张学文

摘要：机械振动是自然界中常见的运动形式，在研究各种各样的机械振动前，首先要研究最简单、最基本的简谐运动。本文以简谐运动的运动学特征和受力特征为基础，从三个不同角度对简谐运动周期公式的推导进行了探讨。

关键词：简谐运动；周期公式；推导

中图分类号：G633.7 文献标识码：A文章编号：1003-6148(2009)6(S)-0075-3

振动是物体运动的基本形式之一，它在自然界中广泛存在。钟摆的摆动、水中浮标的上下浮动、担物行走时扁担下物体的颤动、树梢在微风中的摇摆等等都是振动。在物理学中，对于一个复杂的运动可以看成是由若干个简单运动合成的，这些简单的运动是一些最基本的运动，掌握了这些基本运动的规律，其合运动规律就清楚了，这是物理学的一种研究方法。同样的，我们在研究各种各样的机械振动前，首先要研究最简单、最基本的一种机械振动——简谐运动。简谐运动不但是一种周期性的运动，而且是一种变加速度的直线运动，因此，它的运动规律比较复杂。由于中学生缺少必要的数学知识，研究简谐运动的规律就成为一个较为困难的问题。

根据高中教材对简谐运动的描述，我们可以作出这样的判断：从运动学特征的角度看，物体对平衡位置的位移随时间作余弦 (或正弦)变化的运动叫作简谐运动，即x=Acos(ω•t+φ₀)。式中A是振幅，ω为角频率，t为时间，φ₀称作初相位或初相。从受力特征的角度看，物体在线性回复力作用下的运动叫做简谐运动，即线性回复力F=-kx。式中k为比例系数（常数），x为以平衡位置为原点时物体的位移。有鉴于此，现以简谐运动的运动学特征和受力特征为基础，从三个不同的角度初步探讨简谐运动的周期公式。

1 根据最大加速度来推导周期公式

如图1所示，一质量为m的质点在xy平面内以原点O为圆心做匀速圆周运动，该质点在x轴上的投影将以O为中心在x轴上振动，这个振动有什么特点呢？设t=0时，半径跟x轴方向的夹角为φ₀，经时间t，半径跟x轴方向夹角为θ，则θ=ω•t+φ₀。在任意时刻t，质点在x轴上的位移为x=r•cos(ω•t+φ₀)，显然该质点在x轴上的投影（M点）是以O点为中心的简谐运动。实验也可以证明，一个以原点O为圆心作匀速圆周运动的质点m，它在x轴或y轴 上的投影是作简谐运动。

这个事实告诉我们：匀速圆周运动与简谐运动在运动学上有着深刻的内在联系。因此，它提供了利用匀速圆周运动的知识来研究简谐运动的依据，即任何一个简谐运动必然存在一个与之相对应的匀速圆周运动，这个匀速圆周运动的圆周叫做与之相对应的简谐运动的参考圆。参考圆的各量与简谐运动的物理量有如下的一些对应关系：(1)参考圆的圆心为简谐运动的平衡位置；(2)参考圆的半径为简谐运动的振幅A；(3)参考点m作匀速圆周运动的周期或频率和其投影点M作简谐运动的周期或频率是相同的。

利用参考圆可以很方便地找到简谐运动的最大加速度。设圆半径为r，角速度为ω，则匀速圆周运动质点向心加速度的大小为ω2r，其在x轴上射影加速度的大小为a=ω2rcos(ω•t+φ₀)，质点在x轴上投影所作简谐运动的加速度最大为ω2r。又由线性回复力的特征F=-kx和牛顿第二定律可得：简谐运动加速度的大小为a=kx/m，简谐运动加速度的最大值为kA/m。考虑到参考圆的半径r等于简谐运动的振幅A，参考点m作匀速圆周运动的周期和其投影点M作简谐运动的周期是相同的。故：ω2=k/m，即有T=2πm/k。

由此可知，简谐运动的周期与它们的振幅无关，而仅取决于振动系统两个方面的性质：一是系统所受线性回复力的比例系数k，二是系统的惯性质量m。为了强调T是由系统性质所决定的，故称T为系统的固有周期。

2 根据最大速度来推导周期公式

“应用数学处理物理问题的能力”是物理高考考试大纲中对考生的五种能力要求之一，它要求考生能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论，必要时能够运用函数进行表达和分析。导数作为高中数学中增加的内容已在新教材中出现了两年，而导数在高中物理中也有广泛的运用，如高中物理中运用“微元法”就是千方百计绕过“导数”求解有关物理问题的典型例子。高中物理教学中导数的引入，使学生对一些物理知识有了更加深刻的理解。

现根据简谐运动的运动学方程x=Asin(ωt+φ)将位移对时间求一次导数dx/dt，从而求得：v=dx/dt=Aωcos(ωt+φ)，即简谐运动的速度变化规律为v=v璵cos(ωt+φ)。显然，简谐运动的最大速度为v璵，并且满足v璵=Aω。对于简谐运动的速度变化规律，我们也可以采用这样的观点研究：在时间间隔Δt比较小的情况下，平均速度能比较精确地描述物体运动的快慢程度，Δt越小，描述越精确。因此当Δt很小时，就可以认为Δx/Δt是物体在时刻t的瞬时速度。即v=ΔxΔt，取t2-t1=Δt，并利用正弦函数sinx=x(x极小时)和三角函数和差化积可知：

v=Asin(ωt2+φ )-Asin(ωt1+φ)t2-t1

=2Acos(ωt2/2+ωt1/2+φ)sin(ωt2/2-ωt1/2)Δt

=ω(t2-t1)Acos(ωt2/2+ωt1/2+φ)Δt

=Aωcos(ωt+φ)。

即有v=v璵cos(ωt+φ),简谐运动的最大速度为v璵，并且满足v璵=Aω。

以水平放置的弹簧振子为例，理论上可以证明：在弹簧振子振动的过程中，如果摩擦阻力造成的损耗可以忽略，则在弹簧振子运动的任意位置，系统的动能与势能之和是定值，这与机械能守恒定律是相一致的。在振动的过程中，弹簧的弹性势能：E璸=12kx2,

