左卫兵

(华北水利水电大学 数学与信息科学学院，河南 郑州 450046)



辩证唯物论与广谱哲学关于数理哲学的比较研究
——从数理哲学角度解读《广谱哲学浅说》

左卫兵

(华北水利水电大学 数学与信息科学学院，河南 郑州 450046)

摘要：辩证唯物主义的数理哲学是用唯物辩证法的观点分析和考察数学问题。它的研究对象是“数量型数学”，即研究数量或变量及其关系的数学。广谱哲学把研究对象拓展到“结构型数学”，即研究结构量及其关系的数学。广谱哲学的数理哲学坚持了唯物辩证法的基本思想，同时由于它独特的研究对象而获得了更为普遍的结果。

关键词：辩证唯物论；广谱哲学；数理哲学；比较

张玉祥教授在著作《广谱哲学浅说》(以下简称《浅说》)中花了大量篇幅论述了作为广谱哲学数学基础的结构型数学，蕴含了数理哲学思想[1]。马克思主义的创始人马克思和恩格斯在创立和发展辩证唯物主义过程中，高度重视数学和数学中的哲学问题。恩格斯在《自然辩证法》和《反杜林论》中，阐发了从初等数学到高等数学的一系列哲学问题，包括数学理论的来源问题、数学理论的辩证法问题、数学理论的现实原型问题等。马克思的专著《数学手稿》则系统地揭开了“微分之谜”(微分是“0”还是“非0”的问题)。那么，辩证唯物主义的数理哲学与广谱哲学的数理哲学有什么联系和区别，后者对前者又有什么继承和发展？

一、辩证唯物主义对数量型数学的哲学研究

在马克思主义经典作家中，马克思和恩格斯最为详尽地研究了数学中的哲学问题。这一是为了检验辩证唯物主义在数学中的有效性、正确性(如恩格斯在《自然辩证法》中的相关论述)。二是为了回击对辩证唯物主义的攻击(如恩格斯在《反杜林论》中的相关论述)。为了便于和广谱哲学对结构型数学哲学研究进行比较，这里只列述马克思主义经典作家的有关观点。

第一，关于数学的研究对象。恩格斯指出：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料[2]35。这里的“空间形式”是指自然界中物体的几何形状，这个定义兼顾了几何学、算术和代数。显然，由于几何学是用数量关系刻画几何形状的，因此，这个定义可以简化为“数学是研究现实世界数量关系的科学”。于是，恩格斯的定义有两个含义：一是数学的研究对象是“数量关系”，二是这些数量关系来源于现实世界，而不是人们主观臆造的，后者体现了唯物主义“客观存在第一性”的观点。

第二，关于数学的现实原型。恩格斯从唯物主义认识论出发，认为“数和形的概念不是从其他地方，而是从现实世界得来的”[2]35。他从人们最初计数开始，讲到人的抽象能力的形成；从对自然界物体形状的比较开始，讲到形的概念的形成。特别指出“甚至数学上各种数量的明显的相互导出，也并不证明它们的先验的来源，而只是证明它们的合理的相互关系”[2]35。为了说明微分和积分的现实原型，恩格斯还专门设计了一个立方体放在硫磺蒸气中的凝结过程，水分子的蒸发(微分)和凝结(积分)过程[3]160-161，等等。同样地，列宁在回答不同领域的自然现象遵循同一个微分方程式疑问时指出，这反映了“自然界的统一性显示在关于各种现象领域的微分方程式的‘惊人的类似’中”[4]289。表1列举了恩格斯和列宁的主要观点。

从表1可以看出：第一，数量型数学的基本概念均有自己的现实原型，它们是客观存在的反映，而不是人脑主观臆造的人的“自由创造物”，甚至连“无限大”“无限小”这种无限量也不例外；第二，数量型数学的现实原型主要限于自然界或自然科学领域，没有也不可能涉及到社会科学或人文科学领域。这是因为，数量型数学要求研究对象有明确的数量及数量关系，而自然界的物体及其关系恰好具有这种特点。当涉及到人类社会时，比如涉及到人数增减运算时，人是作为自然物计算的。而人类社会中最根本的东西，例如人的性格(自卑、自大、顽固、偏执等)、人的价值取向(向善、求美、进步、升官等)，由于没有或表现不出明确的数量特征，因此，无法用数量型数学表述。

