高原 徐素秀 丁洳茜

基金項目：国家自然科学基金面上项目“灵活编组模式下城市轨道交通列车调度优化”（72171023）；北京理工大学2023年度教育教学改革一般项目“搭建理论到实践的桥梁——《优化模型及软件》课程教学改革研究”（无编号）；北京理工大学研究生教育培养综合改革面上项目（无编号）

第一作者简介：高原（1986-），男，汉族，湖北襄阳人，博士，副教授，博士研究生导师。研究方向为交通运营管理、物流网络设计、大规模整数规划、不确定规划等。

*通信作者：徐素秀（1984-），男，汉族，浙江台州人，博士，教授，博士研究生导师。研究方向为交通经济学、拍卖与机制设计、博弈与供应链管理、优化理论与算法等。

DOI：10.19980/j.CN23-1593/G4.2024.12.007

摘  要：进入数字经济时代，业界将运筹优化技术更广泛地应用于生产和管理中，对管理科学与工程类专业学生的建模与优化的实践能力提出更高要求。该文分析我国管理科学与工程学科排名前50高校的相关专业培养方案，发现大部分学校侧重运筹学理论基础的教学，缺少建模与优化的实践课程。该文从业界需求和运筹学课程体系建设出发，结合教学实践，讨论建模优化实践课程的建设目标、课程内容、教学方法。建模优化实践课程的内容包括优化软件（通用求解器）的使用、管理科学与工程常见优化问题的建模，以及求解优化模型的精确/启发式算法；采用课堂上机练习、课程报告等方式，促使学生较快上手优化软件，提升学生发现优化问题、建立优化模型、编程求解模型的能力。通过建模优化实践课程的建设，形成管理科学与工程专业运筹优化类课程“基础理论+应用实践”的培养模式，弥合数字经济时代业界人才需求与高校人才培养之间的差距。

关键词：管理科学与工程；优化模型；通用求解器；优化算法；课程建设

中图分类号：G642         文献标志码：A          文章编号：2096-000X（2024）12-0029-05

Abstract： In the era of digital economy， the industry has applied optimization technology more widely in production and management， which requires higher practical ability of modeling and optimization on the students in management science and engineering. This paper analyzes the training programs of the top 50 universities in management science and engineering in China， and finds that most of them focus on the teaching of theoretical basis of operations research， and lack practical courses of modeling and optimization. Based on the needs of the industry and the construction of operational research curriculum system， combined with teaching practice， this paper discusses the construction objectives， course content and teaching methods of modeling and optimizing course. The course covers the use of optimization software（general-purpose solvers）， modeling of common optimization problems in management science and engineering， and accurate/heuristic algorithms for solving optimization models. By means of computer exercises in class and course reports， students are encouraged to master the optimization software， discover optimization problems， establish optimization models， and solve the models. Through the construction of modeling and optimization course， the training model of "basic theory + application practice" in operational research curriculum system is formed， which bridges the gap between the talent demand of the industry and the talent training of colleges and universities in the digital economy era.

Keywords： management science and engineering; optimization model; general-purpose solver; optimization algorithm; course construction

管理科学与工程（以下简称“管科”）是综合运用系统科学、管理科学、数学、经济和行为科学及工程方法，结合信息技术研究解决社会、经济、工程等方面的管理问题的一门学科。在我国，管科类的本科生专业主要包括信息管理与信息系统、工程管理、工业工程及物流等。随着信息技术的深入发展，我国逐渐进入数字经济时代。国务院发布《“十四五”数字经济发展规划》，明确指出：“数字经济是继农业经济、工业经济之后的主要经济形态……‘十四五时期，我国数字经济转向深化应用、规范发展、普惠共享的新阶段。”数字经济时代势必涌现出许多崭新的管理学问题，比如智慧物流、智慧工厂、智慧医疗和智慧政务等，为管理科学与工程专业的发展提供巨大的机遇。同时，数据成为数字经济时代的新型生产要素，推动了生产方式的变革，对管理科学与工程类专业在培养目标、专业定位、课程设置等诸多方面提出新的要求。

