蒋海燕 甘志国

【摘要】为了高效复习备考，文章结合《普通高中课程标准》，并参考前几年高考数学试卷的命制规律，对2023年高考数学“函数与导数”部分的热点、重点和难点作简要分析，并编拟了46道试题供复习参考.

【关键词】2023年高考；函数与导数；复习备考；试题；原创

2023年高考数学试卷的使用情况是除浙江有所调整外（2022年是自主命题，2023年使用新高考卷1），其余各省市区使用的试卷均与2022年保持一致［1］.

函数是整个高中数学的一条主线，导数又是研究函数的有力工具，因而“函数与导数”是高三数学复习的重要内容之一.

涉及“函数与导数”的复习内容很多，为了高效复习备考，本文将结合教育部制定的《普通高中课程标准》［2］，并参考前几年高考数学试卷的命制规律，对2023年的高考数学“函数与导数”部分的热点、重点和难点作简要分析，并编拟了46道相关试题.

文章的叙述仅代表作者个人观点，谨供读者参考.

12023年数学高考“函数与导数”部分热点、重点和难点分析

考生应熟练掌握函数（尤其是幂、指、对等基本初等函数及三次函数）的概念、基本性质（包括定义域、值域、单调性、奇偶性与图象），了解其他性质（包括连续性、周期性、对称性、有界性、可导性、凹凸性、极值与最值等）.函数最重要的性质是单调性，若求出了一个函数的所有单调区间及其单调性，就可画出该函数的图象，进而可得到该函数的极值、最值、值域等性质.

2023年函数高考重点：幂、指、对等基本初等函数的概念及基本性质，尤其是函数的单调性与奇偶性.

2023年函数高考热点：函数的零点，求参数的取值范围（往往需要对参数进行分类讨论），多次求导（考生要能看出何时需要再求导.导数是研究函数的有力工具（重点是研究单调性），如果函数f（x）的导函数f′（x）的性质（主要是单调性）已经很清楚了，就没有必要再对函数f′（x）求导；否则，需对f′（x）再求导.解答2021年高考数学天津卷第20（2）题时，需要对函数f（x）二次求导，还需要对函数f′（a）二次求导；解答2021年高考数学天津卷第20（3）题时，也需要多次求导），数学文化，新定义问题.

2023年函数高考难点：抽象函数问题，用导数研究与三角函数结合的函数，对参数进行分类讨论，函数不等式问题，找点问题，极值点偏移问题，与整数相关的问题（比如文＼[1＼]的题13）.

2023年数学高考变化：纯数字的比较大小问题可能会在选择题中以难题的形式出现（比如下文的试题5，23）；《中国高考报告2023》［3］中还提出2023年数学高考的命题变化：数学的出题方式将加入复杂情景（比如下文的试题6，40），重点强调对数学思维方法的考查.

《中国高考报告2023》中还提出2023年数学高考命题的四大趋势：落实立德树人，鲜明体现时代主题；高考由“考知识”向“考能力”转变；聚焦“关键能力”和“思维品质”的考查；高考由“以纲定考”到“考教衔接”转变.

笔者认为2023年数学高考关于“函数与导数”的命题趋势是：用基本初等函数的图象解决相关问题（不用导数）；用导数先求出函数的单调区间，再作出函数图象进而研究函数的性质（包括极值与最值、零点个数等等），这是2023年数学高考的兩大总趋势.考生还要注意2023年数学高考试题可能呈现以下10个特点：

（1）可能有选填题源于课本，比如2020年高考全国卷1文科第8题，2021年高考天津卷第7题.

（2）在分段函数中求参数的取值范围.

（3）关于函数图象对称性与周期性的综合问题可能在选填压轴题中出现［4］.

（4）考查函数最重要的性质——单调性.

（5）重点考查函数的极值与最值.

（6）函数零点问题依然是重要题型.

证明函数存在零点［5］时，或直接求出零点；或由零点存在定理（也叫堪根定理）证明函数存在零点，不可仅由图象代替严格证明，往往需要找点（比如2016年高考北京卷文科第20题），这也是解答过程的难点.

（7）函数不等式是难度较大的题目.

不等式恒成立、能成立、恰成立问题可能在选填题中出现，双量词、双参数问题可能出现，求参数取值范围问题会常考常新，考生要熟练掌握用导数证明函数不等式的四种常用方法［6］.