第三，关于数学的辩证法。马克思主义经典作家都高度重视数学成果所体现的辩证法思想，认为这是辩证唯物主义相应观点的具体体现或证明。例如，恩格斯在《自然辩证法》中对于初等数学和高等数学诸多内容辩证意义的分析，马克思在《数学手稿》中对于从导数到微分辩证过程和结果的分析等[5]1-9。表2给出了马克思主义经典作家对于数量型数学辩证意义的若干观点。

表2　部分数量型数学概念的辩证意义

从表2中可以看出：第一，无论是初等数学还是高等数学(微积分)，都涉及到辩证法的范畴，包括联系的观点、对立统一思想、异同关系、量变质变、辩证否定(扬弃)等等。特别地，即使在初等数学(常量数学)范围内，人们也会碰到辩证范畴，这揭示了辩证法的普遍意义。第二，由于数量型数学只能用于具有数量关系的对象，而哲学的概念、命题、原理等一般不具有数量特征，因此，它们不能成为哲学范畴(包括辩证法范畴)的数学模型，只能作为哲学范畴的特殊例证。例如表2中的微分和积分，就是列宁强调对立统一规律时举的一个例子[6]407。

概括起来说，马克思主义经典作家运用辩证唯物主义的观点，观察和分析数学问题，揭示了数量型数学的研究对象、客观原型和辩证意义，奠定了辩证唯物主义数理哲学的基础，也为数理哲学的发展指明了方向。但由于历史的局限性，马克思主义的经典作家不可能预测到数学发展的另一个方向——结构型数学的方向。事实上，在马克思、恩格斯时代，伽罗华开创的群论还处在萌芽阶段，而它对现代科学的划时代意义还没有被发掘出来；康托所创立的集合论还处在襁褓中(而且几近被扼杀)，它对于整个科学的意义还无人知晓；布巴基学派的结构主义还没有诞生，等等。在这样的社会历史条件下，辩证唯物主义的数理哲学只能局限于数量型数学领域，这是可以理解的。

二、广谱哲学对结构型数学的哲学研究

与辩证唯物主义的创始人研究数学中哲学问题的出发点不同，广谱哲学既不是为了论证在离散数学(集合论、关系论、映射论、变换论、结构论、图论等)中辩证唯物主义的正确性、有效性，也不是为了反击在离散数学领域中对辩证唯物主义的攻击，而是为了解决哲学命题的普遍性与精确性的矛盾，需要对离散数学的基本概念做出足够普遍性的哲学分析。广谱哲学做的主要工作表现在三个方面：

(一)提炼了结构型数学的概念和基本特征

数学从数量型数学到结构型数学经历了几个典型事件：一是伽罗华从求解代数方程到提出置换群(一种代数结构)，后者成为一般群论研究的基础；二是康托从研究数集和点集发展出朴素的集合论，后者是抽象集合论(建立在任意事物集合上的集合论)的基础；三是布巴基学派用三种数学结构(代数结构、序结构、拓扑结构)及其子结构的交叉、组合统一处理数学各分支的成就，它在现代数学的主要领域实现了数量型数学向结构型数学的转化。结构型数学“可以看成是数量型数学的一种扬弃(既发扬又抛弃)，既抛弃了数量型数学对数量关系的依赖性，又保留和发展了数量型数学的抽象结构关系特征”[1]205。

张玉祥教授多年悉心研究有关结构型数学的成果，发表了《广义量化及其模型方法》[7]145-159、《关于广义数学观的探讨》[8]等论文。《浅说》一书专辟一篇共14章专门通俗系统地介绍了结构型数学。

《浅说》在第21章开宗明义地指出，结构型数学是“研究结构量及其关系的科学”，其中“结构量是指建立在抽象集合上的关系及其组合，而抽象集合是指以一般事物(不限于数量)为元素的集合”[1]194。按照这个定义，通常的集合、二元关系、多元关系、等价关系、半序关系、映射、变换、同构、同态等都是结构量。因此，以这些结构量为研究对象的若干基础数学理论，如集合论、数理逻辑、近世代数、群论、图论、拓扑学、范畴论等，都属于结构型数学。表3给出了这两类数学的若干比较[9]。

