宗仲

[摘 要] 一个常见不等式lnx

[关键词] 加强不等式；启发；构造；等价变形；外接；证明

不等式问题一直是高考命题中的一个热点，对有些不等式的求解，常有学生不会变通或思维定式，导致因运算过繁而计算终止或弃而不解，针对这种情况，本文就结合教学中一个常见的不等式进行了加强和应用，帮助学生优化解题.

不等式lnx

证明：令f（x）=x-lnx，所以f′（x）=1-=，

所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）min=f（1）=1，所以x-lnx>1>0，所以x>lnx.

同理：令g（x）=ex-x，所以g′（x）=ex-1>0在（0，+∞）上恒成立，

所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，

所以g（x）min=g（0）=1，所以ex-x>1>0，所以ex>x.

综上：lnx

从图像上来深入研究：y=lnx的图像与y=ex的图像关于直线y=x对称.

（1）将y=lnx图像向上平移一个单位，将y=ex图像向右平移一个单位，

【加强1】 lnx+1≤x≤ex-1（当x=1时等号同时成立）.

（2）将y=lnx图像向左平移一个单位，将y=ex图像向右平移一个单位，

【加强2】 ln（x+1）≤x≤ex-1（等号不同时成立）.

（3）将y=lnx图像向上平移一个单位，将y=ex图像向下平移一个单位，

【加强3】 lnx+1≤x≤ex-1（等号不同时成立）.

（4）将y=lnx图像向左平移一個单位，将y=ex图像向下平移一个单位，

【加强4】 ln（x+1）≤x≤ex-1（当x=0时等号同时成立）.

（5）将lnx+1≤x变形？圯ln+1≤？圯-lnx+1≤？圯1-≤lnx，

【加强5】 ≤lnx≤x-1（当x=1时等号同时成立）.

（6）将x+1带入加强5中，

【加强6】 ≤ln（x+1）≤x（当x=0时等号同时成立）.

【加强不等式的应用】

例1：用二分法求方程lnx=在[1，2]上的近似值，取中点x=，则下一个有根区间为___________.

分析：计算f（x）=lnx-在x=1，x=2，x=处的符号，然后利用零点存在定理确定区间. 此时可利用加强5：≤lnx≤x-1，将x=代入即可得：≤ln≤<，再将x=2代入即可得：≤ln2≤1，故f（）=ln-<0.又因为f（2）=ln2->0，因此下一个有根区间为，2.

例2：求证：···…<（n≥2，n∈N*）.

分析：一般看到有关正整数的证明首选的方法便是数学归纳法，而这里我们发现仍然是跟lnx有关的问题，且不等式……