史占峰

摘 要：复习课是帮助学生巩固知识和技能，完善知识结构体系，实现积极数学体验的重要环节。本文基于自主复习数学教学策略的探索与实践，提炼出“任务营、答辩会、逆流舟”等生动而有效的数学自主复习教学策略，对改变复习课学生被动听、被动练的普遍现象具有较大的实践价值，更对学生可持续发展能力的培养提出了新的操作思路。

关键词：复习；自主；结构化；高效；数学

数学课型根据教学内容和教学梯次大致可以分为新授课、讲评课和复习课三类。复习课是指对某一个知识段的阶段性系统整理，以促进知识的结构化，从而进一步提升数学能力的课堂教学过程。它不仅涵盖“知识”和“技能”，也应包含“方法”和“情感”，是“认知”和“认己”的结合。事实上，数学复习课怎么上，如何让学生在数学复习中更加自主、有效，恰恰是困扰数学教师的两大问题。当前，复习课普遍存在的问题有：

（1）有待矫正的目标定位。一般来说，教学目标应体现课堂教学的价值追求，并决定复习课的内容、形式与效益。就当前而言，回忆、巩固与拓展成为大多数复习课的主要目标。这其中虽然蕴含了三个不同层次，但其指向却是唯一的，那就是“知识”“人”的价值无影无踪。这样，数学复习课堂的主要特征是罗列与训练，即知识点的回忆、串联和相应的习题训练，目的仅仅是通过解题训练实现知识点的巩固和解题能力的提升。

（2）相对被动的学习状态。正因为目标所限，教师在数学复习课中对知识和技能的过度关注，造成了教学层面的误解，即往往把复习课设计成单向的“知识→人”，而忽略了“人→知识”方向的思考。体现在课堂中，表现为学生被动地围绕着教师设计的各种形式和层次的复习题而转，“问题”和“习题”成为复习课的核心，完全忽略了学生在复习过程中的自主能动作用，特别是自主地对知识实现结构化的作用。

这样的复习课并非不能实现一定程度结构化的复习目标，甚至能够有效地提高学生对典型习题的解答能力。但笔者认为，没有学生自我认知的复习是静止的、死板的、僵化的，这样的结构化是不完善的或者无意识的。它短期内似乎可以急功近利，但缺失的恰恰是学生的主体意识。因此，这样的复习课对于学生的后续学习和发展是非常不利的。

（3）枯燥单调的内容形式。目标、理念决定着内容和形式。因此，尽管复习课可能会被精美生动的生活情境或问题背景所包装，但是学习方式却是单调的，那就是“师生问答”“重复解题”，学生只要完成了教师设计的题目即完成了复习。

总之，当前真正触及学生自主学习之源、诱发学生积极主动投入相关知识的梳理、融通、变化和应用的数学复习课很少。这就很难使有效复习成为学生发自内在的一种需要。

在数学复习课中，如果知识的回忆、梳理、贯通和延伸成为了学生的一种自主需要，那么知识的结构化和数学能力的进一步提升这两大目标在学生内化过程中将会更加有效地实现，这远比教师一味地讲授和灌输达成复习效果更加有效。《义务教育数学课程标准》（2011年版）指出：有效的教学活动是学生学和教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。笔者通过“任务营、答辩会、逆行舟”等多种学生自主复习途径，从更高层面构建学生新的知识体系，深化对数学本质的理解，实现了有效复习教学的目标。

一、任务营——驱动自主梳理，巩固知识技能

回忆和梳理所需复习的知识点是数学复习课中不可忽略的一项工作，因为：①克服遗忘需要重新回忆各知识点。数学知识学习前后虽然有着相互联系，但往往呈现出点状的形态。由于时间的关系，学生在复习时对某些知识产生了一定的遗忘或者“回生”，这时，很有必要让学生重新回顾各阶段学习的每一个重要知识点，重新唤起大脑对各知识点已有的认知与理解。②为自主梳理建立一个必要基础。第一阶段的回忆和梳理是初步的，或者是一种低层的结构化，但这是实现复习目标的重要基础，因为这一阶段的回忆和梳理来自学生真实的起点。有效实现知识结构化的复习只有建立在这一个基础上才更有可能实现。

