杨晓洁

[摘  要] 多元表征理论的内涵实际是指的一种学习原则，它是指在数学学习中，不应该让学生的认知只停留于表面特征，而应该是一种结合了动作、听觉、视觉，进入深度学习状态的“思维运动”. 文章以高中数学“等差数列”一课的教学设计为例，深入解析多元化表征理论在高中数学教学中的应用与实践.

[关键词] 多元表征;高中数学;等差数列;实践

最早源于迪因斯所提出的“多元具体化原则”的数学多元表征，在经过了无数数学家以及教育家的实践与验证后，仍旧没有一个比较清晰且详细的概念定义，但对于它的基本含义目前已经达成共识. 数学多元表征简言之，是指数学表现出的语言化、视觉化等多种不同本质的表征，数学这些多元化表征是学生进行数学学习的一个载体，也是一种方法. 如果将数学这些多元表征具象化和概括化，可以分为动作、肖像和符号. 动作表征是指数学操作特征;肖像表征是指数学文字表面特征;符号表征是指数学知识的内涵与本质. 目前存在于高中数学教学中的问题是，教育者容易侧重于某一表征的学习，有的重表面理论讲解轻实践;有的重操作却不与数学本质相联系;有的忽视动作表征与肖像表征的经历过程，而直接进入相对较为抽象的数学核心......不同表征代表着不同程度的思维活动，只有将三种表征融于一体实施教学，才能够实现多元表征的深度学习. 本文以“等差数列”教学过程为例，对基于多元表征原则下的高中数学教学实践进行深入研究.

多元表征下“等差数列”教学设计与过程

等差数列是苏教版高中数学必修5的内容，它是等比数列的基础，也是高考重点内容. 等差数列在现实生活中被广泛应用，是培养高中生数学应用能力的最佳素材. 等差数列是引导高中生开始对特殊数列进行探究的起始课，在学生对数列进行后续学习时，在知识与方法上均有着促进作用. 高中生在此阶段，数学概括力与分析力均已具备，对于数列也并不完全陌生，并具备了一定的运用数学公式的技能，思维开始从经验性向抽象性发展，但对于抽象逻辑关系的理解还需要借助必要的具象材料. 基于此，为了实现数学多元表征的融合，本课通过情境创建（肖像表征）、多媒体辅助教学（动作表征）和自主探究（符号表征）等多种教学方法和教学形式，引导学生进行思维上的深层次参与. 具体教学过程如下：

1. 创建问题情境

师：一起看视频.

视频1：2008年北京奥运会女子举重回放. 女子举重按体重设置了七个级别，较轻的四个级别分別是48，53，58，63.

视频2：为了保持水库里的鱼享有良好环境，管理员通过定期放水清理水库. 某水库水位是18米，每天自然放水使水位下降2.5米，最低降到5米. 自放水第一天到能够进行清理的时间，每天水库水位的数为18，15.5，13，10.5，8，5.5.

师：大家想一想这些数据说明了什么问题，每行数是否存在共同点？

绘制表格，并启发：大家可不可以用数学语言对表格中每行的数所具有的共同特征进行描述？

（设计意图：两个视频充分说明数学与生活具有紧密的联系，生活中有数学，数学应用于生活. 从生活中抽离出数学问题，就是从肖像表征向符号表征过渡，揭示该数学研究的本质是数，因此抛开情境背景，以表格的形式抽象出此数列的特征. ）

生：后一项和前一项差是常数.

这时老师通过几组反例加深学生对数列共同特征“同一常数，从第二项起”的深刻理解.

师：现在可不可以用数学语言来表述一下？

生：an-an+1=d.

师：是否等价？

生：应该加上“d是常数”，n≥2，n∈N*.

师：非常好，那么在生活中有没有其他具有此特征的数列的例子？

生：成年女性的鞋码是21，21.5，22， 22.5，23，23.5，24，24.5，25.

......

师：的确，有很多具有这种特征的数列，我们可以给它起个什么样的名字？

生：等差数列.

