赵联利

摘要：教材是教师教学的重要工具，也是学生获得知识和技能的重要途径，所以，学会分析教材对教师来说尤为重要。本文以高中教材中“三角函数”所在章节为例，从知识背景、教学功能、知识结构等方面分析初高中教材中知识的深浅衔接，希望能弥补当前初高中数学教材中存在的部分知识结构衔接上的不足，进而不断修正和完善教材，进一步促进初高中数学教学的衔接与过渡，为教师完成数学教学的衔接工作提供参考。

关键词：三角函数;教材衔接，数学教学

引言

“数学在本质上研究的是抽象的东西，数学的发展所依赖的最重要的基本思想也就是抽象”.数学抽象反映了数学的本质特征，是形成理性思维的重要基础，它包括从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的联系，以及从事物与事物之间的联系、事物内部要素之间的联系中抽象出一般规律和结构，并用数学语言加以表征.数学抽象同时也作为数学学科六大核心素养之一，占据着十分重要的地位.《普通高中数学课程标准（2017年版）》（下文简称《新课标》）中指出教材编写应“在数学内容的表述中体现数学学科核心素养，编写出数学内容与数学学科核心素养融为一体的教材.”数学教材是实现数学课程目标的重要教学资源，也是培养数学抽象素养的重要载体。基于此，本文将着眼于数学抽象素养，对依据《新课标》编写的人教A版高中数学新教材中《三角函数》这一章节内容展开分析。

一、教材的定义

狭义地讲，教材的根本是相关学科的培养目标和教学任务，以此组织和编写的具有一定深度和广度的知识和技能体系。日本教育大学欢喜隆司教授对“教材”提出了广义的定义：教材实际上是源于生活、科学、艺术、文化的各个领域，而后被有计划地组织到一起，形成了一套完整的知识体系和能力体系。随着社会的发展和教育的改革，“教材”的定义不再是传统的定义，它被赋予了新的意义，不只是简单地将定理、定义和法则呈现在书面上，而是把教材看作课堂上教师与学生联系的纽带，学生把教材上的知识当作一个话题来讨论，教师对学生加以引导，使其进行自主学习和合作探究，并得出结论，进而充分发挥学生的主观能动性。

二、知识背景分析

知识背景会一直渗透在学习和教学中，不管在历史情境中还是现实环境中，都会作用于学生，学生会更容易理解和掌握知识。了解数学知识的发展可以更深入地理解其中蕴含的数学思想实质和数学发展规律，更准确、更灵活地把握数学教学知识。高中数学所学的三角函数的根源都归于三角学，它本来的意思是“三角形的测量”，后来人们把关于三角形和其他图形的研究，以及研究三角函数的性质和应用的学科统称为三角学。

学生最终会走向社会，所以数学教材中还要引导学生了解相关的社会应用，使学生可以从教材中获取数学建模的素材，更广泛地了解教学内容的意义和价值。当今世界应用广泛的数学知识之一就是初中学习的直角三角形中边角的关系，锐角三角函数在现实生活中有很大的应用价值，可以解决很多现实问题，如人们常常遇到的距离、高度、角度等测量问题，一般情况下，这些实际问题的数量关系都可以归结为直角三角形中边和角的关系问题。

三、教材内容分析结果

1.获得数学概念和形式

数学概念是抽象的重要产物之一，且概念知识本质的提取过程也反映了数学抽象逻辑性、层次性的发展过程.史宁中将数学抽象划分为三个阶段：一是简约阶段，即把握事物的本质，把繁杂问题简单化表达;二是符号阶段，即去掉具体的内容，利用概念、图形、符号、关系表述包括已经简约化了的事物在内的一类事物;三是普适阶段，即通过假设和推理建立法则、模式或者模型，并能够在一般的意义上解释具体事物.在教材的章引言部分，介绍了许多现实生活中周而复始的运动变化现象，使学生体会圆周运动的现实背景.进一步引到单位圆上点P的圆周运动，给出任意角和弧度制等预备知识

2.认识数学结构与体系

从整体上来看，在学习三角函数一章之前所学的是函数的概念与性质以及指数函数、对数函数，这样集中安排函数内容学习有利于函数学习经验的运用、函数知识的系统构建;从章节内部来看，教材是按照“背景—概念—性质—应用”的逻辑呈现，通过波动、简谐振动等典型而丰富的周而复始的运动变化进行引入，让学生感知周期变化的普遍存在，以说明研究三角函数的必要性，这是“来龙”;将抽象的知识运用到实际生活中以解决周期运动一类的问题，这是“去脉”，同时三角函数也是后续研究几何问题的重要工具.这样的编排方式有利于形成数学知识纵向和横向的完整结构，既符合学科知识逻辑，又关注到了学生的心理发展。

3.形成数学方法与思想

数学方法与思想的形成既是抽象的重要产物，又有助于对抽象过程的理解，两者是相辅相成的.在三角函数定义形成的过程中体现了抽象与概括、特殊与一般、对应等思想;在利用“单位圆”这一脚手架推导三角函数图象与性质的过程中体现了数形结合、对称性与不变性的思想.教材在呈现三角函数性质时，是从概念中要素的关系、概念间的联系到与其他知识的联系，循序渐进的编排方式有助于学生自然地理解借助几何直观、从特殊到一般的基本过程;且在三角函数公式的推导和证明中都用到了单位圆，反复利用的目的在于形成一般化的研究路径和研究方法，使学生体会理解基本的知识形成过程及蕴含的数学思想。

四、思考与建议

1.深化数学概念认知以涵育抽象思维素养

抽象和概括是获得数学概念的主要思维方式，概念教学则是培育数学抽象素养的重要路径.数学概念的学习包括观察客观现象并提出研究问题，通过比较、概括等方式提取事物的本质特征，在抽象形成必要的概念基础之上探索事物的内在规律，应用定理、性质等解决问题;在此基础上，应着力深化学生对概念内涵与知识意义的认知，促使概念知识和思维能力进一步升华为抽象思维素养。

2.丰富模型应用情境以提升抽象概括能力

基于数学抽象素养的教学应重视情境的创设和问题的提出，因为设计情境和提出问题的目的是启发学生思考，引导学生有效参与数学活动，促使学生理解数学内容本质.在课堂教学中，除了提供数学情境以及教材所给的问题情境外，可以设计与学生生活经验相吻合的个人情境、反映时代气息的社会情境以及与其他学科融合的科学情境下的问题等，以丰富学生的模型应用经验，提高灵活应用的水平;也可考虑设置相互之间具有联系、相互统领的问题情境背景以增强内容间的关联性。

总结：总之，教材是教学的重要手段，教师在备课时要深入研究教材，掌握知识的产生背景和在实际生活中的应用，以及前后知识的联系，还要选取适当的方法，明确教学给学生带来的价值。笔者经过分析发现，初高中教材中的三角函数整体上比较衔接，符合教材的層次性、整体性和等级性，但通过知识结构分析得出，三角函数相关知识在初中阶段分布过少，可以适当地将角的概念的推广和弧度制放在初中学习，以此减少学生在高中学习的压力。

参考文献：

[1]陈晨基于学生认知发展的初高中数学衔接教学的实践研究[D].上海：上海师范大学，2020.

[2]谢金芮.初高中数学教材知识结构衔接研究[D].重庆：西南大学，2014.