成功的课例中，往往把“知识的回忆和梳理”设计成一次精巧、有趣的数学任务，使学生产生强烈的学习欲望。

（1）我形我秀——介绍我的设计方案。在“圆的基本性质”复习一课中，教师设计的一个环节是“我形我秀——介绍我的图形”， 布置给学生一个全新的任务。

案例1：一个圆形街心花园，有三个出口A、B、C，每两个出口之间有一条长60米的道路，组成正三角形ABC，在中心O处有一个亭子。为使亭子与原有的道路相通，需修三条小路OD、OE、OF，使另一出口D、E、F分别落

在三角形的三边上，且这三条小道把三角形分成三个全等的多边形，以备种植不同的花草，请你利用学过的知识设计出一种方案，要努力与众不同，八分钟后开始相互交流：

生1：D、E、F分别与A、B、C重合，连结OD、OE、OF得到OD、OE、OF三条小路如图1所示。

生2：过O分别作AB、BC、CA的垂线，垂足分别为D、E、F，从而得到OD、OE、OF三条小路如图2所示。

生3：过O作OD、OE、OF分别与AC、AB、BC平行，得到三个全等的等腰梯形如图3所示。

……

“我形我秀”抓住了学生向往“自由”而不喜欢受同一行动束缚的特点，让学生在不知不觉中进入了“回忆与梳理”的状态之中。他们在准备“设计方案”的过程中不停地回忆自己知道的有关圆的相关性质，以寻找可以介绍的点，甚至在“与众不同、别致新颖”的追求中不断地贯通和变通各知识点。可以说，这样的策略实现了“四两拨千斤”的效果。不同的学生出现了不同的介绍方式，对其他同学也是一次知识储备的检验。

（2）血缘关系——说说概念之间的关系。我们不能否认，课堂中一些新颖的任务设计对激发学生的自主性具有催化剂般的作用，对于长期处于枯燥乏味的复习课来说更是吹来一阵清新之风。我在“代数式”单元复习课中设计的“血缘关系”环节就是一个典型的例子：endprint

案例2：

师：同学们，这个单元你们印象中出现最多的一个字是哪一个？

生：“式”。

师：请你们写出这个单元有“式”这个字的所有词。

学生在纸上独立写。

师：下面我们来给这些词找一找“血缘关系”。谁能说说生活中的“血缘关系”是什么意思？

生：比如我和爸爸妈妈有血缘关系，因为我是他们的儿子。我和外婆有血缘关系，因为我的妈妈是她生的。

……

师：那么老师让你们找的这些有关“式”的词的血缘关系是什么呢？请你们先找一找，待会再来向大家介绍一下你们找到的血缘关系。

生1：我认为单项式与多项式有血缘关系，因为多项式是由几个单项式相加组成的，没有单项式就一定没有多项式。

生2：我认为同类项都是兄弟姐妹，他们所含字母相同且相同字母的指数也相同，他们可以进行合并同类项。

生3：我认为单项式、多项式、整式也有血缘关系，单项式、多项式都在“整式”的大家庭里。

……

在自主梳理的基础上，课本知识已经与学生的已有经验融为了一体。当知识以一种学生自己熟悉的“语言系统”呈现的时候，说明知识的结构化已经初见成效。

（3）一比高下——明晰统计工具的认识。统计与概率领域的知识呈现有一个显著的特征，那就是工具性。如何在“任务设计”中体现知识特征并有效激发学生完成自主梳理知识的“任务”呢？我在“数据与图表”单元复习中设计的“模拟舞台剧”环节——“一比高下”具有很强的说服力。

案例3：

师：我们学习了很多统计图表，比如统计表、条形统计图、折线统计图（含复式）等，现在邀请一些同学来承担表演任务，扮演其中某一个角色，并请说说想扮演它的理由。

学生们自告奋勇，根据大部分学生意见，确定了5位学生分别扮演，并把其他学生分成5个组分别担任智囊团。

师：大屏幕会出现招聘会，你们认为自己扮演的角色合适应聘的，可以来应聘，所有的应聘者之间进行pk，一比高下。

教师在大屏幕逐次呈现一些典型的统计材料和统计任务，5个角色和5组学生开始竞聘，并陈述理由……

在这“竞聘任务”包装下，虽然“自主梳理”的目的隐藏得很深，但不难看出，在学生兴致盎然、主动积极的背后是学习主体不断地唤回对所学知识的记忆，不断地梳理知识之间的关系和区别，不断地理清各个统计工具之间的优势与缺点，这远比乏味的讲解和告诉有效。

以上只是列举了不同学习领域的几种不同的典型“任务设计”实践模式，笔者认为这样的模式绝对不是唯一的，而且模式的“外壳”即任务的形式也不是最重要的，因为“任务设计”的价值诉求是抓住知识本质，抓住引发学生自主梳理的“有效进入点”。

