金卫雄

[摘 要] 一直以来我们都知道曲线系会遗漏曲线，但是一般认为只遗漏了一条.实际上远非如此，二次曲线系可以遗漏无数多条曲线. 哪些曲线被遗漏，遗漏原因是什么，怎样避免漏解，在理论上和应用上都需要梳理清楚. 文章将从一个实例出发，公布问题的发现及提出背景，进行初步研究，并在最后给出几个有用的结论，提出新的研究课题.

[关键词] 二次曲线系；遗漏；第二盲区；主轴方向

什么是“第二盲区”

众所周知，若两条曲线L1和L2的方程分别为f1（x，y）=0和f2（x，y）=0，则方程f1（x，y）+λf2（x，y）=0（λ∈R）表示过L1，L2交点（如果存在的话）的曲线，称该方程为曲线系方程. 这个曲线系方程遗漏了曲线L2，因此L2可以称作是该曲线系方程的一个“盲区”. 为了消除这个盲区，我们可以使用另一个曲线系方程：λ1f1（x，y）+λ2f2（x，y）=0（λ1，λ2∈R）. 这个方程中既没有漏掉L2，又没有漏掉L1，因此在理论研究中被广泛应用.

但是，在用上述的曲线系方程表示二次曲线系的时候，却隐藏着一个更大的盲区（为区别起见，不妨称之为第二盲区），这是一直没有被发现的. 为揭示其真相，让我们从一个简单的例子谈起：

例1：给定椭圆C：x2+=1，两条直线y=x+1、y=kx与C相交所得的点共圆，求k值及所共圆的方程.

解：（用曲线系）所给的两条直线可以合写成方程 （x-y+1）（kx-y）=0. 构造曲线系

（x-y+1）（kx-y）+λx2+-1=0（注意这里的“盲区”L2不是圆，因此不需考虑L2）. 整理为

（λ+k）x2-（1+k）xy+1+y2+kx-y-λ=0.

若此方程表示圆，则首先有λ+k=1+，1+k=0，解得k=-1，λ=4.代入曲线系方程得

x2+y2-x-y-=0.

经检验，确实表示圆.故k=-1且所求圆方程为x2+y2-x-y-=0.

这个看似轻松灵巧的解法，漏掉了当k=0和k=4时的两个解（将在后文中分析……