近年来，不少高校在管科类专业的培养计划中增设热门的大数据、人工智能等课程[1]，但运筹优化类课程的设置仍相对落后，过多局限在概念、理论、算法的讲解，缺乏对学生动手能力的训练，造成“考完就忘”的局面[2-4]。事实上，运筹优化类课程应用性极强。这些年，制造业、金融业、服务业积累了大量的数据，可以借助建模和优化的方法，实现资源的更优配置。比如，华为、阿里巴巴、京东、顺丰、一汽大众、中国商飞和国家电网等国内行业头部企业，或者成立运筹优化部门，或者与IBM、Gurobi、杉数科技等运筹优化技术服务商合作，越来越多地将运筹优化技术应用于生产和管理中[5-8]。可以预见，业界对建模与优化类人才的需求将会逐年增大，管科类专业需增设相关实践课程，或改革现有课程，提升学生针对管理问题的建模能力、前沿优化软件和算法的应用能力，实现数据要素的更优利用，为我国数字经济的建设和发展贡献力量。

一  管理科学与工程类专业建模优化实践课程开设现状

本文以第四轮学科评估管理科学与工程学科排名前50的高校为研究对象，从学校官网下载其信息管理与信息系统、工程管理、工业工程及物流等专业的培养方案，统计并分析建模与优化课程的开设现状。由于部分高校没有公开其培养方案，最终获得42所高校的管科类专业的培养方案。尽管各所高校课程名称略不同，仍能挑选出其中的运筹优化类课程，并将其大致分为以下四个子类：运筹学基础、决策分析、建模优化实践和最优化理论与方法。需要指出的是，这四个子类课程的顺序是按照开设高校的数量排列的，即42、27、11、10。

运筹学基础通常为必修课，每所高校都有开设，上课时间一般在大二上学期或大二下学期，大约二分之一的学时讲授线性规划和整数线性规划的内容，剩余学时讲授图论、动态规划、排队论和存储论等内容；决策分析课程在运筹学基础之后开设，讲授效用理论、多属性决策、效率评估方法、专家咨询法和博弈论等内容；最优化理论和方法通常为选修课，在大三或大四上学期开设，讲授凸集和凸函数、无约束优化和约束优化等。总体而言，这三个课程以讲授概念、理论、算法基础为主，学生往往只能手动求解极小规模的优化问题，缺少使用软件求解优化问题的实践，既不能深入理解运筹学理论，也对优化算法的求解能力认识不足。显然，这和当前业界对运筹优化类人才的要求有较大差距。

建模优化实践课程则在一定程度上弥补了上述课程存在的问题，要求学生通过计算机编程建立较大规模的优化模型，并调用软件或设计算法，寻找优化模型的解。但与另外三类运筹课程不同，建模与优化课程开设较晚，目前缺乏通用教材，讲授的内容差异较大。比如，有的高校侧重讲授智能优化算法（包括遗传算法、禁忌搜索、邻域搜索、蚁群优化和神经网络等），有的高校讲授MATLAB编程和数学建模，有的高校讲授建模方法及通用求解器（Gurobi、CPLEX等主流优化软件）。2020年开始，北京理工大学管理学院信息管理与信息系统专业在大三上学期开设建模与优化实践课程——优化模型及软件。该课程作为大二下学期管理运筹学的后续课程，首先讲授如何使用求解器解决线性规划和混合整数规划问题，并在讲解过程中穿插运筹学理论，增强学生对理论的理解；然后介绍管理科学与工程中常见的优化模型，结合模型特征，直接调用求解器求解，或设计精確/启发式算法求解。该课程设置，一方面考虑了业界的需求，提升学生编程解决较大规模优化问题的能力，另一方面兼顾管科专业运筹优化类课程体系，即作为应用实践课程，建模与优化涉及的理论知识都可以在前序课程管理运筹学中找到。

