王慧英

摘 要：笔者从六上“圆环面积”这一课配套练习的一道错题中，发现学生少有画图解决问题的策略。同一道题的两种不同教法，让笔者体会到如何去提升学生画图能力的教学培养方法，更让笔者体会到虽是简单的“画个草图”而已，但对于我们的教学而言却是一点也“草”不得，每一步扎扎实实就可以促进学生“草图”的精确和精致，解题的高质和高效，更能进一步地提升学生数学素养。

关键词：错例；分析；草图；画图能力；培养

一、缘起一错题

以下这个错例是在六年级上册学生学习完“圆环面积”这一内容后的配套课堂作业中出现的。原题是：在直径为9m的圆形花坛外面有一条宽1m的环形小路，这条小路的面积是多少？

改作时，笔者大吃一惊。学生课堂反应良好，但是这道题的错误率却接近了50%。很多平时成绩优秀的学生也被这道题拉下了马。于是笔者急匆匆地跑进教室，找了好几个同学，问他们圆环面积怎么计算，结果一个个都胸有成竹地说了出来。那这到底是怎么回事呢？笔者又找了两个错得比较有代表性且平时善于口头表达的学生做进一步的了解。以下是我们的谈话记录：

错解图1：（访谈生1）

师：能给老师解释一下“3.14×[（9+1）÷2]2-3.14×（9÷2）2”这个算式的意思吗？

生1：前半部分是外圆面积呀，后半部分是內圆面积呀，减一下不就是圆环的面积了吗？（此时还对自己的解题过程信心满满）

师：那老师请你再仔细地读一下题，并且想象一下这个花坛和小路的样子！

生1细心读题两次，思索片刻……

生1：不对，外圆半径应该是5.5米！

师：为什么呢？

生1：9米是直径，小路宽1米，那么外圆的直径应该是11米的，我把那边的1米给漏掉了！

错解图2：（访谈生2）

师：你能给老师解释一下“（9÷2）2×3.14-（1÷2）2×3.14”这个算式的意思吗？

生2：因为是直径，所以要先除以2再求圆面积。

师（想作提醒）：9是谁的直径呀？

生2（很确定的样子）：外圆呀！

师：那你仔细读读题，看看9和1各表示什么意思？

生2读题后还是一脸的困惑。（估计题目做错了，他心情也不好）

师：好吧！我们不急，你试着画画这个花坛，再理解看看。

生2读题并画图，再次理解，然后正确解答了题目。

二、原因多分析

通过对学生的访谈和思考把原因归纳为以下几点：

1. 先期新课的负迁移。在之前圆环面积的教学中，教材的选材和练习直接告之学生外圆、内圆的半径的较多，偶有较难的也就告之学生直径或周长进行转化再计算，基本上书上的习题也都配了图。

2. 学生的空间观念较弱。不得不承认，出现这么高的错误率，学生的空间观念一定是不够强的。相对于长方形、正方形、圆的面积计算，圆环的面积计算更加复杂。因为长方形、正方形在学生的生活中处处可见，学生在折纸等活动中经常会接触到。可圆环的内容出现得相对较少。而小学生的空间观念绝大部分依赖于生活经验的积累。因此学生在圆环这个内容上的空间观念较弱也是可以理解的。

3. 学生对直观的依赖性较强。新教材为我们的教学提供了丰富的情境教学资源，与此同时，学生也在学习中产生了一定的依赖性，习惯于从图中去获取信息，从图中去分析信息。本题的信息呈现方式并没有把解题的最主要信息直接呈现出来，以致像生2这样的学生即便通过再读题也无法弄清题意。

对学生的访谈让笔者恍然大悟，问题的症结在于：学生根据文字叙述找不出解决问题的条件。也就是说，对于题中出现的信息，学生没能很好地进行分析。生1平时思维很敏捷，学习成绩也不错。在和他的访谈过程中，笔者只是让他多读了两次题，就快速找到了自己错在什么地方，而生2在最后是借助了画图解决了问题。分析思考这两位学生的订正过程，笔者想到：是不是可以借助画个草图的方法来让学生明晰题中的信息，帮助他们理解题意，从而达到正确解题的目的。

