孙平

[摘  要] 错误也是需要预设的，因为这样能够让学生有一种“上当受骗”的感觉，也会让他们“吃一堑长一智”，从而让有意思考、理性分析等学习素养得到发展。基于此，在小学数学教学中教师就得从预设一些学习不足等环节入手，诱导学生在不自觉中发生错误，进而在解析纠错中学习，最终达到反复锤炼思维、深化经验积淀等目的，让错误具备防微杜渐之功效，助力学生数学学习的顺利推进。

[关键词] 错误;力量;小学生;数学学习;数学思维;数学素养

客观地讲，世上没有绝对的完美物品存在，一种没有任何缺点的物品本身就是瑕疵。试看中国国画，你会被那留白所震撼，并心生疑问：为什么不把这些空白补全、补满呢？留下它们是不是一种缺憾呢？事实表明，这就是文化，这就是艺术。同理，在小学数学教学中学生产生的学习错误就宛如此种现象，看似不足、不完美，但是它恰巧是构建完美的必要元素。对学生来说，这种错误能够助力他们数学思维的发展，丰富他们的数学活动经验，提高他们的数学素养。

一、预设不足，达到防微杜渐之目的

作为一名教师，如果不能利用好学生学习中的各种错误，那么是不可原谅的。这是著名心理学家贝恩布里奇对教师的一个忠告。错误是与学生的学习紧密联系的，是难以回避的，甚至是不应该回避的。因为错误宛如伤疤，它会结痂，会在学生的学习记忆中留下终身都难以磨灭的印记。以“圆的认识”为例，教学中，教师要通过相应的方式呈现出错误的信息或习题，引导学生在解读中进行思考，在思考中留下深深的烙印，从而更好地建构相关的认知，并形成牢靠的学习经验，达到防微杜渐的根本目的。

师：经过这一阶段的学习，说说你有哪些收获。

生1：圆是一个曲线图形，它不像长方形、平行四边形等图形那样是由线段围成的。

生2：圆是世界上最完美的图形。

生3：我知道圆中有一个点是圆心，它到圆上的线段叫作半径，通过圆心且两端都在圆上的线段是直径。

生4：圆心是用字母O来表示的，r表示半径，d表示直径。

生5：其中直径还是半径的2倍，d=2r。

……

师：听了同学们的介绍和总结，你有什么新的思考，或者有什么想要补充的呢？

生6：这里说圆中的一点就是圆心是不科学的，我们在折图中找到的那个折痕的交点才是圆心，它是所有折痕的交点，也就是圆中所有半径或直径的交点，在圆中心的位置上。不能简单地说成圆中的一点。

生7：还有半径与直径关系的理解也不科学，你们看一个圆的半径可能是10米，而另一个圆的直径只有10厘米，这个直径是半径的2倍吗？

师：你们的质疑很有水平，特别是这个半径与直径的关系，那它们到底该如何去表述呢？

生8：实验中我们就是在一个圆内研究的，所以不能是两个圆，这个需要注意。

生9：可以是两个圆，也可以是多个圆，但是它们的半径应该都一样长。

……

教学的目的一般都是很明显的，那就是让学生学到知识、积累经验、增强基本技能等，这是教师的基本使命。但笔者认为，教学最根本的任务应是深化理解，促进建构，锤炼思维，积淀素养。

案例中教师引导学生回望学习过程，并引导学生把相关内容表述出来，从中暴露出学习思考的不足，显露出思维条理性、严密性、逻辑性等的缺陷，从而引发必要的学习争议，以此助力学生对知识的领悟，促进认知的内化，为后续的学习保驾护航，真正起到了防微杜渐的作用。

二、诱发错误，达到反复锤炼思维之目的

在小学数学教学中，教师应故意出示一些错误，并以此来设置“陷阱”，让学生在不经意间落入其中，从而在反思中对相关的信息进行仔细梳理，对有关的不足进行反复“咀嚼”，最终实现学习理解的深入和学习领悟的加深。与此同时，学生的数学思考意识也会得到较好的锻炼和发展，数学思维的严密性、灵敏性和逻辑性等会得到很好的培养。