二  课程建设目标

优化模型及软件课程（以下简称“本课程”）旨在建立运筹学基础和工程实践之间的桥梁，提升管科类专业学生的动手能力和逻辑思维能力，增强利用所学理论知识解决实际问题的自信心，使其满足我国工程建设和工程管理的需要，更好地为我国数字经济建设贡献力量。

（一）  知识技能方面

通过本课程的学习，学生能够了解当前数学规划模型的通用求解器的发展前沿，了解通用求解器的适用范围及在业界应用情况；熟悉通用求解器的安装和配置方法，熟悉使用计算机语言输入优化模型并调用求解器求解的基本逻辑；掌握至少一种通用求解器的使用方法和规范，理解该求解器的主要参数，并能够通过设置这些参数，控制求解器的求解过程和输入输出过程。

在前序的运筹学课程中，学生们一般只学习了凸集基础理论，以及单纯形法、分支定界法等算法流程，只能手动计算极小规模的数学规划问题。不少学生没有见过包含十个以上变量的数学规划模型，并且简单地将数学规划的求解与单纯形表的绘制画等号。通过求解器的学习，学生掌握了使用计算机语言构建数学规划模型、调用求解器求解模型的方法，意识到运筹学方法可以应用到实际的大规模问题中。与此同时，学生们在求解器的学习和使用过程中，特别是在参数设置、结果输出的环节，对运筹学课程中基础理论和算法有了切实的认识。

在熟练使用求解器的基础上，本课程介绍管理学中常见的优化问题，以及结合问题特征的数学规划建模方法，从而学生可以借助求解器，寻找中等规模的优化问题的解决方案。由于课时限制，运筹学课程较少介绍管理学中的典型优化问题及对应的数学规划模型，学生缺少凝练优化问题、构建规划模型的能力。本课程介绍设备/枢纽选址问题、路径规划问题、排班问题等基础内容，引导学生动手构建模型，并借助求解器求解，增强其动手能力和解决问题的信心，使其能够阅读运筹优化类学术论文，以及初步展开运筹优化问题的研究。

本课程结合优化问题的特征，进一步介绍精确算法和启发式算法对大规模问题的分解思路，即调用求解器或者设计求解规则逐一求解分解得到的小规模优化问题，然后基于小规模问题的解构造大规模问题的解。由于启发式算法难度较低且网络上有不少学习资料，本课程只在最后简单介绍几种经典的启发式算法，比如邻域搜索算法、遗传算法、模拟退火算法和蚁群优化算法等，课程重点讲解两种精确算法，即Benders分解算法和列生成算法。通过优化算法的介绍，开拓学生运用运筹学基本理论解决实际问题的思路，使其具备针对实际问题进行建模和求解的能力，树立优化决策的理念。

（二）  思政教育方面

优化模型及软件课程属于方法类课程。一般而言，方法类课程以传授专业知识为主，但本课程作为联系理论和实践的桥梁，有不少素材可以用作思政教育[9-10]。首先，建模与优化是数据智能的基础课程之一，是发展我国数字经济的重要技术储备。数字经济为建模与优化提供足够的数据资源，而建模与优化可以充分地利用数据资源，更合理地配置人力、物资要素。比如智慧物流领域，科学的物流中心选址和车辆路径规划可以更有效地降低社会物流总费用占 GDP的比重；智慧医疗领域，高效的就医、手术安排，可以提升医疗卫生机构的服务质量和服务效率。

其次，华人运筹学家近年来在该领域贡献颇丰，进一步激发学生在管理科学与运筹学领域的科研自信心。比如，当前最流行的通用求解器Gurobi的开发公司美国Gurobi公司的首席技术官（CTO）兼联合创始人顾宗浩博士，在同济大学取得本科和硕士学位，而“Gurobi”的前两个字母“GU”代表的正是顾宗浩博士的姓氏。再比如，运筹学领域最高奖项——冯·诺依曼理论奖的获得者叶荫宇教授，本科就读于华中工学院（现华中科技大学），叶教授不仅是欧洲最大優化算法求解器制造商MOSEK公司的科技顾问委员会主席，而且协助LEAVES、COPT等我国自主求解器的研发，打破国外求解器的垄断。

