［摘  要］ 概念教学是数学教学的基础，是数学核心素养落地的关键. 紧扣教育根本，明确概念教学本质，是建构自然、高效概念课堂的关键. 文章以“数列的概念与简单表示法”教学为例，具体从以下四个方面谈一谈概念教学的基本流程：创设情境，引入概念；逐层探讨，完善概念；加强练习，应用概念；总结反思，巩固概念.

［关键词］ 概念教学；问题情境；反思

作者简介：汪薇（1979—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学工作.

概念是数学知识的基本组成部分，是数学教学内容的重中之重，其教学成效直接影响着学生对数学基础知识与技能的掌握程度. 但在实际教学中，有部分教师仍存在重解题轻概念的思想，还有部分教师忽视概念本质与学生现实的情况，从而导致学生无法深刻理解概念的本质与内涵. 为了消减这些现象，教师可借助概念形成的情境，引导学生透过概念学习的表层，深入概念的内在逻辑关系，实现概念教学促进学生有效发展的价值.

本文以“数列的概念与简单表示法”一课教学为例，具体谈一谈如何建构自然、高效的概念教学课堂. 数列概念既是函数概念的延续，又是等差、等比数列的基础. 本章节所包含的小概念数量多，与函数有着密切的关系. 怎样结合学生原有的认知结构，自然而然地顺利过渡到新知的建构中呢？带着此问，笔者对数列概念的教学进行了精心设计与实践，并获得了一定成效.

创设情境，引入概念

师：用PPT展示以下4个情境.

情境1：影院的某小厅，座位呈扇形分布，纵向共10排，第一排的座位有10个，从第二排开始，后一排都比前一排多一個座位，即从第一排到第十排的座位数分别为10，11，12，13， 14，15，16，17，18，19.

情境2：从1984年到如今，我国共参加了10届奥运会，获得的金牌数量从开始到现在，依次为15，5，16，16，28， 32，51，38，26，38.

情境3：古语有云，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”. 若将起始长度理解为一个单位，那么每天所剩的长度依次为，，，….

情境4：著名的数学家毕达哥斯加常与朋友在沙滩上研究数学，如用石子表示图1所示形状的数，将此称作三角形数，这些数从小到大依次为1，3，6，10，….

要求学生说一说上述4个情境中的数据，教师将这些数据写在黑板上.

师：上述情境共用到了4组数据，为了解它们对刻画实际生活现象和规律的意义，现在我们一起来分析、探讨各组数据.

问题1：从以上数据来看，各情境所展示的数据在排列上具备怎样的特征？

学生经过初步自主探究，还不能顺利回答这个问题，因此师生在共同交流、分析的过程中，需要教师在此处进行适当引导，如“以上4组数据中的顺序能否随意改变，如果改变数的位置，能否表达相同的意思？由此你们能看出些什么？”

学生一致认为，这些数据都是按照一定顺序排列的，所以不能随意改变位置. 根据学生的结论，教师将数列的定义写在黑板上，着重强调数列是按照一定顺序排列的一组数.

问题2：（1）数列1，3，5，7，9和数列9，7，5，3，1一样吗？

（2）可以将情境2中的数字“16”去掉吗？为什么？

（3）说一说数列和集合有怎样的联系与区别.

随着学生思考与交流，逐个突破了以上问题. 此时，教师又带领学生从一列数、一定顺序与互异性三方面分析数列与集合之间具有怎样的联系与区别，同时在黑板上将“一定顺序”“一列数”等关键词语画上着重号.

设计意图 数列的定义虽然看起来简单，但其中涉及的“一定顺序”和“一列数”等关键词语，并不是通过几个小小的情境就能抽象、概括出来的. 因此，情境的创设虽然重要，但教师的点拨具有四两拨千斤的作用，通过以上几个问题的思考，学生能充分感知数列对顺序的特殊要求.

此过程中，通过几个落于学生最近发展区的问题设置，成功唤醒了学生的对比意识，使学生在自主研究与交流中充分感到数列与顺序的必然联系. 学生对数列概念的内涵一旦有了深刻理解，当遇到一列数之前冠上了“数列”二字的时候，立即会反应过来：这是一组讲究顺序排列的数，也就是不可随意变化这些数的位置. 至此，数列概念就能自然、顺利、成功地抽象出来.

