桑芝芳

摘要：自感现象的暂态过程分析是高中物理教学的难点，本文利用数值解法定量分析讨论一道关于自感现象的高考题（2008年江苏高考卷第8题），使对题中通过各灯泡的电流变化规律有更深刻的理解。

关键词：自感现象；自感电动势；感应电流；数值求解

中图分类号：G633.7 文献标识码：A文章编号：1003-6148(2009)6(S)-0048-2

题目(2008年江苏高考卷第8题) 如图1所示的电路中，三个相同的灯泡a、b、c和电感L1、L2与直流电源连接，电感的电阻忽略不计，电键S从闭合状态突然断开时，下列判断正确的有：

A.a先变亮，然后逐渐变暗

B.b先变亮，然后逐渐变暗

C.c先变亮，然后逐渐变暗

D.b、c都逐渐变暗

本题考查的是电路自感问题，由于自感现象暂态过程本身比较复杂，因而自感现象的暂态过程分析一直是高中物理教学中的一个难点。本题中电键S从闭合状态突然断开时，电感线圈L1、L2内磁通量发生变化，从而产生自感电动势，使灯泡a、b、c有暂态电流。本题主要考查的是通过灯泡a、b、c的暂态电流变化情况。该题的答案是A、D，即a灯先变亮，然后逐渐变暗，b、c灯逐渐变暗。那么通过a、b、c灯泡的电流到底是如何变化的?是按什么规律变化的?下面定量讨论通过a、b、c灯泡的电流变化规律。

如图1，在开关S断开前，由电路知识易知，有恒定电流通过a、b、c灯泡，且电流相等，即I璦=I璪=I璫=I0，通过电感L1、L2的电流为I㎜1=2I0，I㎜2=I0。开关S断开瞬间，由于自感作用，电感L1、L2产生自感电动势，原电路等效为如图2所示的电路图。电感L1、L2的自感电动势E㎜1、E㎜2分别为E㎜1=-L1di㎜1猟t，E㎜2=-L2di㎜2猟t。

根据基尔霍夫定律，可列出相应的节点电流方程和回路电压方程：

i璦=i璪+i璫，

E㎜1=i璪R璪+i璦R璦，

E㎜2=i璫R璫+i璪R璪。

由于a、b、c三个灯泡相同，所以R璦=R璪=R璫=R，而两个电感的自感系数相等，即L1=L2=L，因而上述方程组可简化为：

i璦=i璪+i璫，Ldi璦dt+(i璦+i璪)R=0， (1)Ldi璫dt+(i璫-i璪)R=0。

由图2还可以看出，通过a灯泡的电流i璦与通过电感L1的电流i㎜1相等，通过c灯泡的电流i璫与通过电感L2的电流i㎜2相等，即i璦=i㎜1，i璫=i㎜2。由于在断开前，通过a灯泡电流I璦=I0，通过电感L1的电流为I㎜1=2I0，因此在断开瞬间，通过a灯泡的电流由I0突变到2I0，即断开瞬间t=0时，i璦=2I0，i璫=I0(2)

由常微分方程组(1)式和初始条件(2)式可解得通过a、b、c灯泡的电流i璦、i璪、i璫随时间的变化规律，i璦(t)=12I0e-3RtL(1+3e2RtL)，(3)

i璪(t)=I0e-3RtL，(4)

i璫(t)=12I0r-3RtL(-1+3e2RtL)。(5)

从(3)～(5)式可以看出，开关S断开后，通过a灯泡的电流先由I0突变到2I0，再按两个e指数组合的规律衰减；通过b灯泡的电流按e指数规律衰减;通过c灯泡的电流按两个e指数组合的规律衰减。为了更直观、形象地了解通过各灯泡电流的变化规律，我们作出相应的电流随时间变化的曲线；取E=6V，L1=L2=L=30mH，R璦=R璪=R璫=6Ω，则

I0=ER=6V6Ω=1A。

图3、图4、图5分别为通过a、b、c灯泡的电流随时间的变化规律。

从图中容易看出，a灯泡在开关S断开瞬间，电流由I0突变到2I0，然后按图3规律衰减，即a灯泡在开关S断开瞬间先变亮，然后逐渐变暗至熄灭；b、c灯泡按图4、图5规律衰减，即b、c灯泡逐渐变暗。因而本题正确选项为A、D，从图中还可以看出b灯较a、c灯先熄灭。

高中物理中有很多问题只需要作定性讨论，不要求定量研究，但作为教师仅停留在定性层面上是不够的，还要有“量”的意识，要尽量作定量分析，这样才能真正理解物理量的变化规律。

(栏目编辑陈 洁)