（8）重视对高等数学知识的考查（特别是极限思想，比如2013年高考新课标卷1文科第12题即理科第11题）.

（9）2023年数学高考全国卷较2022年的整体难度会保持稳定（包括整体运算量较大）.

（10）多项选择题、数学文化［7］试题及结构不良问题是近年高考试题的热点.

结构不良问题也叫劣构题（比如2021年新高考全国卷2第22题）是近几年高考试题的热点，它多了一项考查功能：考查考生对选项难易度的甄别，及对所求问题进行合理搭配再完成求解的能力.

2 2023年数学高考“函数与导数”部分知识点对应的试题

2.1选择题

试题1（考查知识点：函数的最值，绝对值不等式的性质）函数y=x－1+2x－2+3x－3（x∈R）的最小值是（）.

A.1B.2C.3D.4

试题2（考查知识点：二次函数，函数的零点，基本不等式）已知函数f（x）=2x2+bx+c（b，c为实数），f（－10）=f（12）.若方程有两个正实数根x1，x2，则1x1+1x2的最小值是（）.

A.4B.2C.1D.12

试题3（考查知识点：对数运算，对数函数，函数的奇偶性）若a为常数，且f（x）=lg2xx+1+a是奇函数，则a=（）.

A.1B.-1C.0D.2

试题4（考查知识点：幂的运算，指数函数，函数的单调性，不等式的基本性质）若关于x的不等式1x+2x+3x+…+（n－1）x+nxa>0（n>1，n是已知的整数）恰在x<1时成立，则实数a的取值范围是（）.

A.－∞，1－n2B.－∞，1－n2

C.1－n2  D.

注：若将本题中的“x<1”改为“x≤1”，则所求答案是D.

试题5（考查知识点：无理数指数幂的意义，幂的运算性质，指数函数的单调性，近似计算）把（2）2写成十进制小数，其第一位小数是（）.

A.0B.9C.8D.6

试题6（考查知识点：对复杂情境问题的阅读理解，指数函数）华夏人寿保险股份有限公司推出了一种叫“华夏富贵竹年金保险（3年期）”的保险产品：购买者须在三年的同一时间段均买一笔保险a（a≥1，10a∈N*）万元（共购买3次，每次a万元），从第一次购买后可续存b（0.01b∈N*）元，且续存的这些钱将从次日起按每天0.11‰的利率复利计息，续存款的本息可随时取出来（3个工作日内到自己的银行账户）.G先生于2017年3月1日买了1.5万元这种保险产品，接着又于2017年4月1日续存了2.22万元，等到2018年4月1日（到了这一天，存期是1年即365天）G先生的这笔续存款产生的本息和是（）.

A.2.22×1.00011365万元B.2.22×1.00011366万元

C.2.22×1.00011367万元D.2.22×1.00011368万元

试题7（考查知识点：量词，分段函数，函数的单调性，函数图象）已知函数f（x）=x2－4x+3，x≤0，

－x2－2x+3，x>0，若x∈［a，a+1］，f（x+a）>f（2a－x），则实数a的取值范围是（）.

A.（－2，0）B.（－∞，0）

C.（0，2）D.（－∞，－2）

试题8（考查知识点：函数的单调性，周期函数，判断命题的真假）（2016年高考上海卷理科第18题）设f（x），g（x），h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f（x）+g（x），f（x）+h（x），g（x）+h（x）均为增函数，则f（x），g（x），h（x）中至少有一个为增函数；②若f（x）+g（x），f（x）+h（x），g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x），g（x），h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）.

A.①和②均为真命题

B.①和②均为假命题

C.①为真命题，②为假命题

D.①为假命题，②为真命题

试题9（考查知识点：函数的概念，函数的奇偶性，复合函数，抽象函数）（2021年新高考全国卷2第8题）已知函数f（x）的定义域为R，f（x+2）为偶函数，f（2x+1）为奇函数，则（）.

A.f－12=0 B.f（－1）=0

C.f（2）=0D.f（4）=0

试题10（考查知识点：构造新函数研究所给函数，幂函数的导数、用导数研究函数的单调性及极值）（由普通高中教科书《数学·选择性必修·第二册·A版》（人民教育出版社，2020）第104页第9题改编）已知函数f（x）=x（x－c）2在x=2处有极大值，则常数c=（）.

