杨振

[摘  要] 衔接生长性几何题是近几年中考的常见题型，问题设置具有层次性、递进性和衔接性. 由于问题的条件、结论存在紧密的关联，所以求解时需要充分利用问题的关联性进行思维的递进思考. 本文结合中考题对生长性几何问题进行深度剖析，并开展解后反思，提出相应的教学建议，与读者交流、探讨.

[关键词] 几何;正方形;生长;衔接

真题解析，解法点评

考题1 （2017年安徽中考）已知一正方形ABCD，边AB的中点为M.

（1）如图1，点G为线段CM上一点，且∠AGB=90°，连接AG，BG，并延长，分别交边BC，CD于点E和点F.

①试证明：BE=CF;

②试证明：BE²=BC·CE.

（2）如图2，在边BC上取一点E，使其满足条件BE2=BC·CE，连接AE，交CM于点G，再连接BG并延长后交CD于点F，试求tan∠CBF的值.

分析 （1）①要证BE=CF，可以将其放在Rt△ABE和Rt△BCF中，通过证明三角形全等来获得. ②由于涉及边之间的乘积关系，所以可尝试通过三角形相似以及等角代换来证明，即先证明△CEG与△CGB相似，根据相似性质得CG²=CE·CB，然后结合CG=BE完成证明.

点评  本题为涉及正方形的几何综合题，主要考查正方形的性质，全等三角形，相似三角形的判定与性质，以及黄金分割点等知识. 本题有两个小问，两者之间有着紧密的联系. 第（2）问是对第（1）问的拓展生长，即后一问的条件是在前一问结论上的变式拓展，问题设计具有鲜明的层次性和递进性. 在问题的求解过程中，均是基于不同的条件进行问题转化，将待求结论放在基础图形中利用三角形全等或相似的性质来求解，尤其是第（2）问，巧妙地将第（1）问线段的等量关系转化为数学上的黄金……