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职业数学教学中特殊到一般的思想运用

2016-11-15程亚芳

数学教学通讯·高中版 2016年9期
关键词:特殊数学思想方法

程亚芳

[摘 要] 特殊到一般是数学中重要的思想方法,结合职业教育学生的特点,这种思想方法在职业数学中显得尤为重要. 结合一个教学内容的设计,谈谈特殊到一般思想的重要性.

[关键词] 特殊;一般;一元二次不等式;数学思想方法

众所周知,职业教育学生属于理性思维较弱、数学程度较差的,对于这样的学生如何使其在数学教学过程中不反感、合理参与成为职业数学教学的难点. 课程改革行进过程的同时,对于职业教育的方向也是不断地调整,笔者认为要想让职业数学教育更为恰当地实施,需要以下几方面的改变和措施:

第一,剥离形式化数学的过程和结果,以非形式化的手段和特殊化的方式作为职业数学教学的主要方向,结合职业生抽象思维能力弱这一特点,将特殊到一般的思想方法运用到教学中,并使其成为学生学习的主导思想.

第二,以往职业数学教学大都是“满堂灌”,加上职业生注意力集中时间短的特点,造成了大部分学生听不懂就不听,后续更听不懂,导致恶性循环,因此要改变参与的方式,尽可能多地让学生来讲述问题的解答和过程.

第三,鼓励学生积累数学问题从特殊情形的思考,进而转化为一般情形的学习经验,对于学习方式的总结和积累将大大增加职业学生的学习经验和生活经验.

笔者以一元二次不等式解法的设计,结合从特殊到一般的数学思想方法与读者一起探讨:在学生学习一元二次不等式求解方法的过程中会存在两方面的困难:一是要将一元二次方程、一元二次不等式与二次函数结合在一起,理解三者之间的关系,同时要借助一元二次函数的图像解一元二次不等式,需要学生具备一定的数形结合的思想.二是一元二次不等式的情况较多,考虑起来较复杂,需要学生具备一定的讨论和归纳总结能力,考虑问题时要全面,做到不重不漏.

[?] 温故知新 引入课题

让学生复习回顾上一节课所学习的内容,回顾一元二次不等式的解集的概念和a>0,a=0两种不等式的求解方法,以及解题的基本思想方法和一般步骤,并完成幻灯片上的练习题.

温故知新:解下列不等式,并回忆解不等式的一般步骤:(1)4x2-4x>15;(2)3x2-7x≤10.

预设:每个学生的掌握水平不一样,要根据学生的实际情况进行因材施教,根据题目的难易程度选择不同的学生进行回答,有利于学生自我价值的实现.引导学生回顾上节课总结的解题步骤:一判——判断对应方程的根;二求——求对应方程的根;三画——画出对应函数的图像;四解集——根据图像写出不等式的解集.

设计说明:给出两个特殊的不等式,通过练习来复习上一节课所学内容,使学生容易理解,同时为下面内容的引出做好铺垫.

[?] 合作探究 讲授新课

思考:回忆4x2-4x>15的解题步骤,画出解题程序框图.

预设:学生回顾思考,试探解决. 教师帮助学生整理归纳,得出完整的解题程序框图(如图1).

设计说明:由特殊到一般思想的介入,通过对具体问题的程序框图的解决,既做到复习,也为后续学习做好铺垫,使学生对不等式的解法在头脑中形成一个完整的框图步骤.

试一试:解下列不等式:(1)-x2+2x-3>0;(2)-6x2-x+2≤0.

预设:职业学生已经具备一定的类比模仿能力,大部分学生会根据二次项系数a>0的情况,类比来解决二次项系数a<0的不等式,这个过程是学生提升学习能力的过程,也是学生自主学习的体现.但是还有一小部分学习能力较弱的学生就需要教师的讲解和辅导.

设计说明:前面所解的不等式都是二次项系数a>0的情况,在教师的引导下,让学生类比尝试解决二次项系数a<0的不等式使学生所学习的内容逐步扩大,但是不影响学生的学习,使学生在类比学习中得到强化.