表3　数量型数学与结构型数学

表3表明，一方面，数量型数学与结构型数学有同一性，它们的“输入”(运算对象)和“输出”(运算结果)都分别是同一个对象，它们都遵守相同的运算律。另一方面，它们的运算对象不同，因此运算方法不同，运算律也有含义上的不同。数量型数学的运算对象是数量、变量等，因此它的运算方法体现的是数量的增减。结构型数学的运算对象是结构量，而结构是“集合+关系”，本质上是集合(关系也是集合)，因此，它的运算方法体现的是集合中抽象元素(不限于数)的增减等。在运算律上，虽然两类数学遵循的是形式上一样的法则，但含义有别。例如数量型数学和结构型数学都遵循封闭律，但前者是指两个数量运算后不超出所属数系的范围，而后者是指两个结构量运算后不超出某一结构类，特别是指保持某结构的性质不变(或叫守恒)。例如两个等价关系的交仍是等价关系，等等。

(二)概括了结构型数学模块的事理背景

与辩证唯物主义哲学关注数量型数学的现实原型一样，广谱哲学高度重视挖掘结构型数学的事理背景。当然，由于结构型数学是建立在抽象集合上的关系结构，因而它的事理背景更具有一般性、普遍性。例如两个集合A与B的直积，A×B可以看成是平面上直角坐标系的推广。平面直角坐标系上的元素是形如(x,y)的“数对”的集合，其中x是横坐标，y是纵坐标。而直积A×B上的元素不一定是“数对”，而是“任意事物的有序对”。例如A×B上的元素可以是“因果序对”(第一因子为“原因”，第二因子为“结果”)、“时态序对”(第一因子为“时间”，第二因子为“状态”)等。同样地，直角坐标系上的函数y=f(x)，也不再限于给定一个自变量x，有一个因变量y与之对应，而是给定一个任意事物(如一个大学毕业生)，有另一个任意事物(如一个工作岗位)与之对应等等。《浅说》中给出了近百个结构型数学模块的一般事理背景，反映了结构型数学广泛的事理基础，也展示了它们的广阔的应用前景。表4列举了集合论中的部分模块及其事理背景[9]。

显然，与表1相比，这里的数学模块不限于数量(或变量)及其关系，因而其事理背景或现实原型也不限于自然界的物质及其关系，而是可以广及自然、社会乃至人的思维诸领域的任意事物及其关系。例如商集(按等价关系对事物和集合分类形成的等价类的集合)的概念，不仅可以是自然界物质的分类，也可以是对人群的分类(如阶级划分、阶层划分、民族划分等)，还可以是对概念的分类(如代数概念类、几何概念类、力学概念类、化学概念类等，更小的如同义词、反义词等)。因此，结构型的数学模块可用于一般事物(不限于有数量特征的事物)的机理分析。

表4　集合论中部分模块的事理背景

(三)揭示了结构型数学模块的哲学意义

广谱哲学为了能够用结构型数学刻画哲学问题，除了十分重视结构型数学模块的一般事物机理外，更重视它们的哲学意义，即如何通过结构量及其关系(结构量的运算、复合或组合等)刻画哲学问题。例如映射f:A→B可以是入射、满射或双射，但只有满射f:A→f(A)=B可以同时反映辩证唯物主义认识论的若干机理[1]274-279。因此，广谱哲学把它作为人的认知方式的基本模型。而双射是特殊的满射，它是最理想的认知方式(由原因可获得唯一结果，也可由结果得到唯一原因)，因此，双射的复合f-1°f=IA和f°f-1=IB正是研究对象完全可知的数学条件。其中IA，IB分别为集合A，B上的恒等映射。表5给出了部分结构型数学模块的哲学意义。

