卢荣亮　孙超逸　高贞

【摘 要】 从改编2023年全国新高考Ⅰ卷18题出发，应用理论联系实际的方法，探究高考立体几何试题改编路径：变背景、变条件、变问题；以“抠图法”得到新的几何体，并通过8种不同解法谈改编题的质量．

【关键词】 新高考；立体几何；改编；变背景；变条件；变问题

题目 （2023年全国新高考Ⅰ卷18题）如图1，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4．点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3．

（2）点P在棱BB1上，当二面角P-A2C2-D2为150° 时，求B2P．

我们知道高考立体几何试题一共分三个部分：背景、条件、问题，因此我们的改编路径有以下几种：条件、问题均不变，形式变一变［1］；条件不变，问题改变；条件改变，问题不变；条件和问题均改变；背景改变，条件和问题均不变；背景改变，条件或问题改变［2］．下面我们基于前五种路径对2023年全国新高考Ⅰ卷18题进行改编．为什么要改编第18题？因为笔者参加了第18题的阅卷工作，发现第一问有很多奇怪的解法，最常规的建系法反而不会用，因此就有了改编1—4．

改编1 题目条件不变，问题也不变，只是问题的形式变一变：

（1）证明：A2，B2，C2，D2四点共面．（问法不一样，本质和原题一模一样）

（2）点P在棱BB1上，当二面角P-A2C2-D2的余弦值为－3/2 时，求B2P．

改编2 题目条件不变，改变问题：

（1）证明：B2C2⊥平面A1B1CD；

（2）点P在棱BC上，求平面PA2C2和平面A2C2D2的余弦值的取值范圍．

答案：（1）略；（2）0，21/7

为什么想到问题“B2C2⊥平面A1B1CD”？因为有学生通过两条直线垂直同一个平面证明两直线平行．第（2）问去掉“二面角P-A2C2-D2为150°” 这个条件，自然就有这样的问题：求平面PA2C2和平面A2C2D2的余弦值的取值范围．

改编3 条件改变，问题不变：把题目中的“BB2＝2”这个条件去掉，换成“B2为BB1上的动点”．