杨刚

【摘要】波利亚在《怎样解题：数学思维的新方法》中提出“问题解决”的思维过程，将“问题解决”作为数学教育的重要内容。小学数学是基于问题解决的学科，利用“问题解决”教学思路来探讨小学生自主解答、解题方法多样性问题，更有助于引导小学生从“问题”中探究解题能力。

【关键词】小学数学 波利亚解题思想 问题解决

小学数学新课标将“问题解决”作为一项能力目标，并要求学生能够运用数学知识来解决数学实际问题。波利亚是著名的数学家，他提出的“问题解决”数学教育思想，将“问题解决”作为一门学科，并引导学生从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度等方面来获得数学解题能力。为此，接下来笔者将着重从“问题解决”思维培养上来进行探究和分析。

一、波利亚数学解题思维的一般方法

在面对数学问题时，“一个好的想法是如何想出来的”成为波利亚研究解题思维的关键点，也是贯穿于其著作《怎样解题：数学思维的新方法》一书中。解题思维是如何产生的，解题过程又是怎样的步骤？依据波利亚的解题理论，将之细化为四个步骤：弄清题意、拟定计划、实施计划、检验与回顾。第一步，了解题意是前提。每一道数学题，都有其语言陈述部分，应先了解提供了哪些已知条件，哪些是未知的，如何结合现有的条件来解决设定的问题。当然，在如何梳理解题步骤时，明确题意，了解现有的已知信息，将是获得解题思路的重要步骤。第二步是拟定解题的计划，也是解题思路的核心环节。当了解题意后，确立需要解决的问题，就需要从这些条件中来探究未知量与已知量之间的关系，如何拟定一个破解问题的方法。比如通过观察已知量，来获得未知量与已知量的某一关系，并按照这个关系来获得解题方法。当然，如果无法找到未知量与已知量之间的直接关系，这时就需要考虑辅助题目，要尝试其他解题路径来获得与原题目相关联的解题方案。第三步是实施计划，即对解题思路进行解答的过程。每一道数学题都需要从解题中来完成，通过确定解题计划，然后实施解题步骤，从而获得解题结果。如果计划是不完善的，则需要重新进行完善计划，再进行解题过程。事实上，在数学解题过程中，也会遇到一些困难，对原来设定的解题计划需要推翻重来。第四步是检验与回顾，这一环节主要是对前面所解题的方法进行检验，是否符合解题任务和目标，并对解题的答案正确性进行验算。小学数学中的验算也是对解题思路进行回顾的反向过程，通过检验，来确定解题思路的正确性，并为以后的解题提供知识积累。波利亚对第四步的检验与回顾给予充分的重视，并提出“领会方法的最佳时机”就是去检验计算的过程，增强小学生对数学问题的探究力。

二、以波利亚“问题解决”思路来解决小学数学问题

了解了波利亚“问题解决”解题思路，我们需要从小学数学问题的应用中来检验波利亚的解题思想。

1.以“问题解决”思路来探究人教版小学数学例题设置。

通过对人教版小学数学教材一至六年级相关数学例题的梳理，从宏观上来看，在小学一至三年级教材中，基于“问题解决”思路的例题数量相对较多，约有51道例题；四至六年级的“问题解决”思路的例题数量相对较少，约有30道例题。不过，从实际数学例题的安排来看，人教版教材对小学生数学解题能力是很关注的，特别是将数学知识与生活实际问题的联系，鼓励小学生从生活性数学问题中来应用数学意识。

