张煜琳

【摘要】“一题多解”题目从不同角度、不同层次来考虑问题，在解题过程中不仅可以重新复习、深刻理解知识点，还能让学生体会多种数学思想方法，提高解题效率.本文以江苏高考数学模拟题中的一道“一题多解”题目为例，浅谈自己的思考.

【关键词】“一题多解”；数学思想方法；高考题

題目已知△ABC中，BC=2，G为△ABC的重心，且满足AG⊥BG，则△ABC的面积的最大值为.

这道题是代数与几何的结合，不仅考查了学生对代数与几何知识的掌握，还可以通过分析学生解决这道题的不同方法，了解学生更擅长哪种思维方法，是一道难得的好题.

分析这道题目虽然简短，但是信息量很大，首先我们可以罗列一下题目给出的条件：

（1）BC=2.

（2）G为△ABC的重心，由这个条件，又可以推出三条隐含的条件：

① 连接GC，延长AG交BC于点D，则GA，GB，GC把△ABC分成了三个面积相等的三角形，即S△ABG=S△BCG=S△ACG=13S△ABC；

② GA+GB+GC=0；

③ |GA|∶|GD|=2∶1.

（3）AG⊥BG，这个条件我们可以转化为AG·BG=0.

分析条件的过程，体现了隐含条件思想，把题目中没有明确表达出来的隐含内容翻译出来，这也是学生应掌握的思想方法之一.

思路一建立平面直角坐标系，将△ABC放到平面直角坐标系中，借助直角坐标系来解答.几何图形与平面直角坐标系结合，是一种数形结合的数学思想方法，利用数形结合，可将问题化繁为简，化难为易，是解决几何问题常见方法之一.

法1以BC所在直线为横轴，BC中垂线为纵轴建系，则B（-1，0），C（1，0），设A（x，y）位于x轴上方.

∵点G为△ABC的重心，由三角形重心坐标公式可知，Gx3，y3.

又∵A（x，y），B（-1，0），

∴GA=2x3，2y3，GB=-1-x3，-y3.

∵AG⊥BG，∴GA·GB=0，

即2x3·-1-x3+2y3·-y3=0.

整理后可以得到x+322+y2=94.

∵x+322≥0，∴y2≤94.

又∵y≥0，∴y≤32，∴ymax=32，

∴S△ABCmax=12×2×32=32.

小结：由于BC长度已知，所以以……