三、教学试改进

到别班去教学时，笔者改变了教学方法，由原先的让学生自主练习改成了共同探讨练习，以期让学生体会到用草图来分析图意的好处。

问：一下子想不出办法怎么办？

这题只有文字叙述，具有一定的挑战性，学生往往不能直接看出要求的图形，以及几个数量之间的关系。这时，笔者没让学生直接画图，而是通过“这题要求我们求什么？这个形状是什么样子的？我们需要哪些条件？可用什么方法帮助我们更清楚地整理题中的条件和问题？”，在坦然面对困难的情况下诱发学生产生心理需要“一下子想不出方法怎么办呢？”，这就需要一种方法帮助自己理解题意、理清思路。此时，学生想起了画图，主动采用画图的策略。

画：交流中促画法，草图不草！

既然学生心中已有画图的需要，再加上是六年级的学生，笔者开始让他们自主动手画图。此时，有的学生拿出圆规、尺子像模像样地开始画图；有的学生寥寥数笔；也有的学生不知从何入手，眼看着同桌先画……

接下去，我们对学生画的图进行了交流比较，建立了对于画图帮助解题的标准：这样画图的目的是帮助我们理解题意，所以不需要很精确，但是数字上要有一个大小的比例；图形尽可能接近标准；标注信息很重要。有了这样的标准，既可以加快画图的速度，又能帮助我们分析题意，得到自己想要的信息。到最后，在学生和教师的互动中，大家把一道文字题变成了一幅看似简单却并不简单的“直观图”，此时学生发现题目原来并不难，于是对解题跃跃欲试。

解题：水到渠成。

当文字叙述的抽象转化为图画时的直观，学生就将数和形的意义对应了起来，对数量关系也就一目了然了。大部分学生结合已有旧知都能解决问题，正确率也较高。（课后改作统计错误率降为7%）此时学生自然会对画图的方法产生兴趣和好感，让学生在“文字”和“图形”两者的比较中体会画图的价值。

四、反思促成长

正是因为有了这道题高错题率的沉重打击和改进后的成功喜悦，笔者好好反思了学生画图解题的现状，寻找了可以改进的方法。

反思学生画图现状：会做题的学生不画图，不会做题的学生想不到画图，也找不到画图的思路。利用画图来解决实际问题的意识不强或是很淡。画图的能力也是参差不齐，利用画图来检验解题过程和结果的学生更是寥寥无几。

反思教师教学现状：画图策略在考查中并不是一个显性内容，而且要教学到位，需要教师在教学中花很多时间和精力，更由于教材中对画图策略和方法的指导没有专门的教学内容，造成了教师们对此块内容认识不够，或教学方法不对等情况，最终导致教学不到位。

反思总结点滴方法：

1. 情感、情境两入手，体验画图的价值

在教学中，给予学生安全感是学生放开手脚大胆尝试的情感保障。我们要多用鼓励性的语言去激发学生尝试，比如：要不，我们试试？我们来挑战一下，相信你们可以的……多用肯定性的、发现的语言去安慰尝试失败的学生，比如：原来你的图里还有大小比例的关系，你还标注过信息……能力的习得还有一个延续性，小学生在学习的过程中容易出现不良的情感因素，我们也要在这个过程中给予学生足够的耐心和等待。

在题目设计和教学过程中，我们要设置情境，让学生感受到解决问题时的一些困难，进而产生寻求策略的需要，然后借助画图策略解决问题，深刻体会从难到易的过程，感受到画图解决问题的好处，体会成就感，从而体会到画图策略的价值性。

2. 强化画图過程的指导，提高画图的效率

学生画图能力的培养是一个循序渐进、螺旋上升的过程。从一年级跟着老师画一一对应的草图到三年级跟着老师画简单的线段图，再到高年级自己尝试画示意图，内容和形式上都是一个不断提升的过程。后续的画图能力需要前面的思维分析能力和动手探究能力作基础，并且需要掌握一些正确的画图方法，这就需要教师在这一过程中进行一些指导，发挥教师的主导作用。

3. 重视策略和方法的评析，提升画图的素养

教学中，可运用对比评价的教学手段，让学生运用集体的智慧和力量进行画图过程和结果的评析。在分析的过程中，把图和文字结合起来交流，深刻领会数和形之间的关系，能让学生灵活地把数量关系的问题转化为图形的问题，把图形的问题转化为数量关系的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化。在方法的对比中，要渗透图形的比例大小和数字大小之间的关系把握，也要提高学生标注信息的能力。简单地画图，也可以从各方面提升学生的数学素养。

只是画个草图而已，可以让学生的学习由难到易；只是画个草图而已，可以让学生的思维从抽象到具体；也只是画个草图而已，可以提升学生数学学习的综合素养……草图虽草，但只要我们好好利用，善引导，勤渗透，相信学生的思考力、理解力以及创造力一定会有所提高。