A.2B.6C.2或6D.0或2或6

試题11（考查知识点：集合，三次函数，函数的零点）已知多项式p（x）=x3－3x+1有三个零点a，b，c（a

A.是aB.是bC.是cD.不是b且不是c

试题12（考查知识点：构造新函数研究所给函数，解方程，极限，导数的几何意义，基本初等函数的导数，用导数研究函数的单调性）已知函数f（x）=xlnx+ax，若过点（1，1）可作两条直线与曲线y=f（x）相切，则a的取值范围是（）.

A．［1，+∞）B．（1，+∞）

C．（－∞，1） D．（－∞，1］

试题13（考查知识点：构造新函数研究所给函数，导数的几何意义，基本初等函数的导数，用导数研究函数的单调性）已知直线y=2x与函数f（x）=ln（ax+b）的图象相切，则ab的最大值为（）.

A．e4B．e2C．eD．2e

试题14（考查知识点：构造新函数研究所给函数，基本初等函数的导数，用导数研究函数的单调性）若R上的可导函数f（x）满足f′（x）<2f（x），则5fln32与3fln52的大小关系是（）.

A.5fln32>3fln52B.5fln32=3fln52

C.5fln32<3fln52D.不确定

试题15（考查知识点：构造新函数研究所给函数，基本初等函数的导数，用导数研究函数的单调性，极限，两条曲线的公共点）已知函数f（x）=exx+x与g（x）=lnxx+k的图象有两个公共点，则常数k的取值范围是（）.

A.（0，1）B.（e，e+1）

C.（e，+∞）D.（e+1，+∞）

试题16（考查知识点：构造新函数研究所给函数，导数的几何意义，基本初等函数的导数，用导数研究函数的单调性）若关于x的不等式ax（x－2）+xlnx－x+3<0有解，则常数a的取值范围是（）.

A.（－∞，－e）∪（2，+∞）

B.（－∞，0）∪（e，+∞）

C.（－∞，－1）∪（2，+∞）

D.（－∞，0）∪（2，+∞）

试题17（考查知识点：构造新函数研究所给函数，基本初等函数的导数，导数的四则运算法则，用导数研究函数的单调性及求极值、最值）在R上，ex≥1+x，ex≥1+x+12x2，ex≥1+x+12x2+16x3这三个不等式中恒成立的个数是（）.

A.0B.1C.2D.3

注本题的一般情形是下面的结论（对n用数学归纳法可证）：

若fn（x）=ex－1+x1！+x22！+…+xnn！（n∈N*），则当n是奇数时fn（x）≥0（当且仅当x=0时fn（x）=0），当n是偶数时xfn（x）≥0（当且仅当x=0时xfn（x）=0）.

试题18（多选题）（考查知识点：实数的比较大小，不等式的性质，数学文化.本题由2004年上海高考数学文科、理科第16题改编）某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：

行业名称计算机机械营销物流贸易应聘人数2158302002501546767457065280行业名称计算机营销机械建筑化工招聘人数124620102935891157651670436若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（）.

A.计算机行业好于化工行业

B.建筑行业好于物流行业

C.机械行业最紧张

D.贸易行业可能比营销行业紧张

试题19（多选题）（考查知识点：代数式的恒等变形，配方法，不等式的性质）设a，b，c，d∈R，且ad－bc=1，Q=a2+b2+c2+d2+ac+bd，则Q的值不可能是（）.

A.-1B.0C.1D.2

试题20（多选题）（考查知识点：构造新函数研究所给函数，基本初等函数的导数，用导数研究函数的单调性，函数的零点，解方程组）记两个函数f（x）=ksinx，g（x）=xα的图象的公共点个数是h（k，α），则（）.

A.h（1，1）=3B.h（1，2）=2

C.h（1，3）=3D.h2，12=3

2.2填空题

试题21（考查知识点：对数的运算性质，数学文化）甲、乙二人同解一道数学题：先求某个三位正整数的以2为底的对数，再把所得的结果减去另一个正整数b，最后求所得的差与b的商.甲在解题时把“以2为底”看成了“以3为底”而后进行了正确的计算，乙计算出了正确的结果.当两人核对自己的计算结果时，发现他们所得的结果互为倒数.根据这些信息，可知这道题的正确答案是.

试题22（考查知识点：正弦函数，解方程，分类讨论，新定义）若把不超过实数x的最大整数记作［x］，则方程［x］=sinx的解集是.