二、答辩会——激荡知识储备，优化知识结构

实现“让知识结构更趋合理化”的目标的有效途径有两个：第一是设计综合性、灵活性、开放性的习题，让学生在练习和辨析的过程中进一步实现知识的结构化。第二是基于某一特殊情境的自主提问和自主答辩。虽然从表面上看，学生之间的提问和答辩大部分显得比较肤浅、表面，甚至会“偏离中心”，但是我们不能否认这一过程对于学生来说完全是不同于被动解题的一种心智经历，而这种心智经历最大的作用是逐步实现了知识结构的优化。

（1）设计提问。它不仅是再次对知识的回忆和梳理，更是对已有知识和经验的一次重组与创造，而这种主动重组和创造是知识结构化的最好途径。案例1中，笔者在学生“介绍我的设计方案”环节中，为下一个“自主提问和答辩”预设了伏笔：

在介绍自己的设计方案后，还要接受其他同学的提问，所以每一位学生都要事先做一些准备，比如我打算向别人提什么样的问题？别人大概会向我提什么样的问题而我该怎样回答？

（2）自主答辩。用知识做武器的“过招”，能有效实现同伴学习相互启发、相互促进的目的，从而减少自主复习的盲点，提升复习兴趣。学生对“自主答辩”的兴趣是很浓厚的，因此准备工作也做得非常充分。笔者认为这样的兴趣来自“对问题未知但又有一定把握”的刺激，来自接受答辩的挑战性。

例如，在“实数”单元复习的一课中，笔者设计的学生自主答辩的过程简直就成了一场辩论会，我们从学生的提问和答辩过程中看到了这一策略的价值，这种价值在以下这次答辩中显现得尤其清晰。

案例4：

生1：有理数、无理数、实数这三个词听上去很相近，我想请问大家他们有亲戚（血缘）关系吗？请你说说他们的关系。

生2：整数和分数统称有理数，无限不循环小数叫无理数。

生1：你只介绍了什么叫有理数、和无理数，我问的是他们的血缘关系？

生3：我认为他们很有血缘关系，因为实数包括有理数和无理数，他们是父子关系。

生4：我也认为他们有血缘关系，两个无理数的和、差、积、商可以是无理数，也可能是有理数，但一定是实数。

……

尽管答辩的内容不一定科学规范，但是它是来自学生对知识的理解和已有经验的原生态。通过这种真实基础之上的互动过程，知识才会越辩越清，结构才会越来越合理，因为最完美的结构也应该是在学生大脑中的一种原生态状态，而不应该是教师将事先准备好的知识结构强硬地塞入学生的大脑。同时，我们也发现无论是自主提问还是自主答辩，其水平的提高来自课堂中有意识地对相关能力的培养和课堂氛围的营造。

从上述案例可以看出，如果把“答辩会”与前一环节梳理知识的“任务营”整合成为一个有机的整体，课堂操作实际效果以及学生学习效果会更好。

三、逆流舟——贯通相互链接，启迪数学智慧

我们的教与学已经打上了太深的“从问题到答案”的逻辑定势铬印，这样的定势会造成什么结果呢？积极心理学研究创始人Philip Stone教授指出：“习惯于解决别人提出的问题，将会使人越来越陷入被动状态，失去对问题探究的积极性，从而在‘发现问题和解决问题的局面中成为习惯于被动、弱势的一方。”数学复习课中也是如此，学生大部分时间在等待着、进行着解决教师设计好的问题，即便是偶尔得到了“出题”的待遇，也缺乏内在刺激。更重要的是在享受这种待遇的过程中的收获是非常有限的。无法实现相关知识之间的融会贯通，也就失去了数学复习的真正意义。endprint

我们在大量的复习案例研究中惊喜地发现 “逆流舟”这一复习形式是数学复习课堂的一次革命性的创新。虽然表面上看这一复习策略基于学生探究知识的路径是有限的，但是仔细分析，就可以发现学生在“逆流而上”的过程中思维自由而活跃，知识灵动而丰富，数学智慧乃至学习智慧得到了最大限度的启迪。因此，我们认为这是一种极具推广价值的数学复习教学策略模式。