师：我们再回到刚才的表格，计算一下它们的公差？有没有好的办法把数列中的数统一起来？

生：如果可以求出通项公式，问题就简单了.

2. 多媒体进行启发引导

师：如果一个数列是公差为d的等差数列，那么的通项公式是什么？

生1：（通过计算得出了）an=a1+（n-1）d.

师：归纳是从第几项开始的？

生1：第2项，因此n≥2.

师：如果n等于1呢？

生1：同样成立，所以等差数列通项公式是“an=a1+（n-1）d（n∈N*）”.

师：非常棒，那么是不是还存在别的推导方法？

生2用迭代法进行了现场演示，并得出结论.

老师将该学生推导过程通过多媒体进行再现，并引导学生按此思路尝试寻找到更多方法. 学生均感到有些困难，这时进行启发：看看第一个方法中第一个式子，是不是可以找到什么规律？

生3：还可以采用累加……

老师对通项公式推导方法进行总结，并归纳它们的共同特点，加深学生印象.

3. 应用探究

多媒体出示例题，让学生选出代表进行现场讲解.

例题1：求等差数列“8，5，2，…”第20项;“-401”是不是等差数列“-5，-9，-13，…”中的一项，如果是，它是第几项？

例题2：假设数列通项公式是“an=pn+q”，且p和q为常数，p≠0，那么是否能判断该数列为等差数列？如果是，公差和首项是什么？

师：大家刚才讲解得很好，现在再仔细观察数列通项公式，是否感觉它有些熟悉，与我们之前学过的一些内容相似，大家想到了什么？

很自然地引出一次函数.

师：通过一次函数图像特点，是不是也可以将等差数列图像作出来？

鼓励学生用几何画板进行现场绘制. 最后通过多媒体播放幻灯片：“一次函数‘y=px+q和等差数列‘an=pn+q的比较”，让学生进行直观观察.

4. 总结和作业布置

师：尝试用语言描述一下你今天的所学.

不限制标准答案，主要调动学生的参与性，有回答不完整的可以让其他人帮助补充，从而锻炼学生归纳、概括以及表达能力，同时用多媒体将学生的归纳用表格形式呈现出来. 最后布置作业，作业分必答和選答，必答作业为阅读和书面作业，选答作业是一道“弹性作业”：从等差数列定义中是否可以推导出“等和数列”，它会有怎样的定义和性质？

多元表征下高中数学深度学习的实践反思

在问题情境的引导下，让学生自主开展探究，给高中生数学学习提供了多样化选择，这对于帮助学生从数学表面特征走向深层次的本质内涵有着重要的促进作用. 在问题情境的“催发”下，学生的探究心理更加强烈，参与度也很高. 在探究过程中会积极地进行观察、猜想和推理，这使知识构建与知识理解的过程更加主动.

数学教学中，最主要的是教会学生在遇到实际问题时应该采取怎样的思维方式，以及如何找到有效的解决方法. 多元表征背景下的教学过程，引导学生通过运用猜想、归纳等数学思想方法去自主探究问题解决的方法与途径，是数学思想方法的一种自然渗透，也是数学核心素养的重要内容.

让多媒体走进数学课堂，是将数学多元化表征最直观地展现于学生面前的最佳方法，愉快而轻松的动感演示，让抽象的表征变得形象丰富，调动学生听觉、视觉等多种感官获取有用的信息，这对于突破教学重点，化解知识难点起到了关键作用. 最后作业的设计，完全是建立在尊重学生个性差异的基础上，通过必答与选答让学习更具选择性，学生可以根据自己的“实力”去努力完成，这在某种程度上更会激发学生学习的积极性，而开放性问题的设计则凸显了注重学生进行数学实践的理念.

结语

数学的多元表征，是包括了数学文字、公式、概念、性质的“数”，以及涵盖了模型、图形、图像的“形”，所以在高中数学教学中，多元表征本质上就是数形结合的多种形式. 虽然目前多元表征的数学学习并没有可循之法，但只要教育者能够把握住这个内涵，运用多种形式与方法，引导学生在学习中进行实践再实践，认识再认识，创造再创造，深度学习就会自然发生.