剖析教学缺失之因提升理解教材之术

2023-06-15安振亚

中学数学杂志(高中版) 2023年3期

【摘要】数学教学缺失是数学教学环节或教学内容不完整，对学生的数学学习与素养提升产生不利影响的一种教学现象.数学教学缺失与数学教师“面向教学的数学知识”有关.其中，导致数学教学缺失的主要原因是数学教师理解教材的水平偏低.规避数学教学缺失需要数学教师整体把握数学教材的逻辑结构，局部研读数学教材的匠心设计，不断提升理解教材的水平、境界与道术.

【关键词】教学缺失；理解教材；数学教学

当下，如何培育学生的数学素养成为数学教育界谈论的焦点.虽然大家的观点不同，但是不能否认的是，数学教学是发展学生素养的一条基本途径.评判这条途径是否有效的关键是数学教学的质量.而以赛促教，提升数学教师的专业水平是保证数学教学质量的前提条件.

然而，在近期某校举行的青年教师优质课比赛活动中，数学教学出现了不应有的“缺失”：节引言缺失，学生摸不清研究问题的方向，头脑中形不成研究问题的整体框架，只能被老师“牵”着走；承载概念内涵的典型事例缺失，学生不能有效归纳概念的本质属性，导致概念学习的先天不足；数学规定合理性的解释缺失，学生记住的只是一些冰冷的“告知”，无法感受“规定”背后所散发的“理性”魅力；性质拓展的缺失，学生无法领会前后相关知识的内在联系，造成前后认知的割裂等.这些缺失影响数学教学质量的提升，不利于学生数学素养的培育.

本次活动采用无生上课的形式，课题分别为人教A版数学必修第一册“1.2集合间的基本关系”“2.2基本不等式”“3.3幂函数”“5.1.1任意角”.结合以上四个课题，谈谈产生数学教学缺失的原因.

1剖析教学缺失之因

章建躍先生指出：“理解数学是教好数学的前提.”[1]数学教材包含了课标所要求的数学知识，为数学教学提供了基本素材.因此，数学教师理解教材的水平不高是产生教学缺失的首要原因.

1.1节引言绝非可有可无的“摆设”

新教材的节引言通常位于每节内容的第一段（或前两段），主要介绍本节内容的逻辑起点、核心问题以及研究方法等，起到先行组织者的作用.然而，在本次活动上，节引言并未受到授课教师的重视，要么被直接跳过，要么虽被提及但也仅仅“点到为止”.那么，节引言是否真的是一种可有可无的“摆设”呢？

案例1理解“基本不等式”的节引言，需要明白三个问题：

问题1“乘法公式在代数式的运算中有重要作用”体现在哪里？

与利用多项式乘法法则相比，利用乘法公式可以省略多项式展开、合并同类项的步骤，起到简化运算的作用.

问题2“基本不等式在解决不等式问题时的重要作用”体现在哪里？

基本不等式对具有“特殊结构”的不等式问题也有简化运算的作用.比如当x>0时，求x+1x的最小值.通过配方，得x+1x=x－1x2+2≥2；若利用基本不等式，则无需“配方”直接得到结果.

问题3二者有何联系？

乘法公式属于等式范畴，基本不等式属于不等式范畴.等式与不等式具有诸多相似之处，乘法公式与基本不等式也应具有相似之处.因此，类比乘法公式在多项式乘法中的作用，基本不等式在解决不等式问题时也有重要的作用.

因此，该引言绝不是“摆设”.它可以作为培育学生“发现与提出问题”意识的素材，也可以作为本节内容的一条暗线，指引学生思维的方向.

1.2承载概念本质属性的典型事例一个也不能少

概念是思维的细胞，……，理解概念是一切数学活动的基础，概念不清就无法进一步开展其他教学活动[2].数学概念需要丰富而典型的事例作为载体.这里的“丰富而典型”满足三点：一是所举的事例要两个或两个以上，二是能涵盖数学（几何与代数）、生活等领域，三是能承载概念的本质属性.

案例2“集合间的基本关系”一课是通过对“观察”栏目中的三个事例的观察、分析、比较、归纳等思维活动，抽象概括出子集的定义.然而在此次活动中，一些教师只利用前两个事例就得到子集的定义，是有问题的.

首先，三个事例分别选自代数、实际生活以及几何领域.如果舍弃了事例3，那么就失去了数学情境中的几何情境，事例将不再“丰富而典型”.

其次，子集是“真子集”与“集合相等”的统称[3].而前两个事例的共性是每一个事例中的前一个集合中的元素都是后一个集合的元素，而后一个集合中的元素不全是前一个集合的元素.因此，由这两个事例得到的是真包含关系，而不是包含关系.只有三个事例共同“作用”，才能得到完整的子集.当然，新教材给出子集的Venn图（教材第7页的图1.21）只有真包含而没有相等的情形，也是值得思考的.

对于新教材中承载概念内涵的事例，数学教师应认真揣摩每一个事例的意义与用途，不能随意舍弃每一个事例.

