姚华

摘要：促进学生对数学的理解，至少要厘清两个基本点：一是帮助学生把握数学知识的本质，即数学知识内蕴的具有普遍性、关键性的“核心概念”或“通性通法”;二是遵循学生的认知结构，促进学生实现从旧知到新知的迁移，以及从动作表征到符号表征的跃升。

关键词：数学理解;知识本质;认知结构

数学教学要促进学生对数学的理解。我认为，围绕这个中心，至少要厘清两个基本点：一是把握数学知识的本质，二是遵循学生的认知结构。下面，结合具体教学案例谈谈我的思考与实践。

一、把握数学知识的本质

关于“本质”，《现代汉语词典（第7版）》这样解释：“指事物本身所固有的，决定事物性质、面貌和发展的根本属性。事物的本质是隐蔽的，是通过现象来表现的，不能用简单的直观去认识，必须透過现象掌握本质。”可见，所谓“本质”，既是一类事物的共同属性，具有普遍性或一致性;也是起主要作用的属性，具有关键性或决定性。

数学知识，无论是代数的还是几何的，无论是陈述性的还是程序性的，都有其内蕴的本质。它们往往就是数学学科的“核心概念”或“通性通法”（即当下常说的“大概念”或“大观念”）。把握数学知识的本质，才能打通数学知识之间的关联，建构起符合数学核心素养要求的、简化的、内在逻辑性较强的、对未来学习更有迁移作用和支持意义的数学基础知识结构，才算真正理解了数学知识，达到了融会贯通。

北京教育学院刘加霞教授曾说：“把握数学的本质是一切教学法的根。”因而，教师要设计相应的教学活动，帮助学生把握数学知识的本质。

例如，除法是乘法的逆运算，因此，除法计算的本质是逆用乘法口诀“试商”。苏教版小学数学四年级上册的“两、三位数除以两位数”，不论除数是整十数还是一般的两位数，计算的本质都是，依据乘法口诀思考被除数里最多有几个“几十”（即便除数是一般的两位数，也应该被看成最接近的整十数）。因此，教学这一内容时，教师可以针对这一本质设计一定的专项训练，如：85里面最多有（）个20，乘法口诀是;76里面最多有（）个30，乘法口诀是;285里面最多有（）个40，乘法口诀是;785里面最多有（）个90，乘法口诀是。通过专项练习，学生把握本质后，便会对除法的笔算程序、技能有深刻、牢固的理解和掌握。

再如，教学苏教版小学数学三年级下册的“长方形的面积计算”时，大部分学生很容易掌握长方形的面积计算公式，并能根据需要运用公式进行计算，但是他们往往不理解长方形的面积为什么可以用长乘宽来计算。究其原因，可能是学生在公式探究的过程中，侧重于发现长方形的面积跟长和宽的关系，而忽视了平面图形面积计算的本质：计量或测算平面图形里包含多少个面积单位。而把握了长方形面积计算的本质，才能为后续灵活得到其他平面图形的面积（包括转化推导规则图形的面积计算公式和分割测量、计算不规则图形的面积）打好基础。

因此，在学生初步认识了长方形的面积计算公式后，有必要设计正反对比的案例，追问学生计算正确或错误的道理，促进学生对公式本质的理解。具体教学设计为：

师一个长4分米、宽3分米的长方形，面积是多少平方分米？

预设：4×3=12（平方分米）。

师为什么长4分米、宽3分米相乘之后的得数12平方分米，就是所求的面积？

师长4分米意味着一行可以摆多少个1平方分米的正方形？宽3分米又意味着什么呢？

师面积12平方分米，其实就相当于12个1平方分米的正方形拼起来。

师一个长4米、宽30分米的长方形，面积是多少？

预设：4×30=120……

师单位是什么？这样计算对吗？

师为什么不对？

预设：因为长和宽的单位不统一，所以无法计算。

师为什么单位不统一，就不能计算？

师长4米，意味着一行可以摆4个1平方米的正方形，那么，从宽看，每列也应该摆若干个1平方米的正方形，其个数就不是按分米单位计数的30，而应该是按米单位计数的3。因此，长和宽必须用同样的计量单位，才和面积计量的操作过程相符合。

又如，教学苏教版小学数学四年级上册的“用量角器量角”时，一些教师为了帮助学生更好地掌握用量角器量角的操作步骤“中心对顶点—‘零线’对一边—再看另一边（里外要分清）”，把重点放在认识量角器的构造上，细化分解量角器的组成部件，甚至直观展示量角器关键部件的创生次序和改良过程，试图让学生理解测量操作的道理。但是往往效果不佳：学生在用量角器量角时还是会犯各种错误。实际上，我们应该把重点放在理解用量角器量角的本质上，让学生认识到：用量角器量角，实质上是在量角器上找到一个和所测角大小相等的角，并通过量角器的刻度读出它的度数。由此，学生便能理解各个操作步骤的意义：“中心对顶点”就是让两个角的顶点重合，“‘零线’对一边”就是让两个角的一条边重合，“再看另一边（里外要分清）”就是根据另一边对应的刻度线（分清里圈、外圈）读准度数。

