臧传臻

中国铁路设计集团有限公司， 天津 300308

我国高速铁路部分线路途经深厚软土地带，区域内沉降具有不均匀、范围大、一定时期内持续等特点，再加上持续多年的高频次运营使用，部分地段的线路偏差超出了TB 10621—2014《高速铁路设计规范》和TG/GW 115—2023《高速铁路线路维修规则》的限值要求。此外，我国有大量无砟轨道线路，线形调整量较大时需进行揭板重建，实施困难且工作量大。因此，有必要对超限地段进行平纵断面线形重构，并进行动力学仿真评估，从而在确保行车及下部结构安全性、乘车舒适性的前提下，减少工程投资，为运营期高速铁路基础设施沉降的高效整治提供理论依据。

通过增设竖缓和曲线来优化高速铁路纵断面线形的意义显著。一方面，随着高速铁路运营速度越来越高，列车与线路之间的动力相互作用显著增大，高速列车具有较长的振动衰减周期，易发生振动叠加。相比于平面线路同时采用缓和曲线与圆曲线进行过渡，传统纵断面线路只以圆形竖曲线连接两坡段，线路在直圆点和圆直点处会出现曲率突变，从而导致车体垂向加速度产生突变，致使列车受到垂向冲击。通过在圆形竖曲线与直线坡段之间设置竖缓和曲线，可避免曲率突变，从而提升高速铁路纵断面线形的平顺性，增强列车运行安全性和舒适性。另一方面，运营期内发生工程沉降变形后，对于沉降变形范围较大但差异沉降变化速率较小的地段，在扣件可调范围之内可采用扣件调整方案。为了确保拟合调整曲线更接近实际不均匀沉降曲线，减小轨道结构调整量，在进行纵断面线形重构时可在纵坡与竖圆曲线之间设置竖缓和曲线。

国内外相关学者目前对传统纵断面线形参数做了较多研究。Hodas［1］分析了不同速度条件下纵断面参数对车辆振动的影响。魏云鹏［2］对比分析了不同纵断面参数对客货共线铁路列车动力响应的影响。帅文忠［3］基于实测轨面高程数据，从动力学角度对普速铁路既有线纵断面几何优化进行了研究。易思蓉等［4］研究确定了客货共线铁路不同的隧道长度所对应的最大坡度系数。张梦然［5］对不同纵断面、不同牵引制动工况条件下重载列车动力学性能和运行能耗进行了研究。王佳［6］研究了不同牵引制动工况下最小坡段长度对列车纵向作用力的影响。汪莹［7］分析了不同牵引制动工况下坡度同重载铁路列车行车性能的关系。魏庆朝等［8］研究了纵断面线路参数和车速对行车动力响应指标的影响规律。国外研究成果对纵断面参数的研究包含了坡度、坡段长度、竖曲线半径、车速等方面，对纵断面内竖缓和曲线的相关研究极少。

本文针对车辆在纵断面曲线上行驶建立数学分析模型，对比两种竖缓和曲线的数学特性和动力学特性，并基于此提出列车行驶速度、列车牵引加速度、竖曲线半径、竖缓和曲线长与运动加速度、加速度时变率之间的关系式；借鉴350 km/h 及以下车速条件下考虑线路参数所进行的动力学响应变量计算思路，并在纵断面中增加竖缓和曲线因素，建立CRH380B 列车-轨道动力学模型，仿真计算列车行车动力响应变量，验证竖缓和曲线参数取值的合理性。在已知列车运行工况的情况下，研究成果可为纵断面线路参数的合理取值提供借鉴。