试看“面积和面积单位”的教学片段。

师：经历了这一阶段的学习，请同学们把自己的收获与同伴分享一下。

学生纷纷与同伴交流自己对面积意义、面积单位的理解。

生1：面积与周长是完全不一样的，周长指的是线的长度，面积指的是物体的表面或平面图形的大小。

生2：这个不简单吗？用彩笔去画一画就明显了，周长是画一圈的线，而面积需要把图形涂满，可见它们之间的区别还是挺大的。

……

师：不错！下面老师想请同学们做一个互动的游戏，大家有信心做好吗？

课件呈现游戏的信息：用这一阶段所学习的本领进行挑战，数一数屏幕上的方格个数。要求是，女生数，男生需要闭上眼睛，认真听;反过来，也是如此操作。

生3：男生数出的是10个方格，女生数出的是8个方格，我认为男生的图形面积大。

生4：这个不一定吧！

生3：怎么会不一定呢？10本数学书的表面积不比8本数学书的大吗？

生4：不是的，因为数方格的时候，我们是闭着眼睛的，没有看到女生的方格到底是什么样子。

生5：这个有道理，方格是手指甲盖大小，还是手掌大小，还是与地面瓷砖一样大呢？

……

笔者认为，真正的学习就是在错误的反思中逐渐完善起来的。在学生初步學习面积意义之后，他们能够用自己的理解去建构周长与面积的表象，形成自己的专属理解，这就是个性化学习的体现。

随着面积单位学习的开始，教师设计了一个精彩的游戏活动，让学生在“听”的体验中形成感知，并做出判断。这样的过程就是诱发学习错误发生的过程，它更是一个有利于学生产生探究面积单位学习欲望的体验活动。学生一边竞猜，一边思考，也会产生相应的学习疑问，这一点从案例中就能较为明显地显露出来。质疑不足，让错误暴露无遗，就会诱发学生学习的深入开展，使学生对面积单位的理解更加深刻。

三、解析错误，实现深化经验积淀之目标

如何让学生的学习变成他们最宝贵的学习经验呢？死记硬背，当然是行不通的，因为这种机械式记忆，学生从内心是不愿意接受的，也是极为抵触的。在“圆锥与圆柱的体积练习”教学中，教师要善于借助学生学习中的不足，来引发他们更为深入的思考，从而让他们在问题解析中更有效地感悟知识，形成经验，为他们持续学习奠基。

师：这是一个同学的学习总结，你认为有道理吗？

生1：没有道理！圆锥的体积怎么会是圆柱体积的3倍呢？关系搞颠倒了，应该是圆锥的体积是圆柱体积的三分之一。

师：对于现在这个结论，你们又是怎么想的呢？

生2：圆锥体积是圆柱体积的三分之一，这个不是实验中得出的结论吗？应该是正确的吧！

生3：这好像不太科学。我们的实验不是也出现3倍多一些和3倍不足的情况吗？

生4：是啊！因为实验中圆柱、圆锥容器的高和底是不一样的，所以得出的结论是有差别的。

生5：噢！我明白了，这个总结还是不正确的，因为这个同学没有突出圆柱和圆锥是等底等高的，所以不能得出这一结论。

生6：还真是的！这个是推导圆锥体积计算公式中非常重要的内容。如果没有它，圆锥体积计算公式的推导过程就是不成立的。

生7：是的，要研究圆柱和圆锥体积之间的关系，一定要先看它们的底与高之间的关系。

……

帮助学生建构好认知，积累起較为厚实的数学活动经验等是小学数学教师的基本使命，也是促进学生数学素养全面发展的重要着力点。因此，在教学中教师就得借助学习错误解析这一契机，引导学生去审视问题、解读错误，让学生去争辩、去思考，从而实现理解的深入，促进学习认知的建构。

案例中，教师设计一个较为明显的错例，引导学生去思考、去辨析，进而在不同的争辩中较为理性地解读圆锥体积计算公式的由来，也在不知不觉中回忆起相应的实验，找到问题的本质。经过互动学习及学习质疑，学生终于意识到要得出圆锥体积的计算公式，就要保证实验器具是等底等高的，进而得出“要确定圆柱和圆锥体积之间的关系，就必须保证它们是等底等高的”的结论。自此，学生在反思、质疑中更好地吸取教训，形成扎实的学习建构。

综上，错误是小学生数学学习的自然产物，更是他们再度学习、深入探究、建构认知和发展思维、积累经验的宝贵财富。因此，在小学数学教学中教师要正视学生学习中出现的各种错误，并善于解读这些错误，找到错误的成因，并灵活地驾驭错误，使之成为新的教学素材，成为学生深化学习理解的重要资源，成为理性分析、智慧思考的磨砺石。笔者相信，在如此的环境下，久而久之，学生的思辨能力会持续增长，数学学习能力会不断递增，数学素养的积淀也会越发厚重。