振子的动能：E璳=12mv2,

由机械能守恒可知：

机械能既等于最大弹性势能：

E=12kA2，

也等于最大动能：E=12mv璵2，代入有：

12mv璵2=12kA2。

而物体的动能和物体的运动速率又有定量的联系，如果将这两部分知识组合起来，就有：

12kA2=12mv璵2=12mA2ω2，

化简得：T=2πω=2πmk。

此即为弹簧振子简谐运动周期的表达式。显然，弹簧振子的周期由弹簧的劲度系数和振子的质量所决定，与振幅的大小无关，T为弹簧振子的固有周期。

以同样的方式处理单摆。当单摆从最高点摆到最低位置的过程中，重力势能转化为动能。由机械能守恒可知：

最大动能：E璳=12mv2=mgl(1-cosα),

其中α为摆球摆动的最大角度。

利用三角形余弦定理，有：

cosα=2l2-A22l2，代入可得：

mgl（1-cosα)=mgl（1-2l2-A22l2）=mgA22l，

即单摆摆动时的最大动能为：

E璳=12mv璵2=mgA22l。

代人最大速率v璵=Aω，

有：mgA22l=12mA2ω2。

化简即得：T=2πω=2πlg（摆角较小时，单摆的运动才为简谐振动，才有v璵=Aω），此即为单摆简谐运动的周期表达式。显然，单摆做简谐运动的周期跟摆长的二次方根成正比，跟重力加速度的二次方根成反比，跟振幅、摆球的质量无关。

3 根据回复力的比例系数来推导周期公式

简谐振动是物体运动的基本形式之一，当物体离开平衡位置时，总要受到指向平衡位置的力，这个力称为回复力。物体在离开平衡位置时必须受到回复力是一切振动的产生条件，但是回复力的规律不同，产生的振动规律也不同。

在弹性限度内，弹性力的大小遵从胡克定律F=kx，方向总是和位移方向相反，物体在弹性力作用下的振动是简谐运动。有些力不是弹性力，但其变化规律也和弹性力相似，叫做准弹性力。在准弹性力的作用下，物体受到的回复力满足同样的条件时，物体也作简谐运动，写成数学表达式即：F=-kx。在这里要注意正确理解两点:（1）做简谐运动物体的位移是相对于平衡位置的，所以位移的方向总是由平衡位置指向物体，而回复力总是由物体指向平衡位置，故回复力的方向总是跟位移的方向相反，式中的负号表示了这种相反关系；（2）公式中的k表示回复力大小跟位移大小的比例系数，对于一个确定的简谐运动，k是一个常量，对不同的简谐运动，k有不同的值。

下面我们先做这样的一个证明：围绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星，其在直径方向上的投影也是简谐运动。

设地球、人造卫星的质量分别为M和m，人造卫星围绕地球作匀速圆周运动的半径为r，以地球球心位置为坐标原点，建立直角坐标系x-y。考虑到地球球心和人造地球卫星间的距离为r，则万有引力的大小为：F=GMmr₂,

其x方向分力的大小为：

GMmr₂cosθ=GMmr3•x。

由于人造地球卫星围绕地球做匀速圆周运动，半径r始终保持不变，则万有引力F在x方向分力的大小GMmr3•x=kx。

其中k为常量，大小为：GMmr3。

结合F瓁和x的方向，故万有引力F在x方向的分力满足F瓁=-kx，符合简谐运动所受回复力的特征。所以说，围绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星，其在直径方向上的投影运动，也是简谐运动。

人造地球卫星在轨道上运行时，所需要的向心力是由万有引力提供的，由

GMmr₂=mr(2πT)2，得：

T²=4π2•rGM。

将k=GMmr3代人即得：

T²=4π2•mk，化简得:

T=2πmk。

由于人造地球卫星m做匀速圆周运动的周期等于其在直径方向上所做分运动的周期，所以有T简=T圆，即匀速圆周运动的人造地球卫星，其在直径方向上的简谐运动也满足周期公式2πmk，其中k为回复力大小跟位移大小的比例系数，m为人造地球卫星的质量。

综上所述，我们可以说，对于一般的简谐运动，其周期均可表示为T=2πmk。也就是说，简谐运动的周期与它们的振幅、速度等无关，而取决于振动系统两个方面的性质：一是系统所受线性回复力的比例系数k，二是系统的惯性质量m。为了强调T是由系统性质所决定的，故称T为系统的固有周期。当然，对于自然界中各种纷繁复杂的简谐运动，其线性回复力的比例系数k往往具有不同的物理涵义。如对于弹簧振子，线性回复力的比例系数即为弹簧的劲度系数；对于单摆的简谐运动，线性回复力的比例系数即为mg/L。

(栏目编辑张正严)