1.3不讲“规定”的理由不是无知就是“耍无赖”

数学教材中的“规定”是不可缺少的内容，通常有两种：只能如此，唯一选择；若干种可能，任选其一．教师在解释数学规定时，不仅要讲推理更要讲道理；倘若教师不讲规定的理由，那不是无知就是耍无赖[4].

案例3在本次活动中，选择“课题4”的参赛教师大都是由生活中的“体操名称”和双齿轮旋转模型，得出角不仅有旋转量，还有旋转方向，然后“规定”正角、负角和零角.然而，通过这两个事例，学生虽然能感知到存在超出范围（0°～360°）和不同旋转方向的角，但是不能真切感受到旋转方向对角的意义.如果就此“规定”角，那么学生只知其然，却不知其所以然，从而使“规定”变成“命令”.这是不是意味着数学教师在“耍无赖”呢？

理解该“规定”，需要弄清楚三个问题：

问题1为什么要规定旋转方向？

有两个原因，一是生活中存在带有方向的角；二是推广角的需要.角的推广是为了描述作圆周运动的点的位置，进而刻画圆周运动的变化规律，从而把握现实世界中“周而复始、循环往复”的现象.因此，只有把角置于圆周运动的背景中，学生才能真正认识到旋转方向对点的位置的影响，才能真正感受到“旋转方向”对角的意义.比如圆周上的点P从点O出发分别做逆时针、顺时针方向旋转60°，此时点P的位置差别很大.

问题2为什么要规定逆时针方向为正，顺时针方向为负？

如果规定逆时针方向为负，顺时针方向为正，那么会有什么问题呢？举两个例子，一是三角函数的定义会出现矛盾，影响整个三角函数概念体系的构建.比如图1，射线OA绕着点O顺时针方向旋转60°，交单位圆于点A′12，-32，则由三角函数的定义，得sin60°=－32，这与初中的三角函数知识不符；二是给倾斜角的定义带来困扰.根据新教材中倾斜角的定义，如果让x轴（正向）绕着交点逆时针方向旋转到与直线l重合，那么得到角的范围是-180°～0°；顺时针方向旋转得到角的范围是180°～360°.无论把哪种旋转情况作为倾斜角的范围都会给直线斜率的学习带来困扰.

问题3如何自然地“规定”角？

首先举生活中的事例以及圆周上点的（正反）运动，让学生感受推广角的必要性；其次，引导学生回忆初一正数、负数和零的（数轴）规定：数轴上点P从原点O出发，如果沿着x轴正向运动到点P1，那么点P1表示的数就是正数；如果沿着x轴反向运动到点P2，那么点P2表示的数就是负数；如果沿着x轴正、反向不运动，那么该点表示的数就是零.然后类比正数、负数和零的规定，自然地引出正角、负角和零角的规定.

因此，教师要具有深入研读的眼光和仔细研磨的匠心，挖掘“规定”背后的理性资源，给学生一个合理的解释，让学生感受数学“冰冷”面具下的“温度”.

1.4讲解一般幂函数的单调性也未尝不可

函数的单调性是函数最基本的性质之一.掌握了函数的单调性也就把握了客观事物的变化规律（增减）.

案例4从教材内容的编排看，幂函数是在函数的概念、表示以及基本性质之后，指数的扩充之前.因此，学生不具备学习一般幂函数的单调性的知识储备（实数指数幂）.从课标的内容要求看，学生需要“结合y=x，y=1x，y=x2，y=x，y=x3的图象，理解它们的变化规律，理解幂函数”.[5]

因此，执教本课题的参赛教师只讲五个简单幂函数的单调性，而不介绍一般幂函数的单调性.那么，有没有必要讲一般幂函数的单调性呢？

要回答这个问题，首先要解决两个问题：

问题1没有实数指数幂作为学生的认知基础，讲一般幂函数的单调性是否合适？

新教材指出“S也可以表示为S12”.在得到幂函数的概念后，再次指出“幂的指数除了可以取整数之外，还可以取其他实数，当它们取其他实数时也具有各自的含义，这些会在后面学.”既然教材已经明确指出实数指数幂有意义，那么“顺水推舟”介绍一般幂函数的单调性也未尝不可.

问题2一般幂函数的单调性“超标”了，还有没有必要讲？

首先，北师大数学系教授保继光认为，课标给出了数学教学的最低标准，数学教学应高于课标要求.人教社李海东老师也认为，归纳也是代数教学的核心，“归纳地想”“归纳地发现规律”做得多了，思想也就体现出来了[6].由五个简单幂函数的单调性归纳猜想出一般幂函数的单调性，有助于学生感悟归纳思想.再次，对于新教材“4.2.2指数函数的图象和性质”的课后练习“比较下列各题中两个值的大小：（1）62，72”，“教师教学用书”指出：“利用指数函数的单调性比较两个数的大小，进一步熟悉指数函数的性质，可结合例3完成[7].”虽然我们可构造指数函数y=6x，y=7x，借助它们的图象与直线x=2交点的位置关系解决，但是这种解法并不符合教材的设计意图（利用指数函数的单调性比较两个数的大小）.可构造幂函数y=x2，利用幂函数的单调性处理.然后把该解法与“利用指数函数的单调性比较两个数的大小”的方法作比较，能让学生认识到幂函数与指数函数的本质差别，从而深化对指数函数的理解.在这里用到了指数是无理数的幂函数的单调性.