1 竖缓和曲线函数

规定变坡点为坐标系原点，且线路上某坐标点与变坡点的里程差和高程差分别为该坐标点的x、y值。如果连续函数存在n阶连续导函数，则称其Cn连续。传统铁路纵断面线路通过在相邻坡段间设置竖曲线，只能实现C1连续。基于行驶动力学理论将列车简化成一个质点，则质点在纵断面某位置所受的离心力和离心加速度均与线路函数在该位置的二阶导数（曲率）有关，所受离心力变化率和离心加速度变化率与三阶导数（曲率变化率）有关。故若使列车在行驶过程中所受离心加速度连续变化，线路函数应满足C2连续；若使列车在行驶过程中所受离心加速度变化率连续变化，线路函数应满足C3连续。本文将线路设置成直坡段 + 竖缓和曲线 + 圆形竖曲线 + 竖缓和曲线 +直坡段的形式，使线路实现高阶单调连续可导。

竖缓和曲线采用多项式函数。计算表明，可实现线路C2连续的最低次方多项式函数为三次多项式函数，规定为第一类竖缓和曲线线形。对于直坡段、竖缓和曲线段、圆形竖曲线段，线路函数依次表达为

式中：g1为直坡段坡度角，以顺时针为正，rad；LH为竖缓和曲线的长度，m；LY为圆形竖曲线的长度，m；ρ为曲率，m-1，竖曲线为凹形时取1/R，为凸形时取-1/R，R为曲线半径。

经推导知，可实现线路C3连续的最低次方多项式函数为五次多项式函数，规定为第二类竖缓和曲线线形。对于竖缓和曲线段、圆形竖曲线段，线路函数依次表达为

对比式（2）和式（4）、式（3）和式（5），发现C3连续曲线与C2连续曲线的最大竖向差值为/60，可见竖曲线半径越小，竖缓和曲线越长，则竖向差值越大。

2 线路参数合理取值

车辆在纵断面曲线上的运动加速度、加速度时变率可作为确定线路参数的主要评价指标。通过建立列车行驶速度、列车牵引加速度、竖曲线半径、竖缓和曲线长与评价指标之间的关系式，进而根据评价指标限值来确定线路参数限值，实现线路设计参数匹配。

因为纵断面坡度很小，所以列车通过两坡段间夹曲线时所受未被平衡离心加速度可简化为

式中：ay(x)为列车在x位置处的竖向加速度，m/s2；v(x)为列车在x位置的行驶速度，m/s；ρV(x)为线路在x位置的曲率，m-1。

当列车处于圆形竖曲线上时线路曲率最大，故而最小竖曲线半径可由式（7）确定。

式中：ay为列车竖向离心加速度最大值，m/s2；vmax为列车最高行驶速度，m/s；ash为竖向离心加速度容许值，国外一般取0.15 ～ 0.60 m/s2。

铁路行业规定，竖向加速度时变率容许值（a′sh）一般取0.3 ～ 0.5 m/s3，又v(x) = dx/dt，因此应满足

式中：a′y(x)为列车在x位置的竖向加速度时变率，m/s3；ax(x)为列车在x位置的纵向加速度，m/s2；y(x)为列车在x位置的竖向位移，m。

由式（8）可知，在特定圆形竖曲线和竖缓和曲线上，列车行驶速度和纵向加速度越大，所受竖向加速度时变率越大。第一类竖缓和曲线的最大曲率为|ρ|，曲率变化率为固定值|ρ|/LH；第二类竖缓和曲线的最大曲率变化率达最大值1.5|ρ|/LH时的曲率为|ρ|/2。故两类竖缓和曲线在满足式（7）的同时，还应分别满足式（9）、式（10）。由列车最高行驶速度、最大牵引加速度、最小竖曲线半径、加速度时变率限值，可确定最小竖缓和曲线长。

式中：a′y为列车竖向离心加速度时变率最大值，m/s3；amax为列车最高牵引加速度，m/s2。

可知，amax和vmax越大、a′sh和R越小，LH可取的最小值越大。令ash= 0.38 m/s2，vmax= 350 km/h，则R取25 000 m。令amax= 0.2 m/s2，a′sh= 0.5 m/s3，则第一类竖缓和曲线的LH最小值为106 m（不考虑纵向加速度时为74 m），第二类竖缓和曲线的LH最小值为130 m（不考虑纵向加速度时为111 m）。建议优先采用第二类竖缓和曲线，困难地段可采用第一类竖缓和曲线。

