017（6）.

[4]  郑毓信. “数学核心素养”之我见[J]. 教育视界，2016（8）.

[5]  殷容仪. 循序渐进的教学是培养学科核心素养的有效路径[J]. 数学通报，2017（1）.

[6]  郭思乐. 改革核心：课程与教学的再造[J]. 人民教育，2015（4）.

[7]  钟启泉. 教学方法：概念的诠释[J]. 教育研究，2017（1）.