逐层探讨，完善概念

1. 要素分析

师：为了便于研究数列，我们将数列中所涉及的每一个数都定义了一个专业术语——“数列的项”，排在第一个的数，我们称它为该数列的第一项（a），排在第二个的数，我们称它为该数列的第二项（a），以此类推，排在第n个的数，我们称它为该数列的第n项（a）. 由此，大家能发现什么规律？

生1：数列具有一定的顺序，一个数列中的每一项都有一个顺序号与它对应.

师：非常好！根据这种对应顺序，我们可以将数列写成a，a，a，…，a，简写为｛an｝.

问题3：从以上我们对数列的基本了解，大家能列举一些与数列相关的生活实例吗？

（学生列举，教师板书）

2. 类型划分

问题4：从大家列举的实例与以上呈现的几个数列来看，数列在生活中的实际应用非常丰富，但也存在不同情形. 大家思考一下，我们可以怎么把它们进行分类？

学生沉默. 教师提示：想要分类，就要有一定的分类标准. 学生很快就联想到从项数与单调性这两方面来分类.

生2：若从项数来分类，根据项数的多少，可以分成有穷数列和无穷数列. 如课堂开始展示的4组数列，前两组属于有穷数列，而后两组数列的项数有无穷个，则为无穷数列.

师：那么从单调性来分类呢？

生3：从各项数的大小规律来观察，第二组数列没有规律，第三组数列呈逐渐减小的规律，而第一组和第四组数列呈逐渐增大的规律.

师：非常好！大家分析得都很透彻. 现在我们一起来填写表1，将数列的分类标准再次梳理一遍.

设计意图 将课堂导入环节的素材，利用在类型划分环节中，起到前呼后应的效果. 同时，借助学生熟悉的实例进行数列分类，不论是从心理上，还是从情感上学生都更容易接受. 而结合实例介绍要素，能让学生产生更加形象、深刻的认识，有助于学生内化数列概念.

3. 表示方法

师：通过以上对数列要素的分析及分类标准的研究，我们对数列有了更深刻的认识. 为了将数列的有序性展现出来，我们一起把课堂开始的4个情境中所有数列的项与序号，通过表格的形式，呈现出它们之间一一对应的关系（见表2）.

当学生完成表格后，教师提出：对应每个序号，都存在一个唯一的项与之呈对应的关系，这里提及“对应”二字，会让大家联想到我们之前碰到过的什么概念？

生4：函数.

师：不错！我们可以将数列理解为定义域是正整数集或其有限子集，自变量按照由小到大的顺序依次取值而组成的一列函数值. （说这段话时，教师适时断句或停顿，为学生保留充分的思考和理解的时间）

问题5：大家能否发现情境3中的数列，项与序号之间存在怎样的函数关系？

生5：a=n.

师：用来刻画数列的项a和序号n的对应关系的等式被称为数列｛an｝的通项公式，即a=f（n）. 大家猜想一下，为什么被称为通项公式呢？

生6：因为它可以用来刻画每一项与序号之间的关系，只要知道了它，那么数列的所有项都可以知道，所以被称为通项公式.

师：太棒了！你们能应用通项公式来表达前两个情境的数列的项与序号之间的关系吗？

学生很快就写出了第一个数列的通项公式，却没法写出第二个数列的通项公式. 此时，教师顺势引出了数列的其他表示方法——列表法和图象法.

师：列表法大家已接触过，至于图象法该怎样表示呢？

在画图过程中，有些学生先描点再连线，此时教师给予点拨：画图中，我们所画的每一笔都很重要，在我们连线后，序号n不仅能取正整数，还能取什么数？

经过教师提点，学生立马恍然大悟：画图不可以连线. 此时教师将这个主要的图象特点写在黑板上（孤立点或离散点），并将情境2的数列图象投影到电子白板上.

问题6：请大家尝试用三种不同方法来表示情境1的数列.