三  课程内容

在管理运筹学的基础上，优化模型及软件课程讲授前沿优化求解器的使用、管理科学中的经典优化问题及常用的精确和启发式算法，加强学生对运筹优化理论的理解，提升学生发现工程和管理中的优化问题并建模描述的能力，以及提高学生动手解决问题的能力。优化模型及软件课程主要包含以下四方面内容。

（一）  通用求解器的安装和配置

近年来，国内外主流求解器，如CPLEX、Gurobi、MOSEK和COPT等，都已实现与主流编程语言（C/C++、JAVA、C#和Python等）的无缝衔接，其使用逻辑也逐渐统一为先使用主流编程语言建模、再调用求解器求解模型。与此同时，主流求解器的安装和配置过程也逐渐趋同，即网站注册、软件下载和安装、软件激活、系统环境配置和集成开发环境的设置等。优化模型及软件课程选择当前最为流行、综合表现最好[11]的Gurobi作为主讲的求解器，详细介绍其安装、激活、系统配置，以及主流编程语言开发环境的设置。此外，本课程介绍另外几款求解器的发展历史和特性，鼓励学生对比这几款求解器的求解效率。

考虑到大部分学生具备Python语言的编程基础，以及Python的跨平台和易上手等特性，本课程选择Python作为编程语言。掌握了“Python+Gurobi”的组合，学生可以较为轻松地将相关技术平移到其他“编程语言+求解器”的组合上。

（二）  求解器Gurobi的使用

这部分内容讲授如何使用Gurobi求解线性规划和（混合）整数规划问题。首先，介绍“Python+Gurobi”的程序框架，以及建模求解的基础命令。为了让学生更快上手，课程提供Python语言下的程序模板。学生只需更改模板中的决策变量、约束条件、目标函数，可以快速实现对管理运筹学教材中线性规划和整数规划问题的求解。这一过程可以提升学生使用软件解决数学规划问题的兴趣。

然后，本课程讲授Gurobi的高级命令及通过循环语句构建大规模数学规划问题。课程会提供相应程序模板供学生参考，以及大规模优化问题的数据文件供学生使用。接着，介绍Gurobi中的常用参数及Callback命令，实现对求解过程的控制，同时帮助学生在实践中进一步理解运筹学理论和算法。最后，介绍Gurobi求解多场景、多目标问题的方法，以及借助分段线性函数求解非线性规划问题的技巧。

（三）  管理科学与工程中常见的优化问题及建模

这部分内容讲授管理科学中的选址问题、集合划分/覆盖问题、车辆路径问题等经典的优化问题。选址问题包括设施选址和枢纽选址，在生产生活、物流，甚至军事中都有着非常广泛的应用；集合划分/覆盖问题则可应用于乘务计划、车辆周转、物料分割等领域；车辆路径问题是交通和物流领域中最经典的优化问题，物流配送、运输服务中的许多问题都可以看作是车辆路径问题的变型。

在学习优化模型及软件课程之前，部分学生通过竞赛接触过一些优化问题，但是没有经过系统的建模训练，缺乏从实际问题中提炼数学规划模型的能力。本课程从实际案例引出经典的优化问题，给出决策变量、约束条件、目标函数和模型参数的规范定义，引导学生逐步完成基础模型的建立，培养学生提炼数学规划模型的能力。然后，给出大规模案例，指导学生在“Python+Gurobi”的环境求解建好的数学规划模型，并尝试调整Gurobi的参数，加快求解大规模规划模型的速度。此外，结合应用场景的有界性、动态性等特征，扩展基础模型，使其更加贴近实际。最后，针对具体的优化问题，介绍不同的建模角度，比如基于弧的模型、基于路径的模型等，开拓学生的建模思路。

（四）  精确和启发式算法

使用Gurobi直接求解，通常只能得到中等规模优化问题的解。为解决大规模优化问题，往往需要设计精确或启发式算法，将大规模问题分解为一系列小规模问题，采用求解器或设计规则快速得到小规模问题的解，然后再构造原问题的可行解或最优解。常用的精确算法包括Benders分解算法和列生成算法；启发式算法包括邻域搜索算法、模拟退火算法、遗传算法和蚁群优化算法。本课程重点讲授精确算法的原理及编程实现。

