吴巧 张俊忠

【内容摘要】APOS理论是数学教育领域中关于数学概念学习过程研究的理论，对于如何进行数学概念的教学具有重要的指导意义。一元二次方程的概念是九年级数学的内容，为了帮助学生理解掌握这个概念，应用APOS理论进行了“一元二次方程概念”的教学设计，并进一步阐述理论与实际的结合。

【关键词】APOS理论 一元二次方程概念 教学设计

一、APOS理论概述

APOS理论提出学生学习数学概念要经历“活动（Action）”、“过程（Process）”、“对象（Object）”、“图式（Scheme）”4个阶段，取这四个阶段英文单词的首字母，定名为APOS理论。该理论认为在数学概念学习中通过引导个体经过思维的活动、过程和对象等阶段后，个体一般能在建构、反思的基础上把它们组合成图式从而理清问题情境并顺利解决问题。

活动阶段的目的是为了在具体的情境中反省出相关的数学关系式，进而奠定学生认知新概念的基础，而不是引起学生的认知冲突。当活动阶段激发了学生对于新概念的认知欲望，但无法提供直接的数学概念，需要在过程阶段对其在活动阶段所产生的初步印象进行进一步的活动，在发现本质特征的基础上进一步探究问题的实质。在对象阶段，需要对前两个阶段所抽象出的概念进行形式化和符号化，使其变得更加精准和简洁。图式阶段是将概念作为一个具体的对象，能够区分其与其他相近概念之间的区别，并应用到现实生活，解决一般的数学问题或是生活问题，在学生头脑中形成清晰的概念图式。

二、“一元二次方程概念”教学四阶段的设计

1.活动阶段

活动1：用多媒体出示一块长100厘米，宽未知，面积为5000平方厘米的长方形铁皮，请学生列式子①求出这块铁皮的宽。

活动2：仍是那一块铁皮，在它的四角各切去一个正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为3600平方厘米，那么铁皮各角应切去多大的正方形？通过动画演示折起和打开的过程，引导学生列出式子②。

活动3：要设计一座高2m的人体雕像，使它的上部与下部的高度比，等于下部与全部的高度比，求雕像的下部应设计为多少米？通过多媒体演示，将文字转化为图形，引导学生列出式子③。

2.过程阶段

活动4：观察以上3个式子有什么区别，又有什么共同点？教师可引导学生判断第①个式子是否是我们已经学过的方程，帮助学生回忆起一元一次方程的概念，唤起学生已有的经验。在寻找异同点时，类比一元一次方程的概念，主要探討：有几个未知数、未知数的最高次数为多少、是否为方程这三方面的异同点。

通过讨论：学生可以发现第①个式子是一元、最高次数为、有等号是方程，也就是他们所熟悉的一元一次方程。而第②和③个式子都是一元、最高次数为2、有等号是方程。通过类比一元一次方程的概念，学生可以初步感知这两个式子是一元二次方程，并掌握一元二次方程的三个基本属性。

3.对象阶段

活动5：怎样用数学语言来描述一元二次方程？这一问题对于学生来说较为抽象，也是教学中的难点。在教学过程中可以通过小组讨论类比一元一次方程的描述，结合上面具体的两个方程，给出一元二次方程的定义。

小组1：有的小组直接根据式子②与③将具体的数字换成字母代替，写成（a-bx）（c-dx）=m或者a-bx=cx2，在这个过程中，能够发现学生没有掌握一元二次方程的实质，无法通过本质属性来表示概念。

小组2：类比一元一次方程ax+b=0，有的小组会讨论得出一元二次方程的一般式为ax2+bx=0，在这个过程中，有的学生会提出方程②与③不符合这个形式，除了含有ax2+bx这个式子，它们后面还加减上了一个常数，所以学生认为这个式子不是正确的一般式。

小组3：经过前两组学生的展示，思维程度较高的学生容易给出一元二次方程的一般式为ax2+bx+c=0。请学生将式子②与③化成这种一般式的形式，并根据这个一般式说出该式中含有几个未知数，未知数的最高次数是多少，是否是方程。在给出这个一般式时，大部分学生都会同意这个表达，并无对此表示是否有什么限定条件的思考。

活动6：反思辨析，深化概念

（1）   提问：a可以为0吗？

同学们能很快答出a不能为0，并给出解释当a为0时，该方程没有二次的项。同时能够牢记a不等于0这一条件限制。

（2）   提问：b、c可以为0 吗？

通过对一元二次方程三个本质属性的强调，学生发现b和c可以为0，故ax2+bx=0，ax2+c=0为一元二次方程的特殊式。

（3）提问：=可以换为>或<或≠吗？

同学们很快能分辨出不能，根据方程的定义是含有未知数的等式叫做方程，要是方程就必须是等式，因此=不可以替换为其他符号。在此时，教师可进一步提出，将等号替换为其他符号所得到的式子为一元二次不等式。

活动7：归纳总结

通过以上几个活动的探究，引导学生归纳：

（1）只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0的方程叫做一元二次方程。

（2）一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理都能化成形式ax2+bx+c=0（a≠0）。这种形式叫做一元二次方程的一般形式。

（四）图式阶段

活动8：用一元二次方程的概念解决一般问题

（1）将方程5x（x-1）=4（x+2）化为一般形式。

（2）关于x的方程（2a-4）x2-2x+a=0，在什么条件下为一元二次方程？在什么条件下为一元一次方程？

（3）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知长方形门的高比宽高6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？