为了让学生感悟到用量角器量角的本质，可以在学生初步了解了量角器构造的基础上，设计如下活动：

活动一：在印有量角器刻度的纸上描指定度数的角。

从中感知两点：一是描法很多，最便捷的是把零刻度线定为所描角的起始边;二是零刻度边定的方向不同，所画角的朝向也不同。由此，引导学生学会读准度数。

活动二：用量角器量透明胶片纸上角的度数。

有了前面的活动经验，学生自然想到使胶片纸上的角与量角器上的角“重合”，具体操作就是把所测角放在量角器的上面。这个活动与真正的量角活动本质一样，比真正的量角活动操作简单一些。

活动三：用量角器量普通纸上的角。

引导学生思考：纸不再是透明的，把角放在量角器上量角不方便了，怎么办？学生自然想到反过来：把量角器放在所测角的上面。这就是真正的用量角器量角。

二、遵循学生的认知结构

认知建构主义认为，学习是头脑中已有的认知结构不断“同化”“顺应”外界信息，从而达到新的“平衡”（形成新的认知结构）的过程。因此，奥苏伯尔说：“假如让我把全部教育心理学仅仅归结为一条原理的话，那么，我将一言以蔽之：影响学习的唯一最重要的因素，就是学习者已经知道了什么。”此外，布鲁纳从认知表征的角度给出了认知发展的路径，即“从动作表征经图像表征而达到符号表征的世界”。因此，数学教学要促进学生对数学的理解，还应该遵循学生的认知结构，促进学生实现从旧知到新知的迁移，以及从动作表征到符号表征的跃升。

例如，苏教版小学数学三年级上册的“两、三位数乘一位数笔算（不进位）”是學生学习乘法竖式计算的起始内容。教学中，学生对例题要求计算的12×3，基本上都能根据乘法的意义，转化成12+12+12;也能通过摆小棒的操作，得到“先算10×3=30，再算2×3=6，最后算30+6=36”的分步算法。然而，接下来，学习乘法竖式计算时，学生会遇到两个障碍：一是怎样从分步算法中的“从十位算起”变成竖式计算中的“从个位算起”，二是怎样对由分步算法初步构建的竖式雏形进行简化。对此，教师可以引导学生从实现已有的加法竖式计算经验出发迁移学习，结合乘法与加法的关系，构建乘法竖式避免口算方法（摆小棒操作）的负迁移。具体教学片段如下：

师秋天到了，天气渐渐凉了，大雁开始飞往南方了。星期一，小东看到天上飞过2行大雁，每行12只，一共有多少只大雁？

生12+12=24（只）。

师你是怎样算的？

生我是口算的：10+10=20，2+2=4，20+4=24。

师还记得这样的口算方法是怎样得到的吗？

生用小棒摆一摆。

生也可以列竖式计算。

师竖式怎样写？

生列竖式计算，首先做到数位对齐，然后从个位算起。先算个位上2+2=4，再算十位上1+1=2，所以，结果是24。

（教师板书：数位对齐，从个位算起。）

师星期二，小东看到天上飞过3行大雁，每行12只，一共有多少只大雁？

生12+12+12。

师列竖式算一算12+12+12等于多少。

（学生快速完成。）

师如果天上飞过4行大雁，每行12只，那么，一共有多少只大雁？加法计算竖式怎样写？变成5行呢？9行呢？你有什么感受？

生竖式太长了！计算太麻烦了！

……

师我们知道，相同的加数相加用乘法来计算更简便，这就是乘法的意义。因此，上面这些加法竖式用乘法竖式计算更简便，大家想学吗？

生（齐）想！

师那我们还是从简单的情况入手。先来研究12×2的计算方法。

生转化成12+12=24。

师这个方法不用说，前面研究过了。

生先算10×2=20，再算2×2=4，最后算20+4=24。

师这个方法是怎样得到的？

生用小棒摆一摆。

师很好！再来研究竖式计算方法。其实，乘法竖式计算的过程跟加法竖式计算是一致的。（同步板演竖式）首先，写竖式的要求是一致的，即数位对齐。其次，计算的顺序也是一致的，即从个位算起。加法里，先算个位上的2+2=4。乘法里，也先算——

生2个一乘2个一等于4个一。

师所以，在得数的个位上写——

生4。

师加法里，接着算十位上的“1+1=2”。乘法里，也接着算——

生1个十乘2个一等于2个十。

师所以，在得数的十位上写——

生2。

师所以，12×2=？

生24。

师请大家像这样试着自己写一写12×2的竖式。

（学生快速完成。）

师现在，你能试着写一写12×3的竖式吗？

……

再如，教学苏教版小学数学三年级上册的“两位数除以一位数笔算（首位不能整除）”时，学生难以理解竖式计算的算理，包括为什么要从高位除起以及商的数位、余数的意义等，从而难以建构竖式计算的算法。对此，出示教材例题，引出算式52÷2后，教师要引导学生借助分小棒的操作活动展开探究，从动作表征逐渐上升到符号表征。具体来说，首先可以通过“先分整捆，再分散根”和“先分散根，再分整捆”两种分小棒方法的对比，帮助学生理解从高位算起的优势。其次，可以结合“先分整捆，再分散根”的具体过程，帮助学生理解算理、形成算法：先分5捆，每人分得2捆，就是2个十，所以，商2写在十位上;还剩1捆，拆开成10根才能分，与散的2根合成12根继续分，每人分得6根，就是6个一，所以，商6写在个位上……

参考文献：

[1] 徐斌艳，等.数学核心能力研究[M].上海：华东师范大学出版社，2019.

[2] 郜舒竹.小学数学这样教[M].上海：华东师范大学出版社，2015.