本课程首先回顾了凸集的基本概念和定理，以及线性规划对偶理论，作为讲解Benders分解算法的基础。然后，介绍经典Benders分解算法的原理和实现过程，以及Benders分解算法在选址优化问题中的应用；进一步的，指出经典Benders分解算法的缺陷，从而引出改进的Benders算法框架——结合求解器callback功能的branch-and-Benders-cut算法。

在列生成算法部分，本课程借助物料分割问题引出列生成算法的概念，并通过单纯形法讲解列生成算法的原理和步骤；然后，从原理、操作步骤等方面，对比Benders分解算法和列生成算法；接着，介绍列生成算法在车辆路径优化、乘务排班优化问题中的应用。

本课程精确算法涉及的理论基础，都可以在运筹学课程中找到，比如凸集理论、对偶理论、检验数等，因此通过讲授算法，加强学生对运筹学理论基础的理解。此外，为帮助学生尽快上手，本课程提供经典Benders分解和列生成算法案例的Python语言代码。精确算法的编程实现过程，整合学生所学的计算机语言、数据结构、运筹优化等知识，提高学生动手解决实际问题的能力和信心。

四  教学方法

与运筹学、最优化等基础理论课程不同，优化模型及软件课程强调发现问题、建立模型、编程求解的实践能力。相应的，教学方法也有极大的区别。

（一）  课堂上机练习

优化模型及软件课程有三分之一左右的课时讲授求解器的使用，其中一半为上机练习。具体而言，90分钟的课堂，前45分钟介绍求解器的使用，并给出练习题，后45分钟上机做题巩固知识点，遇到问题由教师当堂解答。课程统一使用Python语言，避免教师在不同编程语言之间切换。此外，课程提供一定数量的Python程序模板，学生在初期可以通过修改模板中的命令建立简单的优化模型，其注意力更多地集中于求解器的使用流程而不是编程语言的细节。

（二）  课下在线交流

鼓励学生在课下通过课程群提问交流。由于课下作业需要编程完成，学生在课程初期难免遇到编程上的问题，很可能被卡在一个很小的程序细节上。教师通过学生发送的“程序报错”截图，可以较快地定位错误所在并帮助学生调试。这一过程既是对教师调试能力的提升，也能增强学生对教师的信任，以及对课程的兴趣。教师也通过课程群，发送求解器和算法的新闻，让学生了解学术界和业界的前沿成果。

（三）  开放的课程报告

优化模型及软件以课程报告的形式考核学生掌握程度。课程报告的选题是开放的，包括不同求解器的求解效率对比实验，经典优化类论文的算法实现，身边的建模优化问题及求解等。过去两年，有学生选择经典算法复现，并基于公开数据集，检验算法效率；也有学生研究“北京理工大学建筑景点拍摄路线规划”问题，建立车辆路径优化模型并设计算法。在最后两节课，学生在课堂汇报自己的选题及拟采取的研究方案时，与教师和其他学生讨论方案的可行性；结课后30天，学生提交课程报告。这一过程可以看作是缩微版的项目研究，学生可以提前了解未来的学术研究或工程项目。

五  结束语

本文收集并分析了我国开设管科类专业的主要高校的培养方案，发现绝大部分高校运筹优化类课程存在重视理论和概念、忽视应用和实践的问题，与业界对运筹优化类人才的需求有较大偏差；少数高校已开设建模与优化等应用实践课程，但也存在讲授内容与运筹学基础难成体系的问题。结合北京理工大学信息管理与信息系统专业开设的课程优化模型及软件，本文探讨了建模优化实践课程的教学目标、课程内容及教学方法。通过建模与优化课程的建设，完善运筹优化类课程体系，形成“基础理论+应用实践”的培养模式，使得管理科学与工程类专业更适应数字经济时代业界对运筹优化人才的要求。

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