从特殊到一般的思想介入:对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式:ax2+bx+c>0,ax2+bx+c<0,可以先把二次项系数化成正数,再求解.

思考:大家是怎么解决这两个不等式的?

预设:部分学生能够将自己的解题步骤概括出一个方法来,但是还有部分学生只知道怎么解决问题,概括方法则有点困难,教师需要帮助引导归纳. 方法一:只要将a>0的二次函数图像关于x轴翻转变成开口向下的抛物线,再根据图像便可求得二次项系数a<0的一元二次不等式的解集. 方法二:先在不等式的两边同乘-1将二次项系数变为正数后,运用上节课所学习的方法来求解.

归纳总结:教师根据学生的回答进行归纳,总结二次项系数a<0的一元二次不等式的解题方法,形成解题步骤:一化——两边同乘-1化二次项系数为正数;二判——判断对应方程的根;三求——求对应方程的根;四画——画出相应的函数图像;五解集——根据图像写出不等式的解集.

[?] 学生讲题,形成网络

问题1:求不等式4x2-4x+1>0,-x2+2x-3>0的解集.

预设:学生独立讲解完成,教师板演点评.

归纳总结:列出一元二次不等式的解集与一元二次方程的根以及二次函数的图像之间的关系(表略).

预设:题组1的不等式,学生较容易掌握,都是类比课堂上的例题,可以运用一元二次不等式的解题程序框图(如图2)进行求解,但是教师需要强调计算的正确性.解题组2含参数的一元二次不等式的过程中,学生会有一定的困难,教师需要适当地进行引导,最后进行板演讲解. 题组3中也是含有参数的一元二次不等式,但在教师讲解题组2后学生解答起来会比较容易,困难不大,题型灵活新颖.

设计说明:课堂练习的题目难度、梯度递增,有助于学生掌握和巩固新知识.变式练习是让学生对原题的解题进行模仿,加深对原题的理解和认识,同时也加深了难度,有利于提高学生对知识的综合运用能力.

题组4:不等式x2+bx+c>0的解集为{xx>3或x<-1},求b,c.

变式1:不等式ax2+bx+2>0的解集为{x-2

变式2:不等式ax2+bx+2>0的解集为{x-20的解集.

设计说明:通过前面习题的练习和讲解,学生能够举一反三,解决题组4. 题组4中的两个变式较灵活,培养学生综合运用所学知识的能力,使学生对知识的掌握有一个梯度的提高过程.

[?] 回顾小结 深化延伸

课堂小结:通过本节课的学习,你的主要收获有哪些?(关键词:一元二次不等式的解题程序)

设计说明:先给出问题,要求学生自主小结,再推出引导性关键词,使得总结简明、到位、拔高,形成知识网络.

延伸拓展:不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,求a的取值范围.

设计说明:课后作业及时巩固初学的知识和方法,完善对一元二次不等式一般解法的掌握. 同时拓展练习能够锻炼学习较好的学生,同时为下节课的学习起到铺垫作用.

[?] 思想介入,引领深化

本课的主导是从学过的一元二次不等式4x2-4x>15的解法步骤出发,从特殊的案例回顾到努力寻求解决ax2+bx+c>0的一般情形. 但从教学实际来看,职业学生对于带有字母的抽象不等式立刻陷入了沉寂. 笔者将课堂教学的设计从题组1的全数字到题组2的单字母,再到题组3的双字母层层递进,这种设计是特殊到一般的数学方法的运用,学生对于这样的问题开始可以慢慢接受,课堂中走神、游离的学生也比较少,形成了一个循序渐进的学习过程. 相比以往的教学过程,笔者认为职业数学教学利用合理的思想方法有了一定的进步.

从这样的教学中,笔者也深深认识到了一般到特殊思想方法对于学生学习的重要性:第一,无论在学习何种章节的数学知识,笔者认为对于职业教学而言,这一思想都是经验化的总结,对于形式化程度要求并不高的职业数学教学而言是合适的;第二,这种思想在数学教学中的运用,还能激发学生对于生活方面的思考,很多实践都是特殊情况到一般情形的总结,思想方法的运用值得教师关注.

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