案例5：

（1）独立完成下面题目：已知x+y=3，xy=1，你能够求出x2+y2的值吗？（x-y）2呢？

（2）你认为在解这样的题目时，我们用到了哪些知识点和方法？

（3）像这样，从条件到结果的过程，我们如果把它叫做是“顺流而下”的话，你想想“逆流而上”会是怎样的呢？很可能那将会更加考验我们的勇气和智慧，让我们一起来试试吧！

已知：x+y=3，xy=1，可以解得：（x-y）2=25。

这是一道根据结果，请学生根据自己的经验，设计几种不同的已知条件可能性，看谁的设计更加具有独创性。

几分钟后学生开始展示交流自己的设计：

①x=6，y=1。

②x-y=5。

③x+y=4，x2-y2 =20。

④x2+y2 =37，xy=6……

仔细推敲以上教学过程以及学生的设计作品，我们不难发现“逆流舟”策略的精妙以及育人价值。它让学生不仅学得兴致盎然，而且在自觉和不自觉的过程中将有关乘法公式和代入求值的相关知识点及相互联系呈现得淋漓尽致。当然这个呈现的过程也是学生大脑中相关知识结构不断优化和不断完善的过程。

师问③的作者：我很佩服你，请问你是根据哪些知识点来设计条件的？

生：我根据平方差公式利用整体代入求值的方法来设计的。

师问④的作者：你为什么这样设计？

生：我利用完全平方差公式，整体代入，算起来非常方便。

他的回答引来⑤的作者附和：我的办法也是这样的，只不过我设计得更加巧妙。

……

对于复习课来说，大部分教师都在追求着数学题目设计的精巧，把复习目标更加全面地蕴含在题目之中，让它更加多能化。以上“逆流舟”的教学片断给了我们一个新的启示：有时候颠覆已经定势的思维习惯，更好地着眼于学习的本质，会在复习策略的设计上开启一片新的空间。

“知识结构化” 是数学教学中的重要任务，因为结构化的知识才是学生真正掌握的知识。“结构”的质量不仅决定学生学习效果的高低、数学能力的强弱，甚至决定了学生智力水平的高低。相对而言，促进知识结构化是数学复习课的最重要任务，因为数学复习课是对一个阶段数学新知识学习的梳理和总结，它不仅需要让学生更好地巩固知识和技能，更需要让学生通过有效的复习，对这一阶段的知识进行整体性组织和重构，搭建更加合理的知识网络构架。只有实现了这一目标，才能实现学生数学素养和智力水平的提升。

参考文献：

中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准.北京：北京师范大学出版社，2011.

何克抗.建构主义——革新传统教学的理论基础.电化教育研究，1997（3）—1997（4）.

（日）山内光哉.学习与教学心理学.北京：教育科学出版社，1986.endprint

我们在大量的复习案例研究中惊喜地发现 “逆流舟”这一复习形式是数学复习课堂的一次革命性的创新。虽然表面上看这一复习策略基于学生探究知识的路径是有限的，但是仔细分析，就可以发现学生在“逆流而上”的过程中思维自由而活跃，知识灵动而丰富，数学智慧乃至学习智慧得到了最大限度的启迪。因此，我们认为这是一种极具推广价值的数学复习教学策略模式。

案例5：

（1）独立完成下面题目：已知x+y=3，xy=1，你能够求出x2+y2的值吗？（x-y）2呢？

（2）你认为在解这样的题目时，我们用到了哪些知识点和方法？

（3）像这样，从条件到结果的过程，我们如果把它叫做是“顺流而下”的话，你想想“逆流而上”会是怎样的呢？很可能那将会更加考验我们的勇气和智慧，让我们一起来试试吧！

已知：x+y=3，xy=1，可以解得：（x-y）2=25。

这是一道根据结果，请学生根据自己的经验，设计几种不同的已知条件可能性，看谁的设计更加具有独创性。

几分钟后学生开始展示交流自己的设计：

①x=6，y=1。

②x-y=5。

③x+y=4，x2-y2 =20。

④x2+y2 =37，xy=6……

仔细推敲以上教学过程以及学生的设计作品，我们不难发现“逆流舟”策略的精妙以及育人价值。它让学生不仅学得兴致盎然，而且在自觉和不自觉的过程中将有关乘法公式和代入求值的相关知识点及相互联系呈现得淋漓尽致。当然这个呈现的过程也是学生大脑中相关知识结构不断优化和不断完善的过程。

