陈延付

摘 要：基于“知识观”下的三种知识：事实性知识、方法性知识、价值性知识及其三种不同学习方式：“记中学”“做中学”“悟中学”。三个教学设计案例根据不同的“知识观”，为实现学生更有效地学搭建好“脚手架”，是教师做好教学设计的永恒追求。

关键词：知识观；教学设计；公式推导

华东师大吴刚平教授在《教学方式变革与课程资源开发》专题报告中指出，基于学习方式变革的“知识观”下，可将知识形态分为：事实性知识、方法性知识、价值性知识三类，其相应的教与学策略也不同。

以下本文以人教A版“等比数列的前n项和”第1课时为例，基于三种不同教学目标下的教学设计，根据“知识观”去分析与反思，提高教学设计的效度。

方案1：基于结论及应用为主的教学设计

知识与技能：理解等比数列的前n项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。

过程与方法：通过实例类比推导等比数列的前n项和公式及公式证明思路。

情感态度与价值观：通过故事让学生理解对公式的探索，激发求知欲，鼓励学生尝试发现。

教学重点：灵活应用公式解决有关问题。

教学难点：等比数列的前n项和公式推导。

例3.一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人？最快几小时全球（67.6亿）人都知道这个消息？

课本练习训练：

跟进性练习：求和：Sn=a+a2+a3+…+an（脚手架4：技术性方法）

课堂教学小结：（略）

该设计值得赞赏：以故事的方式，生活化的情景，精心设计“脚手架”层层铺垫，体现类比迁移，引导学生发现并应用“错位相减法”。探究活动过程顺利完成，实现了突破教学难点这一目的。公式推导是方法性知识，教师紧紧地把学生引领在自己设计的轨道上，三个故事（脚手架）步步深入，环环相扣，让学生看出什么，指向明显步步紧逼。从“知识观”的角度看，“等比数列前n项和公式”是事实性知识，学生理解、记住会用，例题、练习紧紧围绕这一重点展开。公式的推导、应用让学生经历分析、综合、归纳、总结、提炼、概括、解释、推理、运用、拓展等属于方法性知识。跟进性练习的设计主要让学生辨别、反思、取舍、比较公式应用，分类讨论的思想，属于价值性知识。故事蕴含的数学问题是本节课的一个重要价值性知识问题，值得分析，让学生体验。

方案2：基于公式推导形成过程为主的教学设计

知识与技能：理解用错位相减法推导等比数列前项和公式的过程，掌握公式的特点。

过程与方法：通过对公式的研究過程，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想。

情感态度与价值观：通过学生自主对公式的探索，激发求知欲，鼓励学生大胆尝试。

教学重点：等比数列前项和公式的推导及公式的简单应用。

教学难点：错位相减法的生成和等比数列前项和公式的运用。

以“国际象棋”为情景问题引出等比数列求和：如何求数列1，2，4，…，262，263的各项和。即：S64=1+2+4+8+…262+263，怎么求和？

回顾等差数列的前n项和，核心思路是什么？思路是消项（减少项的个数），技巧是通过“倒序相加”化和为积，结果使用含基本量a1、d和项数n的式子表示……这对探究等比数列的前n项和有什么启发呢？

据测量，一般麦子的千粒重约为40g，则这些麦子的总质量约为7.36×1017g，约合7360多亿吨。我国2000年小麦的全国产量才约为1.14亿吨，国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承诺呢！

请您类比上述方法推导等比数列前n项和公式。（脚手架3：原理性方法）

学生类比研究，充分交流，展示成果，可能出现多种解法，如：

公式推导过程中学生的观察、分析、尝试、类比、概括、交流、讨论蕴含着学生的创新、创造的思维。这些过程就是做中学、悟中学。对于技巧性较高的“错位相减”，如果学生实在想不出来，在学生已充分活动后，在学生处于“心欲求而未得”的愤懑状态下，教师讲解又何妨呢？

国际象棋故事蕴含了数学的看问题是本节课的一个重要价值性知识问题，值得分析思考，让学生体验。公式的推导“错位相减”这一“关键技术”学生很难想到，有预习的同学会有假探究的感觉。等比数列前n项和公式这一事实性知识，只是结论性的知识，关键在于熟练应用、准确应用，这一方面需在第2课时中加强。本设计针对数学学习力比较强的学生，师生探究意识强的班级教学。

方案3：基于学生自主学习的公式推导方法及应用的教学设计

知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。

过程与方法：通过等比数列的前n项和公式的推导过程，学生体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。

情感态度与价值观：通过对等比数列的学习，学生发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、应用价值，发展数学的理性思维。

教学重点：掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。

教学难点：错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握，进一步运用错位相减法解题。

以“国际象棋”为情景问题引出等比数列求和：如何求数列1，2，4，…262，263的各项和。即：S64=1+2+4+8…+262+263，怎么求和？

回顾等差数列的前n项和，核心思路是什么？思路是消项（减少项的个数），技巧是通过“倒序相加”化和为积，结果用含基本量a1、d和项数n的式子表示……这对探究等比数列的前n项和有什么启发呢？（脚手架1：原理性方法）

学生阅读教材，自主学习，提出困难问题，与同学交流讨论解决或求助教师解决。

问题思考：根据等比数列的定义，乘以公比q，作差达到消项目的，请你思考除以公比q，能否实现作差消项呢？（脚手架2：原理性方法）

师生总结：这种求和方法称为“错位相减法”“错位相减法”，是研究数列求和的一个重要方法。

回归问题：国王承诺奖赏的麦粒数为：

据测量，一般麦子的千粒重约为40g，则这些麦子的总质量约为7.36×1017g，约合7360多亿吨。我国2000年小麦的全国产量才约为1.14亿吨，国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承诺呢！

教学实践证明，等比数列前n项和公式的推导“错位相减”这一“关键技术”学生很难想到，那就通过学生阅读、思考、尝试、交流、讨论、问对、分析、综合、归纳、总结、提炼、概括等掌握公式这类事实性知识。在交流过程中体验、反思、比较、借鉴、分享、反思这一核心方法，总结、提炼这一核心方法。这一方法作为学生进一步学习的出发点，例2的设计让学生在刚刚获得的知识及时拓展应用，使“错位相减法”加以深化、深入的应用。跟进性练习再一次让“错位相减法”得以内化，同时对实数讨论，进一步让学生理解公式使用的条件，让学生辨别、反思、取舍、比较公式应用，分类讨论的思想，属于价值性知识。课后探究问题2的设计，再次进一步深化“错位相减法”的灵活应用，通过学生交流讨论，促进学生思维走向更加深刻。这样一个个“脚手架”的设计，使课堂中的师生、生生之间的交流更加充分，思维得以进一步发展。

综上所述，三个教学设计案例，基于不同的教与学目标而设计，依据“知识观”的价值取向，没有优劣之分，只有针对不同学习能力的学生而选擇的教与学策略、方式、方法而已。课堂教学永远都没有最好，只有更好、更适合学生学习的课堂教学方式。课堂教学发生了，就是唯一的，因此每一堂课，都是师生共同的创作，从这个意义上讲，设计一堂好课、上好一堂课真是不容易，这样想，教师每一天都在设计创造，我们老师身上的责任更重了！

编辑 温雪莲