表5　部分结构型数学模块的哲学意义

不难看出，与表2相比，这里的结构型数学模块由于不限于数量(或变量)关系，因而它们的哲学意义也不限于自然界的物质关系，特别是不限于仅仅为哲学概念、命题或原理提供例证，它们本身或经过改造就可以成为哲学相应概念、命题或原理的数学模型。也就是说，哲学的概念、命题或原理的适用面有多宽，这些数学模块的适用面就有多宽，不会出现“把硕大无比的花朵插到纤细的茎上”(黑格尔语)的尴尬局面。例如在数学上等价类是具有相同性质的事物组成的类(集合)，但从辩证法的运动变化观点出发，广谱哲学把它改造为“自等价类”，即事物自身随着时间的变化，它的变化状态的集合没有超出一定的界限所形成的等价类。这时，事物在自等价类内的变化(称为同类变)即为广义的量变，而从一个自等价类到相邻的另一个自等价类的变化(称为异类变)即为广义的质变，而自等价类的“大小”即为广义的“度”。表5中其他的概念可以作如是观，不再赘述。

三、结语

辩证唯物主义的数理哲学在数量型数学的范围内，阐发了数学认识的唯物论(客观原型)、数学认识的辩证法，从而在数量型数学领域内论证和捍卫了辩证唯物主义。但由于数量型数学本身的局限性(以研究对象须有明确的数量关系为前提)，因而这种数理哲学主要适合解释自然界物质的数量关系及其变化，只能作为论证辩证唯物主义哲学的例证，而不能说明自然界以外的(如社会的、思维的)、不具有明确数量特征的事物的性状、运动和变化，不能为辩证唯物主义哲学(或者任何哲学)建立数学模型。广谱哲学继承了辩证唯物主义数理哲学的基本思想，坚持用唯物的(事理背景或现实原型)、辩证的观点观察和分析数学问题，但由于它选择了结构型数学(而非数量型数学)为研究对象，这使它获得了对哲学而言更为广泛、深刻的结果：第一，它使数学的现实原型从自然界的物质关系扩展到包括自然界、人类社会、人的认知过程的一般事物之间的关系；第二，它把数理哲学的传统功能(为数学释疑解惑、为哲学寻找例证)转变成为哲学问题(概念、命题或原理)建立直接的数学模型。毫无疑问，后者深刻地改变了哲学的面貌。

参考文献：

[1] 张玉祥.广谱哲学浅说[M].北京：中国社会科学出版社，2014.

[2] 恩格斯.反杜林论[M].北京：人民出版社，1970.

[3] 恩格斯.自然辩证法[M].北京：人民出版社，1984.

[4] 列宁.唯物主义与经验批判主义[M].北京：人民出版社，1970.

[5] 马克思.数学手稿[M].北京：人民出版社，1975.

[6] 列宁.谈谈辩证法问题[M]∥列宁.哲学笔记.北京：人民出版社，1974.

[7] 张玉祥.广义量化及其模型方法[M]∥南同茂.自然辩证法新论.南京：河海大学出版社，1993.

[8] 张玉祥.关于广义数学观的探讨[J].华北水利水电学院学报，1994(1):23-31.

[9] 张玉祥.结构型数学及其在广谱分析中的应用[J].河南科学，2009(5):525-529.

(责任编辑：蔡洪涛)

收稿日期：2016-04-03

作者简介：左卫兵(1976—)，男，河南内黄人，华北水利水电大学数学与信息科学学院教授，研究方向为应用数学。

中图分类号：B089

文献标识码：A

文章编号：1008—4444(2016)04—0001—05

A Comparative Study between Dialectical Materialism and Broad-spectrum Philosophy about Mathematical Philosophy—An Interpretation ofAnElementaryIntroductiontoBroad-spectrumPhilosophyfrom the Perspective of Mathematical Philosophy

ZUO Weibing

(School of Mathematics and Information Science, North China University of Water Resources and Electric Power, Zhengzhou 450045, China)

Abstract:Mathematical philosophy of dialectical materialism analyzes and investigates mathematical problems from the point of view of materialist dialectics. Its object is “quantitative mathematics”, that is, mathematics of researching quantity or variable and their relationships. Broad-spectrum philosophy extends its object to “structural mathematics”, that is, it studies “structural quantity and their relationships”. The mathematical philosophy of broad-spectrum philosophy sticks to the basic idea of materialist dialectics, meanwhile, we get a more common result because of its unique research object.

Key words:dialectical materialism; broad-spectrum philosophy; mathematical philosophy; comparative study

广谱哲学专题研究(下)