姚少辉

[摘  要] 数学是用概念思维的，因而高中数学概念的教学，应当把学生思维能力的发展置于教学过程的核心地位，竭力做到为思维而教;奥苏贝尔“先行组织者”策略，旨在构造恰到好处的“组织者”，充分释放“组织者”的领导力，为思维学习搭台建桥、沟通联系，启发学生思维，增强思维的自觉性、合理性和深效性，并在思维中体验数学家创造概念的心路历程，领悟概念背后的思想真谛，学会用概念思维.

[关键词] 高中数学;概念教学;思维教学;“先行组织者”策略

恩格斯说：“在一定意义上，科学的内容就是概念的体系.”“数学概念是形成数学思想方法的出发点.”高中数学概念教学本质上是一种思维教学的过程， 所以“为思维而教”是提升高中数学概念教学质效的核心问题. 从教学行为理论的观点来看，教学应当集中关注学生的进步或发展，“学生有无进步或发展是教学有没有效益的唯一指标”，而高中数学概念的教學应当本着“造就思维，改善思维，提升思维”的宗旨，竭力为学生学习概念搭建“组织者”，用适度轻松、灵活的方式发动学生思维的引擎，让学生通过深思熟虑透视概念的本质内涵，并体验概念所蕴含的思维规律. 本文着重就以下几点阐述奥苏贝尔“先行组织者”的使用策略，及其对推动思维学习活动的意义.

找准支撑点，撬动自觉思维

“为思维而教”的基本任务是撬动自觉思维. 数学是思维的体操，数学教学须着力于启迪学生的思维、发展学生的智力. 高中阶段的数学内容是近代数学基础理论中的精华，其中涉及的基本概念几乎涵盖了数学的所有思维哲学和思想方法，找准支撑点，设计好数学概念教学的“组织者”，有助于撬动思维自觉进行.

奥苏贝尔“先行组织者”策略认为，学习新知识时，由于新旧知识间的差别有可能被两者的相似性所掩盖，导致对内涵的理解混淆，教学可运用“比较性组织者”，帮助学生先分清新旧知识间的异同，以增强新旧知识间的可辨别性，从而将概括性观念渗入到学生的认知结构中，完成对新旧知识的同化.

下面以高中“函数的概念”为例分析“先行组织者”的对策及意义. 初、高中关于函数概念的表述不尽相同，初中只强调变量之间的依赖关系，这与高中的“对应关系”的描述是有差别的. 教学时，在简单回顾初中的函数概念后，提出问题“y=2是一个函数吗”充当“先行组织者”，是比较容易引起学生的辨析性思考的. 事实上，多数学生会给出否定的回答（或不置可否）. 这时，教师应果断提出问题“如果y=2是函数，应当怎样理解该函数所反映的变量之间的关系呢？”这又是一个有较强“比较性”的问题，能够激发学生自觉进行反思性思维，有助于学生得出“不管自变量x取什么值，函数值y都为2”的结论，经过思考分析，至少可以把两个观念固定下来，一个就是“依赖关系是属于一般‘对应关系中的一种（派生）”;另一个就是“自变量应当有一个可取值范围（非空的数集），也就是‘对应应当发生于两个非空数集之间”. 基于这样的观念，学生就比较容易理解函数概念的更具抽象化的定义：函数是两个非空数集之间的单值对应.

在这个教学过程中，学生并没有多少探究活动，更多是基于“组织者”和“已认知的函数”之间的辨析与思考，这恰好是有意义学习的必备条件，和所能达到的最佳效果，这样的“组织者”确实起到撬动自觉思维的作用，是一个好的支点.

选好切入点，促成合理思维

“为思维而教”的关键环节在于如何促成合理思维. 奥苏贝尔曾说过这样的话：“如果不得不把教育心理学的全部内容简约成一条原理的话，我会说，影响学习的最重要的因素是学生已知的内容，弄清这一点之后，再进行相应的教学. ”这就是说教学所使用的“组织者”，可能是学生认知结构中概括水平较低的知识经验，教师要从这种耳熟能详的“组织者”着手，凝练出“问题实质”，作为引领思维的切入点，去促成学生对新知识的合理思考与概括学习.

下面就以“函数的单调性”的教学为例，谈谈“组织者”策略是怎么促成学生“合理思维”的. “函数值随着自变量的增加而增加（或减小）”，是学生对单调性的认知经验，而且，诸如一次函数、反比例函数、二次函数等函数，学生通过它们的图像，基本能了解单调性的特征，但在此基础上要过渡到用数学符号语言来描述函数的单调性，这对教与学来说都是一个难点. 研究者注意到学生知识经验中有“当k>0时，直线y=kx+b呈递增变化;当k<0时，直线y=kx+b呈递减变化”的经验，理论上这一点恰好是“函数的单调性”的“种属属性”，基此就可提出问题“能否用类似直线f（x）=kx+b中的k的符号来描述单调性的定义”来充当概念学习的“解析性组织者”，紧接着的问题“如果用直线上的两个相异点来表示k，会有什么规律”就是为学生研究单调性的定义（抽象表述）而进行思维发现选好了切入点，有了这种“组织者”的引领和启发，学生就会尝试运用“种属”的方式来进行类的一般性概括与解释，从而进行诸如以下的合理思维与学习建构.