学生类比函数的表达方式，用三种不同方法表示了情境1的数列，每一种表示方法都能明确项与序号的对应关系. 为了强化学生对“对应”的认识，教师每说出一个序号，要求学生快速找出相对应的项，通过这种练习，学生对这部分知识不仅产生了浓厚的研究兴趣，还形成了更加深刻的印象.

接下来，教师引导学生将数列和函数作对照分析，帮助学生梳理知识脉络. 分析后，学生发现两者的主要区别为：数列图象是孤立点群，而函数图象可以是離散点群，也可以是连续曲线.

设计意图 研究函数与数列的关系，是从深层次理解数列概念的行为. 数列的顺序表现在各项与各序号之间的对应关系上，而两数集的对应也将数列与函数有机地联系到了一起. 到底该怎样表达这种对应关系与特点呢？想要解决这个问题，数列表示的问题也就应运而生. 此教学过程全程紧扣数列概念，每个教学步骤都是顺势而为，教学成效也是水到渠成.

加强练习，应用概念

练习1：已知情境3的数列通项公式是a=.

（1）求第六天的剩余量是多少；

（2）求位于数列的第几项；

（3）是否存在的剩余量？为什么？

通项公式是呈现数列的一种方式，在已知通项公式的情况下，就知道了此数列的所有信息. 练习1将情境3的数列通项公式直接展示给学生，接下来解题就变得轻松了. 但是，在很多有关数列的问题中，数列通项公式并不会直接给出，而需要学生自主去求，这给解题带来了难度.

练习2：已知情境4中数列的前4项.

（1）写出该数列的第5项、第6项以及第100项.

（2）写出该数列的通项公式.

此练习要求学生自主推导出该数列后面的项，并根据其规律总结出通项公式. 这对学生思维提出了一定条件，只有在深刻理解数列概念的基础上才能顺利完成练习2.

练习3：根据以下数列的前4项，写出各个数列的通项公式.

（1）1，，，，…；

（2）－1，1，－1，1，…；

（3）1，－，，－，….

练习小结 经由以上3个练习，师生共同提炼、总结出了以下几个要点：①一个数列的通项公式可能存在多种表达方式；②书写数列通项公式的关键点，在于寻找尽可能多的共同之处，把差异和序号n联系起来；③并非所有数列都存在通项公式.

设计说明 任何概念的学习都是为了更好地应用在实际问题的解决中，教师以情境作为练习素材，既节约了学生审题的时间，又让学生有了良好的情感体验，为学生深刻理解、解决、反思问题赢得了更广阔的空间. 这种从情境中来，又回归到情境中去的教学方式，提升了数列概念教学的高效性.

总结反思，巩固概念

师：请大家将本节课学习的知识用思维导图的方式概括、总结出来，并通过对数列概念的研究，谈一谈研究一般概念的基本流程.

学生根据自身在本节课的体验与收获，画出了丰富的思维导图，并对研究一般概念的基本流程总结如下：①通过几个具体事物的研究，抽象出其存在的共同特征；②给这些特征下明确的定义；③用相应的数学符号与语言进行表达；④分类认识特殊对象，并掌握特殊关系；⑤通过类似对象的比较，找出它们的联系与区别，深化对概念的理解；⑥从不同角度去表征，并灵活应用.

设计意图 曾子曰“吾日三省吾身”，总结、反思与提炼是每节课必不可少的环节，它能帮助学生巩固、梳理所学知识. 此环节通用研究方法的总结，符合“授人以鱼不如授人以渔”的教育理念，为后期更多、更复杂的概念研究奠定基础.

完成以上几个教学环节，并不意味着学生已经完全掌握并了解了数列概念，需要将本节课的教学内容纳入学生的认知体系中，才算完工. 因此，教师在总结环节中，应引导学生站到一个新的高度，从整体上来观察数列概念，厘清相关知识脉络，达到深度理解与融会贯通的目的.

概念教学是一个循序渐进的过程，学生建构新的认知体系需要经历一个连续发展的过程. 因此，以上每个教学流程都有其独特的作用，缺一不可，亦不可逾越，前一环节是后一环节的基础，后一环节是前一环节的巩固与提升.