师问③的作者：我很佩服你，请问你是根据哪些知识点来设计条件的？

生：我根据平方差公式利用整体代入求值的方法来设计的。

师问④的作者：你为什么这样设计？

生：我利用完全平方差公式，整体代入，算起来非常方便。

他的回答引来⑤的作者附和：我的办法也是这样的，只不过我设计得更加巧妙。

……

对于复习课来说，大部分教师都在追求着数学题目设计的精巧，把复习目标更加全面地蕴含在题目之中，让它更加多能化。以上“逆流舟”的教学片断给了我们一个新的启示：有时候颠覆已经定势的思维习惯，更好地着眼于学习的本质，会在复习策略的设计上开启一片新的空间。

“知识结构化” 是数学教学中的重要任务，因为结构化的知识才是学生真正掌握的知识。“结构”的质量不仅决定学生学习效果的高低、数学能力的强弱，甚至决定了学生智力水平的高低。相对而言，促进知识结构化是数学复习课的最重要任务，因为数学复习课是对一个阶段数学新知识学习的梳理和总结，它不仅需要让学生更好地巩固知识和技能，更需要让学生通过有效的复习，对这一阶段的知识进行整体性组织和重构，搭建更加合理的知识网络构架。只有实现了这一目标，才能实现学生数学素养和智力水平的提升。

参考文献：

中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准.北京：北京师范大学出版社，2011.

何克抗.建构主义——革新传统教学的理论基础.电化教育研究，1997（3）—1997（4）.

（日）山内光哉.学习与教学心理学.北京：教育科学出版社，1986.endprint

我们在大量的复习案例研究中惊喜地发现 “逆流舟”这一复习形式是数学复习课堂的一次革命性的创新。虽然表面上看这一复习策略基于学生探究知识的路径是有限的，但是仔细分析，就可以发现学生在“逆流而上”的过程中思维自由而活跃，知识灵动而丰富，数学智慧乃至学习智慧得到了最大限度的启迪。因此，我们认为这是一种极具推广价值的数学复习教学策略模式。

案例5：

（1）独立完成下面题目：已知x+y=3，xy=1，你能够求出x2+y2的值吗？（x-y）2呢？

（2）你认为在解这样的题目时，我们用到了哪些知识点和方法？

（3）像这样，从条件到结果的过程，我们如果把它叫做是“顺流而下”的话，你想想“逆流而上”会是怎样的呢？很可能那将会更加考验我们的勇气和智慧，让我们一起来试试吧！

已知：x+y=3，xy=1，可以解得：（x-y）2=25。

这是一道根据结果，请学生根据自己的经验，设计几种不同的已知条件可能性，看谁的设计更加具有独创性。

几分钟后学生开始展示交流自己的设计：

①x=6，y=1。

②x-y=5。

③x+y=4，x2-y2 =20。

④x2+y2 =37，xy=6……

仔细推敲以上教学过程以及学生的设计作品，我们不难发现“逆流舟”策略的精妙以及育人价值。它让学生不仅学得兴致盎然，而且在自觉和不自觉的过程中将有关乘法公式和代入求值的相关知识点及相互联系呈现得淋漓尽致。当然这个呈现的过程也是学生大脑中相关知识结构不断优化和不断完善的过程。

师问③的作者：我很佩服你，请问你是根据哪些知识点来设计条件的？

生：我根据平方差公式利用整体代入求值的方法来设计的。

师问④的作者：你为什么这样设计？

生：我利用完全平方差公式，整体代入，算起来非常方便。

他的回答引来⑤的作者附和：我的办法也是这样的，只不过我设计得更加巧妙。

……

对于复习课来说，大部分教师都在追求着数学题目设计的精巧，把复习目标更加全面地蕴含在题目之中，让它更加多能化。以上“逆流舟”的教学片断给了我们一个新的启示：有时候颠覆已经定势的思维习惯，更好地着眼于学习的本质，会在复习策略的设计上开启一片新的空间。

“知识结构化” 是数学教学中的重要任务，因为结构化的知识才是学生真正掌握的知识。“结构”的质量不仅决定学生学习效果的高低、数学能力的强弱，甚至决定了学生智力水平的高低。相对而言，促进知识结构化是数学复习课的最重要任务，因为数学复习课是对一个阶段数学新知识学习的梳理和总结，它不仅需要让学生更好地巩固知识和技能，更需要让学生通过有效的复习，对这一阶段的知识进行整体性组织和重构，搭建更加合理的知识网络构架。只有实现了这一目标，才能实现学生数学素养和智力水平的提升。

参考文献：

中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准.北京：北京师范大学出版社，2011.

何克抗.建构主义——革新传统教学的理论基础.电化教育研究，1997（3）—1997（4）.

（日）山内光哉.学习与教学心理学.北京：教育科学出版社，1986.endprint