试题23（考查知识点：无理数指数幂的意义，幂的运算性质，指数函数的单调性，近似计算，用导数研究函数的单调性）将23，32，π2，2π比较大小（用小于号连接）的结果为.

注本题源于普通高中教科书《数学·必修·第一册·A版》（人民教育出版社，2019）第109页第3（2）题：按从小到大的顺序，可将23，32，π5，2π重新排列为（可用计算工具）.

试题24（考查知识点：量词，构造新函数研究所给函数，基本初等函数的导数，用导数研究函数的单调性及求函数的最值）已知a>1，若函数f（x）=（x2+ax+1）e1－x，g（x）=2a－1+（2a－1）x－x2x+1满足x1∈［0，1］，x2∈［0，1］，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是.

注解答双参数问题时，可先把其中的一个参数（比如是x2）看作常数变成另一个参数（x1）的问题，求得参数x2满足的条件，变成了一个参数x2的问题，最终可完成求解.具体求解时，先视哪一个参数为常数，可能解答的难度不一样.

试题25（考查知识点：构造新函数研究所给函数，基本初等函数的导数，用导数研究函数的单调性，解不等式）若x∈R，f（x）+xf′（x）－xf（x）>0且f（1）=e，则f（x）

试题26（考查知识点：用导数研究函数的单调性，充分、必要条件）若x∈R，（x+m）ex+e≥3ex，则常数m的取值范围是.

试题27（考查知识点：用导数研究基本初等函数的单调性，量词）已知函数f（x）=x+a·2x，g（x）=lnx－4a·2－x，若x0>0，f（x0）－g（x0）=5，则正数a的取值范围是.

试题28（考查知识点：量词，函数，由导数得到的常用不等式）若x∈（0，+∞），lnx≤ax+b（a，b是常数），则ba的取值范围是.

试题29（考查知识点：构造新函数研究所给函数，基本初等函数的导数，用导数研究函数的单调性）若实数x，y满足x+y+4=ex+ey+2，则x+y=.

试题30（考查知识点：一元二次方程，解方程，分段函数）已知函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=mx2+nx+p（a，b，c，m，n，p均是非零参数，且b2－4ac=a2）.若d（x）=x，x是有理数，

0，x是无理数，则关于x的方程f（d（g（x）））=0的解的个数的最大值是.

试题31（考查知识点：构造新函数研究所给函数，基本初等函数的导数，用导数研究函数的单调性，对参数进行分类讨论）已知函数f（x）=xex－asinxcosx（a是常数），若x∈0，π2，f（x）≥0，则a的取值范围是.

试题32（考查知识点：构造新函数研究所给函数，基本初等函数的导数，用导数研究函数的单调性，简易逻辑）若函数f（x）=lnx－x+ax2在（1，e）上不单调，则常数a的取值范圍是．

试题33（考查知识点：判断命题的真假，分段函数，函数的奇偶性，周期函数，平面解析几何）设函数D（x）=1，x是有理数，

0，x是无理数，则下列五个命题中所有真命题的序号是.

①D（x）是偶函数；

②D（x）是周期函数；

③存在实数x0，使得D（D（x0））=0；

④存在实数x1，x2，x3，使得以点（x1，D（x1）），（x2，D（x2）），（x3，D（x3））为顶点的三角形是正三角形；

⑤存在实数x1，x2，x3，使得以点（x1，D（x1）），（x2，D（x2）），（x3，D（x3））为顶点的三角形是等腰直角三角形.

试题34（考查知识点：分段函数，解方程，新定义问题）若定义sgn（x）=－1，x<0，

0，x=0，

1，x>0，则

（1）sgn（x）=sgn（x）的解集是；

（2）xsgn（x）=x的解集是.

试题35（考查知识点：函数的概念，数学文化）下表（数据来源：著作＼[7＼]第213—214页）是某班24名学生一次期末考试的分数（试卷满分150）：学号姓名分数学号姓名分数学号姓名分数1贾琳悦1209王俊12517苏奥952曲小凡10110张紫怡12618刘京883黄雨萌11511郭雪13019李钰棋994庞锦平11612梁爽11020苏昊泽1075甄亚楠13013吴南11321冯尊1136杜佳欣10714杨浩瀚12622栾旭1007刘甜11015龚敏13723邹昕宇1178高慕瑀11516刘皓宇9824王义丰123

任课老师须在高中综评平台（http：//gzzp.bjedu.cn：8002/）登入学生的这次成绩（满分100），但年级将对分数作以下处理后再登入：将学生考试分数先按比例折算成满分是100分的分数（即学生的卷面分÷1.5），再将得到的分数求算术平方根后×10，最后取整.即计算公式是f（x）=10x1.5（其中［a］表示不大于实数a的最大整数），其中x表示学生的这次期末考试分数，f（x）表示在高中综评平台应登入的分数.

