量感的培养

量感主要是指对事物的可测量属性及大小关系的直观感知。它是《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出的11个核心素养具体表现之一，属于“会用数学的眼光观察现实世界”的素养内涵，是学生核心素养的重要构成要素之一。如何在小学数学课堂教学中从作为具体内容的测量中提炼出量感，目前还处于探索阶段。平国强老师与他的教研团队进行“发展学生量感”专题课堂实证研究，在量感内涵的理解、发展学生量感的一般策略、具身经历实践操作、丰富度量经验积累、单位大小深度体验等方面做了探索和尝试。本期特刊发该团队的部分研究成果，为广大教师落实《义务教育数学课程标准（2022年版）》提供教学参考。

【摘   要】量感主要指对事物的可测量属性及大小关系的直观感知。教学应该从“对事物可测量属性的直观感知”和“对事物的大小及关系的直观感知”两个维度入手，培养学生的量感。深度理解“几何”与“量”的概念是量感发展的前提，丰富度量经验和描述量的大小的经历、提高合理选择和运用度量单位解决实际问题的能力是量感培养的重要内涵，加强整体设计、构建结构化的知识体系是量感发展的有力保障。

【关键词】量感；内涵理解；培养策略

2022年4月，教育部颁布了《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《2022年版课标》），“量感”就是《2022年版课标》首次提出的核心素养主要表现之一。《2022年版课标》将“量感”作为一个新的核心素养表现提出来是否有必要？现实中学生的量感发展现状如何？从学生对下面两组题目（如图1、图2）的解答表现可以看出一些端倪。

根据教师日常教学经验可知，学生完成图1的题组，一般正确率较高；完成类似图2题组时，就表现出一定的困难，正确率明显降低。教师常常将图2的错误归结为“能力”“想象力”不够，这样的归因比较笼统，不够精准。实质上，图1这类问题涉及的是知识与技能，而图2这类问题涉及的正是“量感”，是学生数学能力、核心素养的重要表现。因此，学生量感素养总体薄弱是客观事实，《2022年版课标》新增了“量感”作为核心素养的一个主要表现是非常有必要的。

一、量感内涵的理解

《2022年版课标》对量感的阐述是：“量感主要是指对事物的可测量属性及大小关系的直观感知。知道度量的意义，能够理解统一度量单位的必要性；会针对真实情境选择合适的度量单位进行度量，会在同一度量方法下进行不同单位的换算；初步感知度量工具和方法引起的误差，能合理得到或估计度量的结果。建立量感有助于养成用定量的方法认识和解决问题的习惯，是形成抽象能力和应用意识的经验基础。”因此，教师可以从“事物的可测量属性”和“事物的大小关系”两个维度把握教学，让学生深入理解量感内涵。

（一）从“事物的可测量属性”维度理解量感

从对“事物的可测量属性”的直观感知维度理解，量感包含以下方面的内涵。

1.量的大小是可以测量的，具有可公度性。事物或几何形体的长短、面积、体积、质量等都可以用一个公共的度量标准度量。例如，一般情况下，我们总可以找到“一个长度”，用它去度量几条不同线段的长度且都能量出来，这个长度就是这几条线段的“公度”。

2.度量需要标准，度量的本质是用标准作单位进行比较，用比较结果描述量的大小。描述量的大小的前提是要对这些量进行测量，因此需要有度量的標准。例如，需要描述一条线段的长短，我们可以选择一拃的长度、一支铅笔的长度等作为标准进行度量；需要描述课桌桌面的大小，可以选择数学书的封面、练习本的封面、文具盒的底面等作为标准进行度量……通过用这样的标准作单位与被度量物进行比较，我们可以得到关于这个量的描述。例如，这条线段有3拃那么长，课桌的桌面有4个数学书封面那么大……因此，只要选择一个合适的单位，我们就可以对量进行度量，并根据度量结果描述这个量的大小。