由直线的单调性过渡到一般函数的单调性，一方面，学生通过思维分析，可以认识到在描述单调性定义上，直线型与非直线型函数的区别只在于其k为常数还是为变量的不同而已;另一方面，在函数的某一个完整的定义子区间内，考察任意两点之间的直线，总有变量k>0（或k<0）的情形是可以同化为“函数单调性的定义”的，也即“在某一个定义子区间内，任取有大小关系的两个自变量，它们所对应的函数值也恒有大小关系，则函数在此区间上就有单调性，即单调递增或递减”. 通过这种思维认知的过程，学生比较容易形成辩证的或“运动”的认知观点和方法.

挖掘生长点，助力深效思维

“为思维而教”的根本目标是助力学生达成深效思维. 奥苏贝尔认为“有意义学习必然以有意义的知识内容和已有的知识经验为基础，加上学习者的学习心向，三者缺一不可”. 有意义学习的发生总是在学生的认知结构和所学材料之间有一潜在的配合，而“先行组织者”则使这种配合成为可能. 研究者认为在高中数学概念教学中，运用恰当的“先行组织者”，有助于化解“认知冲突”，进而挖掘出思维的生长点，推动思维向纵深发展. 下面就以“对数概念”的教学为例分析“先行组织者”策略在助力学生深效思维上的运用.

恩格斯曾把“对数”列为十七世纪的三大数学发明之一，其创立推动了天文学和数学的长足发展，这说明“对数” 在数学中的重要地位. 忽略其发明创造的根源，只由实例引入定义的教学，学生对定义的理解，会停留在指数式与对数式的互化上去认识对数，“对数”定义似乎只是“指数”名称的一种变换而已，学生未能领会到“对数的意义”，更谈不上领悟概念背后的思想，这就是一种“认知冲突”.

为了克服这种冲突，就必须把学生對概念的学习，转变为再思考、再发现的过程. 教学时，可通过多种方式让学生先简单了解“对数的发明史”. 当然，如果事先能提出问题：“分析纳皮尔发明对数运算的历史缘由，你能简述对数运算是一个怎样的思想过程吗？”让学生透过史料，思索“对数”的思维本质，意义会更大些.

接着用问题“追溯纳皮尔的初衷，他是怎样来简化两个复杂数字（天文数字）的乘积的”作为“先行组织者”，笔者认为这应当是个思维生长点，真正的思维教学就是从这里开始的，因为这能引导学生把思考“所得”与已有知识经验“正数的任何次幂是正数”对接起来，悟出“发明对数”的思想本原——任何正数都可以转换为同一个正的底数（必须不为1）的指数幂，基于这个性质，在减少大量重复运算的情况下（算法思想），就可以把数的乘法都转化为某一个底数的幂的运算来进行，那么，就可以通过“人工计算”的方式造出“积数”的对照表（预制数表），对照数表查出你所要运算的“积数”，这些就是发明对数的“思想与初衷”. 当然，查表只解决了计算上的困难，还没有上升到概念定义. “纳皮尔在实践中觉察到查表之缺：表再大，也难以表示精确值;或者，理论上存在的对数，表中是查不到的”，如果把这个作为“组织者”，就能够把学生的思维引向更深，加上老师及时地启发，学生是不难发现诸如“表中，以10为底数，幂为105的那个‘对数不是精确值;正数π的‘对数是查不到的”的例子. 如果这些“触点”使纳皮尔萌发了“造新数——对数符号logaN”的想法，那么，这不正是学生通过深效思维“理解”对数概念的又一个生长点吗！经过这样深刻而有效地思维学习过程，学生完全能完成对“对数概念”的理解与固化：其一，“logaN”不单纯是一个符号，它也是一个确定的数，它满足：正数a的logaN次方的结果为N，也就是说，如果ax=N（a>0，a≠1），则可以得到x=logaN;其二，“logaN”也是一种运算，即求以a为底数时正数N的对数，这个“对数结果”也是底数为a、幂的结果为N的幂的指数. 这就是“先行组织者”策略所领导出来的最深效的思维结果.

数学的思维过程如果用语言文字来表达的话，显得啰唆且冗长，甚至难以精确其意. 但究其实际，却是环环相扣、结构严谨、精妙绝伦. 有人说，真正的数学思维过程是一个发现美、创造美和享受美的过程. 试想，学数学不用思考、无须思维，那么数学还能给人留下什么？数学教学应当在潜移默化中影响着学生的思维，造就着学生的思维，让学生在思维的考验中领略数学知识背后的思想与本质. 奥苏贝尔“先行组织者”的对策理念，在于通过创造具有领导力的组织者，来发动思维认知指向更深刻、更丰富的知识内涵与本质，最终达成有意义的学习和建构.