杨振

[摘  要] 衔接生长性几何题是近几年中考的常见题型，问题设置具有层次性、递进性和衔接性. 由于问题的条件、结论存在紧密的关联，所以求解时需要充分利用问题的关联性进行思维的递进思考. 本文结合中考题对生长性几何问题进行深度剖析，并开展解后反思，提出相应的教学建议，与读者交流、探讨.

[关键词] 几何;正方形;生长;衔接

真题解析，解法点评

考题1 （2017年安徽中考）已知一正方形ABCD，边AB的中点为M.

（1）如图1，点G为线段CM上一点，且∠AGB=90°，连接AG，BG，并延长，分别交边BC，CD于点E和点F.

①试证明：BE=CF;

②试证明：BE²=BC·CE.

（2）如图2，在边BC上取一点E，使其满足条件BE2=BC·CE，连接AE，交CM于点G，再连接BG并延长后交CD于点F，试求tan∠CBF的值.

分析 （1）①要证BE=CF，可以将其放在Rt△ABE和Rt△BCF中，通过证明三角形全等来获得. ②由于涉及边之间的乘积关系，所以可尝试通过三角形相似以及等角代换来证明，即先证明△CEG与△CGB相似，根据相似性质得CG²=CE·CB，然后结合CG=BE完成证明.

点评  本题为涉及正方形的几何综合题，主要考查正方形的性质，全等三角形，相似三角形的判定与性质，以及黄金分割点等知识. 本题有两个小问，两者之间有着紧密的联系. 第（2）问是对第（1）问的拓展生长，即后一问的条件是在前一问结论上的变式拓展，问题设计具有鲜明的层次性和递进性. 在问题的求解过程中，均是基于不同的条件进行问题转化，将待求结论放在基础图形中利用三角形全等或相似的性质来求解，尤其是第（2）问，巧妙地将第（1）问线段的等量关系转化为数学上的黄金分割点，利用其线段的比例关系实现三角形正切的求值. 对于中考具有拔高生长性的问题，在求解后一问时需要充分利用前一问结论和解题思路的启示作用，基于问题情境进行转化，实现问题条件的衔接性思考，对待求结论进行拓展性分析.

考题衔接，题型再析

近几年中考几何综合题特别注重设问的层次性和递进性，初始问题起点较低，平淡中蕴含几何规律，之后的问题是对前者的衔接与拓展，可利用前一问题的结论逐步引导学生进行思维的深层探索，充分挖掘结论的一般性. 题型的设置呈现“低起点，高产出”的特点，下面笔者对同类型的几何综合题进行深度剖析.

考题2  （2015年四川甘孜、阿坝中考）现有一正方形ABCD，点E，F分别位于正方形的边BC，CD上，且AF与DE相交于点G，当点E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE;②AF⊥DE成立. 试探究下列问题：

（1）如图4，如果点E不为BC的中点，点F不为CD的中点，且CE=DF，试探究上述结论①②是否依然成立，并说明理由.

（2）如图5，如果点E，F分别在CB，DC的延长线上，且CE=DF，试判断上述结论①②是否依然成立. 如果成立，请写出具体的证明过程;如果不成立，请说明理由.

（3）如图6，在（2）成立的基础上，连接AE和EF，如果点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，试判断四边形MNPQ是“矩形”“菱形”“正方形”中的哪一种，并证明结论.

分析 （1）证明结论①②，可以将其放在三角形中，通过证明三角形全等来获得证明条件，如证明△ADF≌△DCE. 利用全等性质可得AF=DE，∠DAF=∠CDE，通过角度的代换可得∠ADG+∠DAF=90°，从而∠AGD=90°，于是AF⊥DE.

（2）同（1）的证明思路和步骤一样，此处不赘述.

评析 本题的设问采用“移步换景”的变换方式，对结论的探究从特殊到一般逐层递进，最终利用所证结论求证了后者的拓展性问题. 与考题1所不同的是，设问关系存在差异，考题1的设问主要是对条件与结论的转化，而考题2的设问则是对一般规律的逐步探索，以“求证—应用”的模式完成题型设置，总体来说均是对衔接、生长性问题设计的充分体现.

解后之思，教学之思

1. 学习衔接问题，提升解题思维

上述所解析的两道几何综合题均是衔接生长性的典型题，具有低起点、高产出的鲜明特点，问题的设置层层递进、环环相扣，逐步引导学生进行深层次的思维活动. 每一问的条件、结论、解题策略均不是独立存在的，对于后面的问题探索均有重要的启示作用. 该类题型的设计是对复杂问题的简化变形，其不仅可以充分调动学生的知识经验，还对学生的思维有一定的引导作用. 在实际教学中，教师可以合理地编排练习题，引导学生对问题的结论和条件进行变式、拓展，以提升学生思维的开放性、连续性和递进性，从而形成独立的解题思维.

2. 掌握基础知识，系统归纳整理

几何综合题一般来说涉及的知识点多、图形复杂、问题抽象，求解过程需要不断地对问题进行转化、变形，逐步建立起条件与结论之间的联系. 但无论问题的复杂程度如何，最终都需要利用几何基本性质和定理来求解. 以上述考题为例，解题过程涉及正方形的性质、全等三角形和相似三角形的性质及判定、三角形中線、三角函数等知识，因此基础知识的掌握程度直接影响着学生的解题效率. 教学中，我们要立足教材基础内容，引导学生掌握最基本的知识、技能、思想，并对基础知识进行系统整理，提升知识运用的灵活度.

3. 解读概念定义，提炼基本图形

图形几何作为初中数学的重要内容，中考基于该内容主要考查学生的思维能力和推理能力，尤其体现在具有衔接生长性的问题之中. 对该类问题的求解离不开对问题信息条件的整合、转化，以及对复合图形的提炼、分离. 对图形语言的表达、理解，以及对基本图形的提炼，都将影响解题思路的探索过程. 因此，在教学中，教师有必要对教材的概念、定理进行语言符号的相互转化，以帮助学生深度理解其本质内涵，同时需要结合直观的基本图形对公式、定理进行释义、解读，以促进学生对图形特征和性质的理解，从而有效提升学生提炼基本图形的能力.

结束语

具有衔接、生长性的几何综合题在问题设计上具有紧密的关联性，该类题不仅对学生的解题思路具有一定的引导作用，对学生的解题思维也具有拓展作用. 求解时，需要紧密把握问题之间的关联信息，有效利用已有条件、结论和思路进行思维深层拓展. 教学中，需要教师立足教材内容，扎实学生基础;开展概念、定义的语言互化，结合基本图形加深学生对公式、定理的理解，提升学生基本图形的提炼能力;适当地对习题进行变式、拓展，使学生形成独立的解题思维. 总之，初中教学是知识内容与推理思维的双重活动，结合考题进行实践教学可以提升教学的实效性.