3 仿真模型

基于多刚体动力学理论、结构动力学理论，采用动力学仿真软件和有限元软件，建立列车-线路-轨道耦合动力学模型。令车体、每个转向架、每个轮对各有5 个自由度（横移、沉浮、侧滚、摇头、点头），从而得到一个具有35 个自由度的横向-垂向耦合的车辆模型。无砟轨道的振动形态主要表现为钢轨和轨道板在垂向和横向的变形。钢轨在垂向和横向均视为连续弹性点支承的无限长梁。轨道板与下部混凝土基础呈连续弹性点接触状态，且轨道板的长宽尺寸远大于其厚度，因而在垂向将轨道板简化为弹性薄板，其变形主要体现为垂向的位移、弯曲和翘曲，在横向上轨道板的变形主要为板的弯曲。轮轨法向力由赫兹非线性弹性接触理论确定，轮轨蠕滑力由经Johnson-Vermeulen理论进行修正过的Kalker理论确定。

采用某高速铁路区段2 000 m 列车检测数据，输入其高低与轨向不平顺（图1），进行模型验证。结合列车实测数据，从时频域对比车体垂向、横向加速度的仿真与实测数据，验证模型的正确性，见图2。可知：车体垂向、横向加速度的仿真结果与实测数据在时域和频域上均能得到较好的对应，即仿真结果与实测数据有较好的相关性。本文所建立的列车-线路-轨道耦合动力学模型合理。

图1 实测轨道不平顺

图2 车体垂向、横向加速度时频域对比

4 工程案例

根据某工程案例沉降情况，确定整治方案为：根据既有轨面高程，通过扣件调整，达到拟合竖曲线方式设计适应速度350 km/h 的新线形。其中拟合竖曲线半径不小于25 000 m，五次抛物线型竖缓和曲线的长度不小于130 m，扣件竖向调整量应满足-4 ～ 26 mm的要求。

4.1 轨面竖曲线拟合

根据既有轨面高程差数据（扣件均为标准件时的高程数据），按350 km/h 的运行速度，对轨面高程差进行竖曲线拟合，平顺性优化前后的轨道垂向偏差见图3，调整量见图4。调整量在-2 ～ 8 mm。

图3 平顺性优化前后轨面垂向偏差

图4 扣件调整量

平顺性优化前后10、30、60 m 中点弦测值见图5。可知：三种中点弦测值均有不同程度改善，且满足高低不平顺控制要求。

4.2 动力学仿真评估

对新设计轨面目标线形开展行车安全性和舒适性评估。行车舒适性指标主要包括车体垂向、横向加速度，安全性指标主要包括轮轨垂向力、轮轨横向力、脱轨系数和轮重减载率。

计算得到速度350 km/h 条件下沉降整治区段及其相邻区段共计530 m 范围内的各动力学响应指标时程曲线，见图6。各动力响应指标的最大值见表1。可知：行车舒适性指标中的车体垂向加速度，安全性指标中的轮轨垂向力、脱轨系数、轮重减载率均满足限值要求，且线形优化后分别减小54.47%、24.54%、87.69%、93.65%。可见，高速动车组能安全舒适地以设计速度350 km/h 通过该新设计轨面目标线形地段，目标线形可进行实施。

表1 优化前后各动力响应指标最大值

图6 优化前后各动力学响应指标的时程曲线

5 结论

1）竖曲线半径越小，竖缓和曲线越长，则两类竖缓和曲线的竖向差值越大。

2）根据提出的列车运行工况、线路参数、舒适度指标之间的关系式，在已知列车最高行驶速度和最大牵引加速度的情况下，可确定最小竖曲线半径和最小竖缓和曲线长，为运营期沉降变形后高速铁路线路拟合调整方案的制定提供理论依据。

3）列车最高行驶速度和最大牵引加速度越大，或者加速度时变率限值和竖曲线半径越小，则最小竖缓和曲线长度越大，车速350 km/h 条件下的三次抛物线和五次抛物线线形中缓和曲线的最小长度分别为106、130 m。