俞丽平

[摘  要] 在小学数学教学中，运算定律一直是四则运算的教学重点内容。作为简便计算的知识基础，教师如能帮助学生在系统地学习这些定律和性质时，尽可能地获得较为深刻的认知与理解，将对他们计算能力的快速形成和发展起到十分重要的作用。文章结合学生的实际情况与教师的教学经验（人教版四年级下册“运算定律”单元），从教材内容、教学实施、学生学习三个角度出发，谈谈具体的做法以及由此引发的思考。

[关键词] 运算定律;单元教学;实践;思考

在针对这个单元所进行的常规性的教学研讨中，教师们常常会大倒苦水：“这部分知识看起来也没太大难度啊，怎么就教不会呢？”“知识分块的时候还好，一到集中起来运用的时候学生就错误百出，简直惨不忍睹。”“这几个孩子，看来是教不懂这个知识点了。”“我在已经把这种错误分析了无数次了，但我每天都在讲，学生还是每天都在错……”概括起来说，上述问题集中反映出教师对教学的预期效果与学生实际掌握情况之间的差距，并且在不知不觉中，部分教师显然已把产生这种差距的原因归结到学生身上。这样的现象，实在应该引起教师们足够的重视与深刻的反思。

一、基于教材内容的理解看实施

结合具体的实践效果，笔者认为，教师应以学生的实际情况为重要参考，并在课堂教学前，着重理解以下几个方面的教材内容及其编写意图。

1. 把握教材内容——理清“形式”与“本质”的关系

教材对加法运算定律和减法性质的编排以“李叔叔汽车旅行”的事件贯穿，乘法运算定律则选取了“同学们植树”的情境。这样的编排，除了体现将计算内容教学与解决实际问题相结合的思路外，既为学生学习运算定律提供了丰富的素材资源，也为解释算式的意义提供了现实依据。常见的课堂教学导入环节如下：

【片段一】加法运算定律

教师用课件出示情境图。并提问：你能从中找到哪些信息？可以提出什么问题呢？

生1：李叔叔上午骑了40千米，下午骑了56千米，一共骑了多少千米？

师：那么解决这个问题该怎样去列式？

生1：40+56。

师：还可以有别的方法吗？

生1：还可以56+40。

师：这两个算式之间可以用什么符号连接？

生1：等于符号。

师：谁来说说为什么？

生2：要加的数没有变，只是交换了位置，结果不变。

师：你能再举出几个这样的例子吗？

乍一看，这似乎就应该是按教材内容展开的课堂教学范例，但实际上，以这样的方式教学，就已经脱离了运算定律产生的本质。笔者认为，在教学实施之前，教师首先应该明确：运算定律与四则运算是一个有机的整体;运算定律是对数的运算过程中基本规律的归纳与总结。在以上环节中，应继续引导学生深入思考，即为什么结果不会发生改变？交换加数的位置只是表示形式上的不同，其本质需要用加法的意义，也即“把两个数合并成一个数的运算”来解释。

考虑到后期乘法分配律的教学，上述关于理清“形式”与“本质”之间关系的引导，则就应该是“加法运算定律”这一知识点教学中不可忽略的教学目标。也正因为被忽略，教师才经常会站在个人理解的角度，对乘法分配律的具体表现形式进行“多样化”的解读：

【片段二】乘法分配律

教师列出算式：25×（4+2）=25×4+25×2，并提问：思考一下，你能结合一个情境，用自己的话来解释一下这个算式吗？同桌之间互相交流。

生1：有25个小组，每组4个男生，2个女生，问一共有多少人？

生2：一本练习本4元，一支圆珠笔2元，一共要买25套，共需要多少元？

师：老师这里也有一个例子。我们可以把25这个数当作是“篮子”的数量，4和2这两个数表示的是苹果的个数。左边一共25个篮子，每个篮子装6个苹果，右边一共50个篮子，其中有25个篮子每个装4个苹果，另外25个篮子每个装2个苹果。

在小学数学的课堂中，教师应结合学生的认知发展特点与教学内容实际，适当采用以上方式组织课堂提高学生思考以及参与讨论的积极性。但需要注意的是，“形式”的内容成分切不可大于“本质”，教师应该从乘法意义的角度去引导学生理解以上算式：左边是求6个25的和是多少，右边分成4个25与2个25的和。采用这样的方式教学，教师才能使学生理解运算定律的“本质”是运算的意义，同时也增强了课堂的“数学味”。