若把分数不低于满分80%的叫优秀，则该班学生这次考试成绩在处理前与处理后的优秀率分别是，处理后的成绩是优秀中最低分的人数是.

试题36（考查知识点：集合，不等式，抛物线，数形结合思想）（1）若关于x的不等式组a≤34x2－3x+4≤b的解集是［c，b］，则a，b，c的取值范围分别是；

（2）若关于x的不等式组b≤x2+ax+5≤4的解集是单元素集，则a，b的取值范围分别是.

试题37（考查知识点：函数的奇偶性，周期性，函数的零点，解方程）已知f（x）是R上的奇函数，且满足f（1－x）=f（1+x），当x∈（0，1］时，f（x）=2x+m（m是常数）.

（1）若f（x）在（2020，2021）上存在零点，则m的取值范围是；

（2）若f（2023）=0，则m=.

试题38（考查知识点：分段函数，指数函数，函数最值，函数的零点）设函数f（x）=2x－a，x<1，

4（x－a）（x－2a），x≥1.

（1）若a=1，则f（x）的最小值为；

（2）若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．

试题39（考查知识点：构造新函数研究所给函数，基本初等函数的导数，用导数研究函数的单调性，极限）（1）已知函数f（x）=2lnx+3x+x+m，若x0∈14，+∞，f（f（x0））=x0，则常数m的取值范围是；

（2）已知函数f（x）=12x+lnx－a，若b∈［1，e］，f（f（b））=b，则常数a的取值范围是.

试题40（考查知识点：对复杂情境问题的阅读理解，百分数的意义）王氏四兄弟，每人都有100元钱的本金.

（1）老大用手中的100元钱买了1只母鸡，每只母鸡每天会生1个鸡蛋，每个鸡蛋的收购价是1元.这样，老大1年（365天）赚了365元；

（2）老二从市场上了解到，租1只母鸡要花20元钱（租期1年），就用手中的100元钱租了5只母鸡，……这样，老二1年（365天）赚了5×365-100=1725（元）；

（3）老三先用手中的100元钱从市场上租了5只母鸡，然后对收购鸡蛋的老板说，我把这5只母鸡1年生的蛋按0.8元/个卖给你（若还有更多的鸡蛋也按此价格卖给你），但你要预付给我1年的鸡蛋款5×365×0.8=1460（元），老板认为这是几乎没有风险的事情（因为老三手中有5只每天都会生蛋的母鸡），就欣然同意并立即预付了这笔鸡蛋款.老三用这笔鸡蛋款租了73只母鸡，……这样，老三1年（365天）赚了元；

（4）老四把四兄弟的400元钱集资在一起（由老四代管，这笔钱的收益由四兄弟均分），用这笔钱租20只鸡，……收购鸡蛋的老板预付给老四1年的鸡蛋款20×365×0.8=5840（元）.老四用这笔钱又在银行按5%的年利率抵押贷款5840元，再用手中的5840×2=11680元租584只母鸡，……这样，四兄弟每人1年（365天）赚了元.

2.3解答题

试题41（考查知识点：构造新函数研究所给函数，基本初等函数的导数，导数的四则运算法则，用导数研究函数的单调性）求证：（1）f（x）=x－sinx（0

（2）x－sinx>0（0

（3）y=sinx+tanxx0

试题42（考查知识点：函数的零点，构造新函数研究所给函数，解决极值点偏移问题，基本初等函数的导数，导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，用导数研究函数的单调性）已知函数f（x）=x－lnx－a（a是常數）.

（1）讨论f（x）零点的个数；

（2）若f（x）有两个零点x1，x2，求证：a>1且x1+x2

试题43（考查知识点：函数的零点，构造新函数研究所给函数，解决函数不等式问题，基本初等函数的导数，导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，用导数研究函数的单调性、基本不等式）求证：

（1）x2+1≤2x－22lnx；

（2）若正数a1，a2，…，an之积是1，

则∑ni=1a2i+1≤2∑ni=1ai.

