胡坤　任兰兰

【摘 要】 马尔科夫链本质上是一条时间序列，下一时刻的状态只依赖于上一时刻的结果.在最新的计算数学与应用数学科研领域中，常用马尔科夫链蒙特卡罗方法（MCMC）进行参数估计.由于马尔科夫链具备良好的概率性质，因此，在高中数学概率问题中引用马尔科夫链成为了热潮.同时，由于概率问题的求解常会遇到递推公式，所以，借助数列方法显得格外重要.以两个马尔科夫链模型——“赌徒破产”和“悬崖漫步”为例，叙述解题方法和相关结论.

【关键词】 高中数学；概率数列模型；马尔科夫链；MATLAB;仿真分析

概率统计是高中数学的重要一章.近年来，随着概率题的不断升级，以条件概率和全概率为基础的数列模型被挖掘出来，不断上升为考试热点.以2023年新高考全国Ⅰ卷为例，第21题也考查了概率数列模型，重视程度可见一斑.目前，有文献表明，概率数列模型的应用场景非常广泛，涉及博弈、金融、预测等领域［1］.下文以近期较热门的马尔科夫链为例［2］，阐述概率数列模型在这类问题中的解决办法，并利用数学软件MATLAB进行仿真分析，得出背后的一些数理结果.

1 马尔科夫链——“赌徒破产”模型

马尔科夫链的数学定义：假设序列状态是…，Xt－2，Xt－1，Xt，Xt+1，…，那么Xt+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态Xt，即P（Xt+1|…，Xt－2，Xt－1，Xt）=P（Xt+1|Xt）.

现实生活中存在着许多马尔科夫链，如著名的“赌徒破产”模型［3］.假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌赢的概率为1/2，且每局赌赢可以赢得1元；每一局赌输的概率也是1/2，且赌输就要输掉1元.赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中的赌金为0元，即赌徒输光；另一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博.记赌徒的本金为A元（A∈N*，A

3 结语

高中阶段，概率是高考的必考一章，从各地区的模拟题和高考题可看出，概率的数列模型已成为研究热点［1-2］.学生对古典概型、二项分布、超几何分布、正态分布（连续型和离散型）等学习可能较为熟悉，而对数列和概率交叉形成的模型较为陌生，特别是复杂的构造问题.经过本文的叙述可以得出，教师在概率教学中要大胆创新，积极研究考试热点，启发学生用发展的眼光看问题，用交叉的思路解题，为大学不同专业的学习和发展打下基础.

参考文献

［1］ 刘海涛.探析隐藏在高考概率题中的数列模型［J］.数学教学研究，2021，40（05）：63-67.

［2］ 董晓立.数学精微何处寻，纷纭题海有模型——一类基于马尔科夫链的概率试题研究［J］.数学之友，2022，36（18）：80-81+84.

［3］ 王颖俐，严俊秀.赌徒输光问题的解法［J］.太原师范学院学报（自然科学版），2016，15（01）：6-8+12.

作者简介 胡坤（1992—），男，安徽池州人，硕士，中学一级教师；研究方向为反问题计算及资料同化方法；发表SCI论文2篇，高中数学教学研究论文7篇.

任蘭兰（1991—），女，江苏苏州人，硕士，中学一级教师；研究方向为初等数学教学；发表论文2篇.

基金项目 江苏省现代教育技术研究2021年度立项课题“基于现代信息技术的高中数学教学模式创新研究”（2021-R-94387）；2022年度“姑苏教育人才”项目“基于‘自研·共习·自求的中学数学教师协同发展路径的实践研究”（RCZZ202209）.