田淑玲 田世忠

摘   要：《义务教育数学课程标准（2022年版）》第一次提出运算教学要让学生“感悟运算的一致性”的要求。教学中通过设计教学、复习旧知、探究算理、对比新旧四种方式让学生感悟运算一致性的方法。

关键词：小学数学；运算一致性；教学方法

中图分类号：G623.5   文献标识码：A   文章编号：1009-010X（2023）34-0050-04

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标》）优化了课程内容结构，增强了内容与育人目标的联系，比如将原来的“数的认识”和“数的运算”两部分组合成为“数与运算”主题，并在“课程内容”中提出“数与运算，包括整数、小数和分数的认识及其四则运算……感悟数的运算与运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识。”在“教学提示”中提出“通过数的认识和数的运算有机结合，感悟计数单位的意义，了解运算的一致性”和“通过整数、小数、分数的运算，进一步感悟计数单位在运算中的作用，感悟运算的一致性” 对比2011年版《课标》，不难发现“感悟运算的一致性”是2022年版《课标》对运算教学提出的新要求。那么，“数的运算的一致性”的内涵是什么？教学中如何让学生“感悟数的运算的一致性？”下面结合具体例子，谈一些粗浅的认识。

一、“数的运算的一致性”的内涵

在小学数学教材中“数的运算”内容分布广泛，贯穿了一至六年级的十二本教材，由于跨度较大，所以在过去的教学中普遍存在碎片化，各管一段的做法。小学阶段数的运算的对象是整数、小数和分数，都与数的计数单位相关。运算是指加、减、乘、除四则运算，虽然整数、小数和分数的四则运算形式上不同，但从计数单位的角度分析，数的运算本质上有共同之处。

首先解析四则运算之间的逻辑关系。加法是把两个数或若干个数合并在一起的运算，乘法是计算相同加数的和的简便运算，所以乘法和加法都是相同计数单位的累加；减法是已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，所以减法是加法的逆运算；除法是已知两个因数的积和其中的一个因数，求另一个因数的运算，所以是乘法的逆运算，又因为除法计算的每一步都有减法参与，所以除法和减法一样是相同计数单位个数的递减。由此看来，加法是四则运算的基础，加、减、乘、除都是通过加法衍生出来的，都是针对计数单位的运算。

（一）加法运算的一致性

计数单位是数的运算的核心概念，加法运算是计数单位的个数相加。首先看整数加法，如2+3，从计数单位的角度分析2+3表示2个一加3个一，结果是5个一，也就是5。较大数的加法如456+23也是如此，从计数单位相加的角度思考，即456+23=400+（50+20）+（6+3）=479，横式反应了竖式计算的算理，即相同计数单位的数相加，因此竖式计算时要相同数位对齐。由于小数和整数都是十进制，所以小数加法运算与整数加法运算一脉相承，如0.2+0.3，表示2个0.1加3个0.1是5个0.1，结果是0.5。较复杂的小数加法如0.25+0.12=（0.2+0.1）+（0.05+0.02）=0.37，横式反应了竖式计算的算理，揭示了小数点对齐的本质是保证相同计数单位的数字相加。分数加法，如+，是同分母分数相加，分数单位相同，把分子相加就是把计数单位的个数相加，即+==；异分母分数加法如+，分母不同就是计数单位不同，所以要先通分，统一计数单位后再加，即+=+=。分数的表达形式不是十进制，在计算方法上与整数、小数有明显的差异，但算理相通，都是对计数单位的累加。

总之，整數、小数和分数的加法，虽然表面上看起来有明显的差别，但实质上有共同之处：相同计数单位的个数相加。

（二）减法运算的一致性

已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算是减法，所以减法是加法的逆运算，基于加法运算的一致性理解减法运算，减法就是相同计数单位个数相减。如8-5就是从8个一里去掉5个一，剩3个一，即差是3；1.6-0.7就是从16个0.1里去掉7个0.1，剩9个0.1，即差是0.9 ，正是基于这个道理，用竖式计算时个位不够减时要从十位退一作十个一，与十分位上的6合成16个0.1再减。分数减法分“同分母分数减法”和“异分母分数减法”，同分母代表分数单位相同，此时分子就是计数单位的个数，所以计算时分母不变，直接把分子相减；而异分母代表分数单位不同，不能直接相减，所以计算时要先通分，使得计数单位相同后再计算，如-=-=。

