谢天翊

摘 要：数学学科作为高中数学中难度较大的学科，面对数学问题的解答，掌握一定的解题方法十分重要。学生只有具备了扎实的理论知识，灵活的解题方法，具备清晰的解题逻辑，面对困难的数学问题才能得到解答。基于此，本文针对立体几何中十分常见的夹角问题进行了研究分析，从线面夹角、二面角以及线线夹角三个方面进行了分析，以期能够更加有效的处理好夹角问题，能够让学生不再受到立体几何难题的困扰。

关键词：高中数学；立体几何；夹角问题；解题方法

引言：在高中阶段，数学学科一直是相对困难的一个学科，无论是学生的学习还是教师的教学，都需要花费大量的精力对数学进行研究。在高中数学中立体几何是十分重要的问题，在高考题目中占据着很大的比例，对于学生而言，解答立体几何这类问题也十分困难。教师面对这样的困境，必须要加强对学生解题方法的教学，帮助学生能够掌握更有效的解题方法，让立体几何的相关问题能够迎刃而解。

一、线和面形成的夹角

针对直线和面形成的夹角，假设在平面A上，存在一个向量n，那么PP0与A平面形成的夹角也就是θ，这样能够得到 的公式为 。

例如：在三棱柱中，存在CA=CB、AB=AA1且 =60°。求证明AB和AC是互相垂直的；假设平面ABC是和平面AA1B1B是相互垂直的，且AB和CB的长度是相等的，在这个条件下，求出直线A1C与平面BB1C1C所形成夹角的正弦值。

对于这道题目，我们首先做出直线AB的重点为O，然后将OC、A1B、A1O两点相连接。由于AB和AA1是相等的，那么 =60°，可以推论出三角形BAA1是正三角形，也就是说A1O适合AB相互垂直的。由于CA和CB的值是相等的，所以可以得出CO是和AB相垂直的。由于CO A1O=O，那么就可以得到AB和COA1是相互垂直的，也就是说AB和A1C是相互垂直的。

根据已知条件，我们能够了解到CO适合AB互相垂直的，OA1适合AB互相垂直的，平面ABC是和平面ABB1A1互相垂直的，面ABC 面ABB1A1=AB。因此OC也就垂直于平面ABB1A1，OC也就垂直于OA1。因此，将O作为坐标的原点，将OA的方向定义为正方向，OA的长度也就是单位长度，建立直角坐标系之后，能够获得各个点的坐标，进行求解。最终能够获得正弦值的值为 。

二、二面角

在二面角中，两个平面上个存在一个法向量，假设二面角的大小是大于零且小于π的，那么 。平面上一个法向量代表着平面的一点，另一个平面上的法向量代表着的一点指向角内部。否则二面角中发出法向量的时候，θ=π-（n1，n2）[1]。

例如：在一个三棱柱中，AA1C1C是正方形，平面ABC是和平面AA1C1C互相垂直的，AB的值为3，BC的值为5。AA1适合平面ABC互相垂直的，求二面角A1-BC1-B1余弦值。同时需要证明BC1上是存在一点D能够让AD和A1B互相垂直的，将BD和BC1的比值求出来。

由于在四边形AA1C1C是正方形，且AA1是和AC相互垂直的，由于平面ABC是和平面AA1C1C是互相垂直的，直线AA1也是垂直于AC，因此可以得到AA1适合AB互相垂直的。根据题目的已知条件，将A作为原点进行坐标系的建立，这样能够获得各个点的坐标，对余弦值进行计算。

三、线和线形成的夹角

假设存在异面直线ab，而在ab上存在两个向量，异面直线形成的夹角也就是 [2]。

例如：在一个直三棱柱中，AB和AC是互相垂直的，AB和AC的值都是2，AA1的值是4，BC的中点是D。根据已知条件，对异面直线A1B和C1D所形成的夹角余弦值进行计算，还需要求出两个平面ADC1、ABA1所形成的夹角的正弦值。

在这道题目中，我们能够了解到这道题目所考察的是异面直线、向量以及二面角的相关问题，在这道题目中需要使用向量解题方法进行题目的解答。以A作为原点建立直角坐标系，在直角坐标系中能够得到各个点的坐标。然后能够获得直线的向量，这样也就能够对二面角进行解答。根据直角坐标系能够知道，A点的坐标为（0，0，0），B的坐标为（2，0，0），C点的坐标为（0，2，0），D点的坐标为（1，1，0），C1点的坐标为（0.2.4）。因此向量 也就是（2，0，-4），向量 也就是（1，-1，-4）。这样就能够计算出夹角余弦值，也就是 。

在第二个问题中，由于平面ABA1上的法向量是 ，假设在平面ADC1上存在一个法向量，由于该法向量和AD以及AC1是相互垂直的，能够得出方程式，得到答案。在获得平面ADC1法向量的值的基础上，能够对二面角的正弦值进行解答。假设平面ADC1上的法向量n是（x，y，z），那么能够得到x+y=0，2y+4z=0，z的值是1，也就得到了x的值是2，y的值是-2.这样向量n也就是（2，-2，1）。那么二面角的正弦值也就能夠得出 。

结论：综上所述，本文对高中数学中难度较大的立体几何夹角问题进行了研究分析，通过例题讲解的方式从线面夹角、二面角以及线线夹角三个方面进行了系统的分析。面对立体几何的夹角问题，首先需要对题目进行彻底的分析，对题目中提到的以及隐藏的已知条件全部找出来，对已知条件进行分析。然后根据已知条件确定自己的解题思路，通过建立直角坐标系、做辅助线、做辅助点等多种方式，将问题转化成计算问题，对夹角问题进行解答。

参考文献：

[1]平克.让立体几何变得不再“立体”——浅谈高中数学教学中“肢解”立体几何[J].数学教学通讯，2018（30）：42-43.

[2]韩蕊.立体几何比较研究——人教版与北师大版高中数学教材“立体几何”部分的比较[J].考试周刊，2018（81）：81.