3.仅从对量的度量和大小描述而言，度量单位可以有多种，但为了便于交流和比较，需要有统一的度量单位。长度、面积、体积、质量等常用的量都已形成了一整套相应的公度单位，这就是数学中学习的各种度量单位。例如，有限长度可以用1厘米、1米等标准，有限面积可以用1平方厘米、1平方分米等标准，有限质量可以用1克、1千克等标准作单位进行度量。这些度量单位只是各种单位中的一部分，之所以要重点学习，是因为它们承担了“常用”和“通用”的功能。显然，这些对于度量本质的理解，是量感内涵的一个维度，它高于知识记忆层面。

（二）从“事物的大小关系”维度理解量感

从对“事物的大小关系”的直观感知维度理解，量感应包含以下几个方面的内涵。

1. 会选择合适的度量单位进行度量。毫无疑问这是一种能力。学生怎样才能做到合理选择？首先要对所度量的量的数学属性有正确的把握，如要度量的是长度、面积、体积还是其他数学属性。其次要深刻理解每一种度量单位的意义，并对它们的大小和形状建立正确的观念与表象。

2.能利用头脑中的单位表象、度量经验和空间想象，合理判断或估计度量结果。这一过程不应简单理解为操作性的技能学习，更应关注的是对度量或估计结果的合理性的判断。量感是一种基于意义、经验对量的大小的把握能力，而非指向于得出精确结果的程序性知识技能。

3.能基于度量单位的变化，转化度量结果。这是对不同度量单位的大小及相互关系的把握。它并非知识层面的进率换算，而是基于经验与意义的判断。例如，一个盒子的体积有1800立方厘米，如果换成用“立方分米”作为度量单位，度量的结果会是多少？怎么描述？要解决这个问题，需要意义、表象、经验与想象共同发挥作用。度量结果转化的过程，是一种能力。

4.初步理解度量误差及其产生的原因，并能将误差作为一个因素思考度量的结果。应使学生认识到度量必然存在误差，度量应秉着严谨的态度描述实际结果，并能初步思考误差产生的原因及改进策略。更重要的是要引导学生在思考度量结果时能将误差作为一个因素加以关注和利用，并以此调整结果使其更加合理。例如，如果用“1立方分米”去度量某个长方体纸箱的容积，得到以下结果（如图3），那么长方体的容积大约是多少？解决这一问题需要考虑的因素很多，融合了单位理解、误差利用、空间想象、合理整合等高水平能力。从这个维度来理解，量感是高于技能操作层面的高水平数学思维活动。

数学中有许多概念与量感相关，如几何计算、空间观念、几何直观、数感等，这些概念之间是部分相容的，但它们的核心内涵和指向不同。量感指向度量单位的意义理解及对量的大小的感知；几何计算则指向算法与程序的运用；空间观念的核心是对空间大小、关系的想象与转换；而几何直观的重点指向分析问题、表征关系的策略与手段。数感与量感则有着更密切的关联。数感指向对数与运算的意义及大小、结果的感知，数感的建立需要借助对具体的、典型的量的观察、操作与想象，将抽象的数具体化，以理解数的意义、大小与关系；同样，量感的培养需要在观察、度量的基础上用数来描述、表征度量的结果，使经验数学化、条理化，以理解量的意义、大小及关系。

二、量感培养的基本策略

量感是一种能力，是核心素养的主要表现，量感的培养重点不在于知识的讲解与反复的操练，而在于过程、经验与感悟。为此，笔者在地市层面专门组织了以量感为主题的专题教学研讨活动，活动倡导以下量感培养策略。

1.让“几何”与“量”的概念教学指向深度理解。

“图形与几何”内容是培养学生量感的重要载体，对几何形体大小的感知是量感的重要内涵。一方面，教学中要引导学生对“周长”“面积”“体积（容积）”等几何概念有深刻的理解，把握其数学本质，并能用自己的方式表达与解释。例如，学生应能自己解释“什么是物体所占的空间”“可以从哪些要素出发去估计物体所占空间的大小”……这是对“体积”概念核心内涵的理解与把握。另一方面，要引导学生深度建构几何形体及度量单位的意义与体系，形成正确的表象与经验。例如，学生应清晰地知道面积单位“1平方厘米”“1平方分米”……的形状和具体大小，甚至能凭表象把它们画出来，知道日常生活中有哪些熟悉的物体表面与这些面积单位大小类似，这些应成为学生有效的认知经验。