（4）请根据所给方程：（16-2x）（10-2x）=112，联系实际，编写一道应用题。

三、进一步思考

本节课的设计是应用APOS 理论根据学生对“一元二次方程”的理解作出层层分析，设计了具体的教学流程。以“活动-过程-对象-图式”4个阶段展开，环环相扣，层层递进。本教学設计的主线是一元二次方程的概念教学，牢牢抓住一元二次方程的三个本质属性：几元，最高次数，是否方程。

首先通过活动阶段设计的3个活动，把学生引入了学习一元二次方程的情景中，利用具体的问题唤醒学生探索新知识的“生长点”。在活动阶段中，活动1是为了唤起学生已有的知识经验，能够根据具体的情境列出方程，激发学生学习的兴趣。活动2借助同一块铁皮，对其限制一些条件，就变成了不一样的问题，通过多媒体动画帮助学生理解题意，得到不一样的等式。活动3换了一个现实情境，挖掘生活中的数学元素，重复活动2的操作，学生从中可以得到反思，就会在头脑中对活动2和3进行建构和归类。学习是一个连续的过程，由活动1到活动2是一个递进的过程，在已有知识上的建构会比没有铺垫的建构来得自然和科学。

过程阶段对活动阶段的成果进行进一步的深化和利用，引导学生发现这几个式子的本质特征。通过教师抛出问题，学生去思考、类比、探究，帮助学生摒弃该概念的外延和非本质特征，对概念有进一步的认识。在活动4中，帮助学生明晰在定义一元二次方程时要注意的三个本质属性：一元、最高次数为2、是方程。在明确这三个本质属性的基础上，在学生进入对象阶段时更容易通过反思和操作去构建概念的形式化和符号化。若在过程阶段无法体现概念的本质特征，学生在理解上就很难实现从具体到抽象的顺利过渡。比如对象阶段活动5中的小组1的表述，对本质属性的理解不透彻，从而只从已有的现实实例中去进行抽象，明显是无法得出概念准确的一般描述。

由于在前两个阶段已经对概念的本质属性有了归纳，在对象阶段就要对这些本质属性进行抽象化和形式化，帮助学生将这几个抽象的本质经过符号化的语言建构成一个具体的对象，并在此基础上进行新的活动。在活动5中，通过学生自己讨论，阐述自己心目中的一元二次方程的一般表达式应该是怎样的。通过3组学生的描述，可以通过学生的描述来看学生对概念的建构。对于小组1的学生，对概念本质属性的探索还存在问题，可以发现他们在过程阶段没有掌握，没能在类比一元一次方程概念的基础上对一元二次方程概念进行准确概括。而对于小组2的同学，虽然对本质属性有了一定的认识，但是在对概念建构的过程中，没有考虑到还有常数的情况，没有认识完全的一般形式，所以就得到了一元二次方程一般形式中的一个特殊式。对于小组3的同学，在经过前两组学生的发言之后，基本上能够概括出一元二次方程的一般形式，并用一般形式来体现概念，但是也忽略了概念中的隐含限制a≠0。虽然三组学生对于概念的理解都不全面，但是能够看出每组学生都在通过操作、活动和反思，层层递进，逐步建构自身对一元二次方程概念的理解。由于学生对概念建构还存在不全面的情况，所以就有了反思辨析、深化概念的过程，也就是进行活动6的操作。通过提出3个问题，揭示一元二次方程概念中隐含的一些限制条件，比如说a≠0，学生能够通过自我反思获得这部分知识的构建，再将这个限制融入已经建构的概念。通过另外两个问题，请学生辨析b、c是否可以为0 ，是否一定要是等号，同时这个过程也是将本质属性进一步符号化的过程，有的学生知道一元二次方程的本质属性要是一个方程，但对于如何表示可能缺乏抽象的表示，通过问题3就能帮助学生明白为什么一定是要等号而不是其他的符号。通过辨析b、c是否可以为0，可以帮助学生通过反思了解一般式与特殊式之间的关系，能够帮助学生理解为什么要这样形式化和一般化。在整个对象阶段，通过一系列的活动，学生在头脑中基本构建了一元二次方程的概念，再通过一个归纳总结的活动，可以进一步加深和明晰概念，也会使学生在头脑中反思自己的概念，进而完善概念，理解概念。

最后是图式阶段，设置了多个问题与应用，有概念的应用，概念的考察和理解，概念的条件限制等。通过概念的考察正向地让学生去应用概念，而对条件的限制是帮助学生能够判定一个方程是否是一元二次方程，也是对概念理解的一个考察。当一个学生能够正反向地区分概念，就说明已经获得了概念的完整认识。通过引入《九章算术》中的方程问题，在帮助学生掌握概念的过程中也渗透了数学文化，培养学生对数学的兴趣。同时，一元二次方程也是刻画现实世界的重要模型，在图式阶段的最后一题中，要求学生根据方程去编写应用题。虽然在前面几个活动中我们从具体的问题中，描述出了这样一个模型，也对其本质进行了建构，但来自生活的模型总是要回归生活，去刻画我们的现实世界。当学生能够利用掌握的知识去刻画现实世界时，说明这个概念就形成了一个解决某一类问题的图式，实现了完整的概念教学。

APOS 理论在这节课上的应用，突出了学习数学的自然过程，调动了学生的思维，使得学生在课堂上充满了生机和活力。可见 APOS 理论可以作为数学概念教学的一个范式，能够有效提高数学教育的质量。

【参考文献】

[1]佟亮亮.APOS理论视角下数学概念教学模式的探究[D].东北师范大学，2013.

[2]乔连全.APOS：一种建构主义的数学学习理论[J]. 全球教育展望，2001（3）.

（作者单位：1.贵州师范大学数学科学学院硕士研究生;2.贵州师范学院数学与大数据学院教师）