试题44（考查知识点：构造新函数研究所给函数，基本初等函数的导数，导数的四则运算法则，用导数研究函数的单调性、解方程、幂与根式的恒等变形）（1）求函数f（x）=lnxx的单调区间；

（2）解方程mm=nn（m，n∈N，2≤m

（3）给出方程xx=yy（x，y∈Q+，x

注：y=lnxx是一个重要函数，很多高考题都与它有紧密联系，比如2017年高考全国卷1理科第11题，2014年高考湖北卷文科第22题及理科第22题，2005年高考全国卷3理科第6题，2001年高考全国卷理科第20题，1983年高考全国卷理科第9题，详见文＼[8＼].

笔者编拟的这道原创题，也是该函数性质的应用.初看该题后两问涉及不定方程，实际上用函数y=lnxx的单调区间可给出其简洁解答.

试题45（考查知识点：求参数的取值范围（往往需要对参数进行分类讨论），基本初等函数的导数，导数的四则运算法则，用导数研究函数的单调性进而研究函数的极值）设函数f（x）=（ax3－5ax2+10ax－2x－10a+6）ex（a∈R）.

（1）求函数f′（x）的与a无关的零点；

（2）已知函数f（x）在x=2处取得極小值，求a的取值范围.

试题46（考查知识点：同试题45）已知函数g（t）=（pt3+5pt2+10pt+2t+10p+6）e－t（p∈R）.

（1）已知函数g（t）在t=－2处取极小值，求p的取值范围；

（2）求函数g（t）的极大值点与极小值点；

（3）当p<－12时，求函数g（t）的极小值点.

注：（ⅰ）由试题46（2）的解答也可得到试题46（1）的答案；

（ⅱ）由试题46（3）的答案可知，由试题46（1）得到的结论的逆命题是假命题；

（ⅲ）试题45，46及2018年高考北京卷理科第18题、2018年高考北京卷文科第19题、2016年高考山东卷文科第20题的背景都是可导函数极值第二判别法.

答案

单选题

1.D;2.B;3.B;4.C;5.D;6.A;7.D;8.D;9.B;10.B;

11.C;12.B;13.C;14.A;15.D;16.D;17.C.

多选题

18.BD;19.ABC;20.BCD.

填空

21.log23;22.0，π2;23.23<32<2π<π2；

24.1，2e+34；25.（0，1）；26.［1，+∞）;27.（0，1］；

28.［－1，+∞）；29.－2;30.4;31（－∞，1］;

32.32－ln2，1;33.①②④;34.R，R;35.13，1112;1;

36.（1）（－∞，1］，｛4｝，｛0｝；（2）｛－2，2｝，（－∞，4］；

37.（1）（－2，－1）；（2）－2；

38.（1）－1；（2）12，1∪［2，+∞）；

39.（1）［－2e，0）；（2）－12，ln2－1；

40.21 216;40 999.

解答题

略.

参考文献

［1］甘志国.回顾与展望——以高考数学全国卷中函数与不等式的内容为例＼[J＼].中学数学杂志，2022（03）：32-38.

［2］中华人民共和国教育部.普通高中课程标准（2017年版2020年修订）＼[M＼].2版.北京：人民教育出版社，2020.

［3］中国高考报告学术委员会.中国高考报告2023＼[M＼].北京：新华出版社，2023.

［4］甘志国.关于函数图象的对称性与周期性的几个结论＼[J＼].数理化学习（高中版），2022（01）：3-4.

［5］蒋海燕.函数的零点＼[J＼].中学数学杂志，2012（01）：19-21.

［6］甘志国.用导数证明函数不等式的4种常用方法＼[J＼].高中数理化，2018（03）：6-8.

［7］甘志国.数学文化与高考研究＼[M＼].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2018.

［8］甘志国.函数y=lnxx的单调性及其应用＼[J＼].中学数学杂志，2015（11）：34-37.

作者简介

蒋海燕（1977—），女，山东济宁人，中学高级教师，北京市特级教师;荣获济宁市有突出贡献的中青年专家、山东省教学能手（第一名）等荣誉称号，当选山东省第十二届人民代表大会代表;发表论文20余篇，出版专著《中学数学核心素养培养方略》.

甘志国（1971—），男，湖北竹溪人，研究生学历；中学正高级教师，特级教师，湖北名师;主要研究解题、高考和初等数学.