因此，无论是出于学生发展的需要，还是出于强化前后知识相互联系的需要，讲解一般幂函数的单调性都是适宜的.

2提升理解教材之术

如前所述，数学教師对教材理解的不到位是造成数学教学缺失的首要原因.因此，教师应该认真钻研教材，不断提升理解教材的技术，这样才能有效规避教学缺失.那么，数学教师如何提升理解教材的技术呢？

2.1整体把握数学教材的逻辑结构

发展学生的数学素养，单元教学是一条有效途径.单元教学注重整体关联性，表现在知识内容的整体性、教学安排的整体性、对学生认知把握的整体性[8].教学中首先应是在见树木更见森林，见森林才见树木下整体构建知识体系[9].单元教学的整体性首先要求数学教师整体把握数学教材的逻辑结构，包括主题与主题之间、主题内部的章与章之间、章内部的节与节之间的逻辑关系.在整个逻辑框架下理解数学知识的产生与发展、地位与作用、课程要求与育人价值.以任意角的定义为例（如图2）.

主题之间：主题二是以主题一为基础，并作为主题三的基础，是架设在二者之间的桥梁.主题二内部的章与章之间：第三章研究的是一般函数的概念与基本性质，是第四、五章的理论基础，第四、五章是以第三章为指导，是对第三章的应用与深化，第四章与第五章是介绍三种基本初等函数，是并列关系.虽然两者研究的内容与路径基本一致，但是研究方法差别很大，前者重在研究增减变化规律，后者主要借助单位圆来研究周期性变化规律，并且三角函数的对应关系比较特殊，无法借助运算来表征.第五章内部的节与节之间：角是基于实际需要而扩充到任意角，并作为三角函数概念体系的构建基础.缺少了任意角，就无法实现对“周而复始、循环往复”的数学刻画.所以，任意角是“三角函数”一章的基石.

2.2局部研读数学内容的“匠心”设计

数学教材是数学教育专家逐字逐句、反复打磨而成的，其结构体系、概念与原理、例习题都是经过精挑细选与精雕细琢的，每一个插图、每一句提示语、甚至每一个标点符号都有其特定的意义.“细节决定成败”，数学教师不仅要整体把握，更要拿着“放大镜”，仔细研读数学教材设计的细微之处，领会编者的匠心独运.比如研读“基本不等式”的引言能发现：基本不等式不仅是推导其他一些不等式的基础，其蕴含的“简化运算”思想更是作为一条暗线贯穿本节的始末.研读“集合间的基本关系”的“观察”能发现：三个事例的数学价值不同，不可或缺.研读“简单的幂函数”中对“幂的指数”给出的说明，能够解决学生心中的困惑（学生已有的认知是幂的指数只能取整数），体现教材的细节处理.

2.3境界提升教材理解的道术

数学教师要从宏观与微观两种视角理解数学教材，既要整体把握数学教材的结构体系，也要局部研读数学教材的“细枝末叶”.教师必须局部与整体兼顾，努力达到以下四重境界，即要善于在高等数学的观点指导下研读教材;要善于揭示片段知识之间的内部联系;要善于在知识演化过程中理解片段内容;善于挖掘片段知识所蕴含的文化价值[10].提升境界，磨砺理解教材的眼光，领悟理解教材的内核，提升理解教材的道术.

3结束语

核心素养导向下的数学教材发生了很大变革，情境现实化、知识问题化、结构逻辑化都对数学教师的教学提出了更高的要求.数学教师要努力丰富“面向教学的数学知识”，促进个人专业化成长，提升理解教材的水平、境界和道术，为更好地教数学而理解，为数学更好地育人而理解.

参考文献

［1］章建跃.理解数学是教好数学的前提[J].数学通报，2015（01）：61-63.

［2］曹才翰，章建跃.中学数学教学概论（第三版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.7：282285.

［3］陆学政.“集合间的基本关系”观课思考与教学设计[J].中学数学教学参考，2015（05）（上旬）：13-16.

［4］任念兵.深度研读教材，促进专业成长[J].中学数学（高中版），2020（09）：81-83.

［5］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.5：20.

［6］李海东.“理解数学”是教好数学的前提[J].中國数学教育（高中版），2010（04）：2-4.

［7］人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书教师用书·数学·第一册（A版）[M].北京：人民教育出版社，2019.7：175-176.

［8］吕世虎，杨婷，吴振英.数学单元教学设计的内涵、特征以及基本操作步骤[J].当代教育与文化，2016（04）：41-46.

［9］章建跃.基于数学整体性的“四边形”课程、教材及单元教学设计[J].数学通报，2020（06）：4-9+36.