可见，整数、小数和分数的减法运算的本质是相同的，算理同样具有一致性，即相同计数单位的个数相减。

（三）乘法运算的一致性

乘法是求几个相同加数和的简便运算，所以乘法运算与加法运算有着密切的联系。但乘法运算比加法运算要复杂得多，所以我们遵从数的构成，从计数单位的角度将乘数进行分解，再研究乘法运算的本质。

首先整数、小数都是十进制，因此整数乘法、小数乘法可以依据计数单位，通过分解乘数并使用运算律探究算理：如200×30=（2×100）×（3×10）=（2×3）×（100×10）=6×1000=6000；再如0.2×0.03=（2×0.1）×（3×0.01）=（2×3）×（0.1×0.01）=6×0.001=0.006. 还有12×3=（10+2）×3=（10×3）+（2×3）=30+6=36.

其次分数乘法可以依据分数的单位，对乘数进行分解探究算理：如×=（2×）×（3×）=（2×3）×（×）=6×=。

综上分析发现，整数、小数和分数乘法运算都可以先将乘数基于计数单位分解，再应用运算律进行计算。由于使用了运算律，所以乘法运算归结为两步：计数单位与计数单位相乘作新的计数单位，计数单位的个数与计数单位的个数相乘得到新的计数单位的个数，从算理上实现了乘法运算是计数单位个数累加的本质。

（四）除法运算的一致性

已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。小学生学习除法是从平均分开始的，所以从计数单位的角度理解除法运算是对计数单位的细分，学生更容易理解。如整数除法768÷3，768是由7个百6个十和8个一组成的，所以用竖式计算时，先算7个百除以3，在商的百位写2余1个百；再把余下的1个百转化成10个十与6个十合起来是16个十，除以3在商的十位写5余1个十；最后把余下的1个十转化成10个一，与8个一合起来是18个一，除以3在商的个位写6。所以768÷3=256。在计算的过程中计数单位被三次细分（当高一级的单位不够分时就转化成低一级的单位再分），直到分完为止。

小数除法竖式计算是借助商不变的规律将小数除法转化为整数除法，然后按照整数除法的方法进行计算。如78.6÷0.3，依据商不变的规律计算，即78.6÷0.3=（78.6×10）÷（0.3×10）=786÷3=256，横式对应了竖式计算的算理：把除数和被除数同时乘10，商不变。实质上小数除法也可以在统一计数单位的基础上计算，如上例中0.3是3个0.1，所以78.6可以看作786个0.1，即78.6÷0.3=（786×0.1）÷（3×0.1）=（786÷3）×（0.1÷0.1）=256. 这样看来，在小数除法中，把被除数和除数的计数单位统一后，就是把计数单位的个数相除，与整数除法中计数单位被细分的道理一致。

分数除法运算，一般的计算方法是：除以一个数（0除外），等于乘这个数的倒数。从计数单位的角度看分数除法运算，可以这样理解：当被除数和除数的分数单位相同时，如÷，被除数和除数的分数单位都是，计算的本质就是看4里面有几个1，即÷=（4×）÷（1×）=（4÷1）×（÷）=4÷1=4. 当被除数和除数的计数单位不同时，如4÷，我们可以把4转化成用做单位的假分数，那么4÷=÷=（20×）÷（1×）=（20÷1）×（÷）=20÷1=20；再如：÷，可以把被除数和除数转化成用做单位的分数计算，即÷=÷=（15×）÷（16×）=（15÷16）×（÷）=15÷16= 。整理几个例子发现，在分数除法运算中，把被除数和除数的计数单位统一后，仍然是把计数单位的个数相除，与整数除法中计数单位被细分的道理一致。