质量单位“克”“千克”的建立，不仅要基于观察，还要基于体验。学生要有1克、1千克质量的掂的感受，并知道生活中哪些物品的质量是1克、500克或1千克，能够把“1克”“1千克”与几粒黄豆、2瓶矿泉水的质量联系起来，在体验中形成经验。构建良好的概念是量感发展的前提，否则一切都将是无本之木。

2. 重视度量单位的学习过程，丰富用度量结果描述量的大小的经验，让学生经历从“自主选择单位度量”到“使用统一单位度量”的过程。

度量单位的学习，教师要重视组织丰富的度量活动，促进学生对数学度量及度量单位的认识与理解。教学时要创设一个大的学习背景，使学生认识到，要知道一个几何形体的大小，就需要用一个合适的单位去度量，而单位可以自主选择确定，度量的结果就是这个量的大小。这样的活动能让学生拥有广泛的数学活动经验。要避免忽视以上背景而直接教学教材的内容，导致学生“只知其然，而不知其所以然”。例如，在人教版教材三年级下册“认识面积”教学中，学生应体会多样的度量面积大小的方法（如图4）。这样的活动不仅让学生拥有了丰富的面积度量和面积大小描述的经验，还让他们对面积单位有了更丰富的认识。

又如，在人教版教材五年级下册“体积单位”教学中，首先，教师课件出示需要度量体积的长方体以及可选择的度量标准（圆柱、圆锥、正方体、长方体、球），学生自主选择标准，小组合作度量（如图5）。汇报交流以后形成共识：正方体和长方体作为度量标准比较合适，而正方體的适应性最好。于是明确常用的体积单位就是一个一个的正方体，它们分别是1立方厘米、1立方分米和1立方米。然后，进入体积单位的探究阶段，以“1立方分米”为研究重点，完成学习单并交流讨论（如图6），深度建构1立方分米的数学模型。接着，学生进行类比迁移学习，自主选择完成“1立方厘米”和“1立方米”的研究，并汇报交流（如图7），完成统一体积单位体系的建构。最后，学生应用体积单位解决问题，思考选择什么度量单位是合适的（如图8）。

以上的学习活动，很典型地让学生经历了“自主选择单位度量—建构统一单位体系—运用统一单位度量”三个阶段，丰富了学生的度量经验，让他们感受到了统一单位的必要性，深化了对度量单位意义的理解。

度量单位的学习，如果不是基于度量活动和过程经验，而是把它简单看成一个概念进行教学，那么，学生就不可能建立初步的直觉，更不会有量感的发展。

3. 教学要重视应用度量单位解决问题，让学生在应用中深化对度量单位的把握与理解。

学生量感的发展与他的数学活动经验密切相关，这种经验来自实践探究和问题解决的过程。因此，度量单位的学习应该包含单位应用和问题解决的全过程。教学时要做好两点。

第一，设计有利于学生实践探究和应用单位解决问题的学习活动，课堂应是以学习活动构成的模块结构，而非以知识串联的线性结构。

例如，人教版教材三年级下册“面积单位”的学习过程，分成三个基本活动。活动1：①比较两幅图画的大小；②自主确定标准度量这两幅画的大小；③明确这些标准都是面积单位。活动2：①自主学习1平方厘米、1平方分米、1平方米三个面积单位；②汇报交流学习结果。活动3：①判断三个平面图形面积；②自主选择今天学的三个面积单位中的一个去度量活动1中的图画，想想你会选什么以及为什么这样选择；③用1平方米去量图画，可以得到什么结果？根据这个结果你可以想到什么？为什么？整个学习活动是由三个活动板块构成的，每一个板块都是一个综合性的学习活动，三个板块反映出学习过程的一个显著特征——问题解决。特别是活动2，教师做了精心巧妙的设计，先要求学生学习完三个面积单位以后在纸上画出这三个面积单位，结果遭到学生的质疑，认为无法在纸上画出1平方米。教师再顺势做调整：（1）在作业纸上画出面积单位1平方厘米、1平方分米；（2）借助身边的物体创造1平方米；（3）汇报时介绍1平方米作品。这样一来，这个板块就不是一个简单的学习活动，而是充满了思维的碰撞和创造，设计可谓别具匠心。