2.“问题解决”解题思路的应用探析。

结合小学数学新课标，依托现有人教版小学数学教材，从“问题解决”思路来探析小学数学解题方法，主要是通过设置与“问题解决”相关联的教学内容，来体现小学数学教学特点。比如在教材知识点安排顺序上，往往在新知识之后安排与实际问题相关联的“实例”，让学生能够从前面所掌握的基本知识中，来解决实际的数学问题。比如在三年级上册第五单元有“倍数的认识”一课，该课教学目标是探讨“一个数是另一个数的几倍”问题。通过前面对“倍”的理解，让学生了解“倍”的概念及内涵，将之延伸到生活实际问题中，鼓励学生提高应用数学意识解决数学问题的能力。比如“已知一个数，求这个数的几倍是多少”，“求一个数是另一个数的几倍”等。在实例中，例2、例3都是实际问题，需要学生从“倍”数知识来解决，也是很好地将所学知识进行迁移實践的过程，体现了波利亚所强调的“问题解决”解题思维。

3.将“问题解决”应用到具体的问题呈现中。

如何呈现数学问题，如何教学生从数学问题中来提炼解题方法，并从解题后的检验与反思中解决实际问题。对于每一道数学例题的安排，都可以分成三个步骤来呈现“问题解决”。对于小学一、二年级的数学教材，由于小学生的数学思维具有形象化特点，因此在进行数学解题方法的呈现上，要以易于理解的语言表达来探析。比如在二年级下册第五单元有“混合运算”例题，主要考察小学生运用加法、减法或者只有乘法、除法的解题顺序。再如对于某一实际问题：我们需要烤90个面包，每次烤9个，已经烤了36个，问还需要烤几次才能烤完。对于该例题在进行“问题解决”思路分析时，首先要明确解题步骤：该题的已知是什么，其次是如何解决问题，最后是对解题的答案进行检验。正好印证了波利亚所提出的“问题解决”思路。本题已经告诉学生的有：每次能烤9个，一共需要90个，已经烤了36个；对这些信息的了解，有助于我们“弄清题意”。对于怎样解答，就需要从现有的已知、条件、未知之间的关系上，进行探究。我们可以将该问题设置为图表分析法，然后分析问题解决的具体操作过程，与波利亚所提出的“怎样解题表”中的“拟定计划”“实施计划”是一致的。在这个过程中，学生能够从中受到启发，并从题目的分析中，来设置相应的解题方法。比如问学生知道那些信息，每次烤9个；总共需要烤多少个？一共要烤90个；已经烤了多少个？已经烤了36个；还剩下多少个没有烤？90-36=54（个）；对于剩下的54个，如果每次烤9个，需要烤几次？可以得出54÷9=6（次）；这个解题思路是分步的，如果要列入综合算式，该如何进行表述呢？同样道理，我们先算出还剩下多少个没有烤，将（90-36）作为前提，然后计算出每次9个需要烤多少次？即（90-36）÷9=6（次）。

三、运用波利亚解题思想的几个建议

1.让学生多些自主解题的机会。

针对人教版小学数学教材中“问题解决”思想的运用，正好与波利亚的“怎样解题”思路具有一致性，从其解题思路细化来看，审清题意，分析解题方法，检验和回顾正好是贯穿始终的解题步骤。因此，对于小学低年级学生，要引导学生从题意梳理上，明确那些是已知的，那些是未知的，如何由已知来推导未知，得出解题思路，并将解题的过程交给学生，让学生从中来体验，渐进领会解题思想。

2.注重解题方法的多样性呈现。

对于小学数学问题的解决，人教版教材注重“问题解决”方法的训练，特别是从实际问题人手，来呈现多种解题思路，便于激发学生的数学解题意识，增进“一题多解”，促进学生发散思维的培养。

3.强调对解题过程的反思与检验。

波利亚“问题解决”思想注重解题方法的检验与回顾，对于小学生，应该养成良好的解题检验的习惯，特别是对于小学高年级学生，要注重解题反思，要突出解题方法的归纳与完整呈现，提升学生的数学解题能力。

总之，波利亚的数学教育思想十分丰富，教学中，我们应通过波利亚“问题解决”思路来解决小学数学问题，更好地优化教学，不断提高学生解题能力及自我总结能力，为学生核心素养的提升奠基。endprint