涂勇

[摘 要] 文章通过对三道高考题的数学背景的探索，试图挖掘高考压轴题的编制思路，并尝试了原创压轴题.

[关键词] 高考；压轴题；数学背景

高考压轴题以其创新的形式、思维的深度和灵活性著称，但压轴题也不会脱离数学的核心和本质，不是一味地追求技巧和复杂度，压轴题的背后往往有深刻的數学背景知识. 笔者在教学过程中，遇到几道高考压轴题，就是如此，下面做出说明.

例1 （2013广东理科第8题）

设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}，集合S={（x，y，z）x，y，z∈X，且三条件x

A. （y，z，w）∈S，（x，y，w）？埸S

B. （y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S

C. （y，z，w）？埸S，（x，y，w）∈S

D. （y，z，w）？埸S，（x，y，w）∈S

分析：答案是B. 本题可以通过取特殊值或者分类讨论得出结果，但这些方法都没有看清本题的数学本质. 笔者认为本题的数学背景是圆排列情形. 事实上，x

例2 （2013重庆理科第10题）在平面上，⊥，==1，=+，若<，则的取值范围是（ ）

A. 0，

B. ，

C. ，

D. ，

分析：答案是D. 笔者认为：本题的数学背景知识是平面四边形的四边平方和等于对角线平方和，也就是三角形的中线公式. 解法如下：本题中，OM既是△OAP又是△OB1B2的中线.利用中线公式，在△AOP中，有2（OA2+OP2）=（2OM）2+AP2；而在△OB1B2中，有2（OB+OB）=（2OM）2+B1B，于是有OA2+OP2=OB+OB=2.

例3 （2014湖北理科第14题）如图2，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且AB=2.

（Ⅰ）圆C的标准方程为________；

（Ⅱ）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：

①=；②-=2；③+=2，

其中正确结论的序号是_________. （写出所有正确结论的序号）

分析：本题的背景知识是：阿波罗尼斯圆和调和分割. 设EF为圆O的直径，若点B，A调和分割线段EF，而EF的中点为O，于是有结论：①对于圆上任意一点M（或N），=为定值；②OA·OB=OE2. 于是本题第（Ⅱ）问可以这样求解：由圆C的切割线定理可知OA·OB=OT2=1=OM2，于是B，A正好调和……