再如，人教版教材二年级下册“克与千克”的学习过程中，教师先让学生“使用秤，发现1克”（如图9），再要求学生“少用秤，寻找100克，建构1000克”（如图10），最后要求学生“不用秤，估物品质量”（如图11）。显然，在这样的学习过程中，学生对克与千克有较好的体验与感悟，能形成相应的量感。

第二，要提供基于学生经验的有效学习材料。例如，在“克与千克”的教学中，教师为学生呈现了丰富的学习材料，这些材料既典型、好操作，又是学生十分熟悉的，使他们可以将数学知识与自己的生活经验相关联，促进量感发展。当然，根据不同的教学内容，在材料的设计上要充分发挥学生的主动性，让学生创造材料解决问题。例如，在“面积单位”的教学中，教师要求学生“用身边的物体创造1平方米”而不是直接提供1平方米，结果在汇报时精彩纷呈，有的小组用“六张课桌”拼起来创造1平方米，有的小組用跳绳在地上围成一个区域创造1平方米，还有的小组用书包在地上摆成1平方米……毫无疑问，学生用自己创造的材料建构度量单位，更有利于将知识内化为经验，促进量感发展。

4. 倡导整体设计，加强知识沟通，形成结构化的度量意义理解和应用能力。

整体设计的意义在于凸显对数学能力的关注，整体设计的目标指向核心素养，整体设计的路径促进知识的结构化。

从微观层面看，整体设计要重视一节课中学习活动的整体性和综合性，学习活动要给学生自主思考的空间。教学时，教师要避免因仅仅着眼于知识点而将环节切分过细，造成每个环节任务单一，导致学生探索、思考空间小。

从宏观层面看，整体设计，促进知识结构化的路径有三条。

第一，横向结构化。让学生通过主题活动，甚至跨学科的项目化学习，在运用中体会知识的关联，感受不同类度量单位之间的内在关系。如可以用水、黄豆等为载体，引导学生以主题活动的形式研究体积（容积）单位“1立方米”“1立方分米”……与质量单位“1千克”“1克”……之间的关联，深化理解。《2022年版课标》已将部分量及度量单位的学习划入综合与实践领域，采用主题活动的形式进行教学，正是对这种方向的回应。

第二，纵向“自下而上”结构化。引导学生用先前的量感经验去类比、同化新的度量单位的学习，这种同化指向度量意义、度量经验及结构关系，可以让知识更好地融为一体。如果学生在三、四年级已经很好地理解了面积单位的意义、面积的度量方法以及面积大小的描述方法，很好地理解了角的意义、角的度量方法、量角器的意义及角的大小的描述方法，那么到五年级学习体积单位时，就可以提出一个大任务，“根据面积度量、角的度量的经验，想知道一个物体的体积是多少，可以怎么办？”促进学生实现迁移性学习。

第三，纵向“自上而下”结构化。这是先把握基本原理或一般概念，然后在基本原理或一般概念统摄下学习具体知识的方法。这种课堂教学方式一般在初、高中采用，但在小学阶段也有实施的可能。目前倡导的单元整合教学事实上都是由一个处于上位的基本原理或观念在统摄的，否则整合教学便失去了灵魂，量感内容的整体教学也应如此。

另外，从数学史的角度让学生了解度量的昨天和今天，了解数学史上发生过的典型事件和出现过的典型人物，从历史和科学的角度理解“度量标准”的本质和“度量标准统一”的意义，对深化学生的量化思维，促进其数学素养的发展都有重要意义。