依据以上对整数、小数和分数除法运算道理的分析，发现其一致性在于计数单位统一的前提下，计数单位的个数相除，即计数单位个数的细分。

二、教学要让学生“感悟运算的一致性”

基于以上的分析，不难发现数的运算的核心是“计数单位”，只要抓住这个核心，所有的整数、小数和分数的四则运算都可以整合。《课标》给出“感悟”的含义是“在数学活动中，通过独立思考或合作交流，获得初步的理性认识。” 那么，在教学中如何让学生感悟運算一致性呢？下面以石家庄市长安区王晓阳老师的《分数乘整数》的教学为例给大家诸多启示。

（一）设计教学，要有目标意识

《分数乘整数》一课的学习目标：

①结合具体情境及看图列式，自主地了解分数乘整数的意义（运算能力）；

②结合具体算式和线段图，通过小组合作、交流展示，在教师引导下，理解分数乘整数的算理，感悟运算的一致性。（运算能力、推理意识、几何直观）；

③通过归纳总结、计算练习，自主地掌握分数乘整数的计算方法（运算能力、推理意识、应用意识）。

在做教学设计前，认真研究《课标》和学情，把运算一致性的要求融入目标，保证教学既重视基础知识和基本技能的获得，又关注基本的数学思想的形成和相应的核心素养的发展。

（二）复习旧知，梳理整数、小数乘法运算与计数单位的关联

课堂引入环节，教师创设购买奶糖情境：每袋奶糖重400克，3袋共重多少千克？计算过程中，引领学生回忆了整数和小数乘法的算理，即：400×3就是求4个百×3，结果是12个百；0.4×3就是4个0.1×3，结果是12个0.1。学生在以前学习整数和小数乘法运算时，已经理解了乘法运算的算理，这些看似与分数乘法无关，但在学习时会起到迁移的作用，为感悟运算一致性奠定了基础。

（三）探究算理，感受分数乘法运算与分数单位的关联

在探究算理环节给予学生充足的时间和空间，学生尝试用画图、列算式或文字描述等方式表达分数乘法的算理。课堂上有的学生转化成同分母分数加法，有的尝试画图表示，还有一个学生说到里面有两份，乘3就是翻了三番，一共是6份。

课堂上多元的表达方式呈现了学生的不同思路，但这些思路都指向了“分数单位没有变，只是分数单位的个数在增多”这样一个事实。这时的学生已经初步感受到运算一致性的含义了。

（四）对比新旧，打通知识和方法间的关联，体会运算的本质

理清分数乘整数的算理后，教师说“刚才同学们用了画图的方式，直观解释了表示2个，×3就是6个。是分数的计数单位，其实计算×3就是在计算有几个这样的分数单位，这让我想到了刚才我们在算三袋糖的重量时，用到了整数乘法、小数乘法，认真观察，在计算分数乘法、整数乘法、小数乘法时，有什么相似的地方？”教师边说边用PPT出示了分数、小数和整数乘法的计算过程，让学生观察并思考。

片刻后，三个学生回答“计算前和计算后，计数单位是不变的”“三种方法都是乘3”“只有计数单位的个数变了”。教师利用类比的方法引领学生建立起整数、小数、分数乘法之间的关联，在理解了分数乘整数的算理的同时感悟运算的一致性。

分析了上面的教学，联想过去在运算教学中每节课都强调“理解算理、掌握算法”，但课与课之间，相同运算的不同课之间缺少了算理与算法的实质性沟通，是碎片化的教学状态。当教学缺少了联系的眼光的时候，学生的学习负担必然是重的，学生不喜欢数学运算或数学运算容易出错也找到了根源。感悟运算的一致性就是要整体把握数与运算内容的关联，抓住核心概念——计数单位，结合不同阶段学生的基础和心理特征，进行有针对性的、有问题情境支撑的、引发学生思考的教学设计。教学中还要重视学生的体验活动，引导学生把已有的知识和方法迁移到新的知识中去，有目的地培养学生的归纳和类比的能力，提高运算能力，这才是《课标》提出感悟运算一致性的真谛。