2. 依据编写意图——实现从“基础”到“拓展”的提升

仍以乘法分配律为例，教材秉持一贯的编写方法，仅以不完全归纳法的形式引出该定律，却在“练习七”中设计了多个极具针对性的习题。例如“第6题”——用乘法分配律计算下面各题：103×12;20×55;24×205;“第7题”——判断每组算式得数是否相等：35×201与35×200+35;265×105-265×5与265×（105-5），等等。

作为教师，首先应该意识到，学生在学习乘法结合律与分配律时，已经存在认知上较大“跨越”。其主要原因是运用这两个运算定律达成简便计算的“路径”不同，容易产生混淆。为了夯实学生对乘法分配律的理解基础，教师应该尽力挖掘并整合教材内容，并在教学过程中引导学生对该部分知识进行系统的梳理。（如图1）

只有有针对性的拓展教学，才能加深学生对乘法分配律知识的理解，也能为学生更好地运用该运算定律打下了坚实的基础。

二、结合课堂教学的实际定策略

教材将运算定律的知识集中在一起系统编排，并将减法中“连减的性质”与除法中“连除的性质”也穿插在内。从有利的角度分析，这便于学生感悟知识间的联系与区别，可以对四则运算的定律性质形成比较完整的认知结构。从不利的角度分析，随着教学内容的展开，知识间的串联很容易出现“知识负迁移”的现象，增加了学生理解与掌握的难度。针对以上实際情况，教师应有意识地研究制定相应的课堂教学策略。

1. 利用“聯系”，实现知识的正迁移

运算定律来自数的运算过程中对基本规律的总结，其提炼与概括的过程具有高度抽象性。教师需要充分利用学生已有的知识经验进行针对性教学，如在加法（乘法）运算的教学中采用交换两个加数（因数）的位置引导学生进行验算;让学生理解“几个数相加（相乘）时先算哪一部分都不影响结果”的原理;引导学生理解“列竖式计算两位数乘法，就是乘法分配律知识的实际应用”，等等。这样的教学，对于学生更加深刻地理解和接受新知具有十分重要的作用。此外，在单元内部的知识间，教师也可以找到许多“联系点”。例如在乘法运算定律第一课时的教学中：

【片段三】乘法交换律和乘法结合律

在分别比较加法交换律和乘法交换律、加法结合律和乘法结合律后，你发现了什么？（在此前引导学生进行分组讨论）

生：乘法交换律和加法交换律差不多，乘法结合律与加法结合律也差不多。

师：你能具体说一说吗？

生：加法交换律是两个数相加，乘法交换律是两个数相乘……（略）

师：两个运算律的最大相同点是什么？

生：交换律是改变了数字的位置，结合律是改变了运算的顺序。

师：那它们最大的不同点呢？（在学生作答后，向学生阐明两者运算意义的不同）

2. 构造“模型”，降低理解的难度

教材将“连减的性质”与“连除的性质”穿插编排在加法、乘法的运算定律内容之后。从例题分析：“连减的性质”通过在不同算法上的呈现，结合“你喜欢哪种方法？”的问题，适合用来引导学生去比较各种方法的特点，思考适用范围。“连除的性质”则更多地倾向于体现算法优化的意图，在例题呈现上显得更为简单。总的来说，教材更加强调这两类性质在实际运算情境中所起的作用。但是，教师显然不能忽略这样一个问题——缺少了与五个运算定律类似的“模型”支撑，对于学生尤其是基础较为薄弱的学生来说，理解的难度无疑就加大了。在实际教学中，教师应充分结合实例，有意识地引导学生自主构建这两类性质的模型（如图2）。

3. 突破“难点”，促进思维的发展

如今的教材，改变了以往对运算定律与简便计算教学中偏重于算法技巧的编排形式，着力引导学生将运算定律学习、简便计算应用、解决实际问题三者结合。基于此，教师应关注方法的灵活性和解决问题策略的多样性，并以此为基础发展学生思维的灵活性，提高分析、解决问题的能力，但这无疑是单元教学的最大难点。

那么，该采用哪些具体的方法突破上述难点呢？笔者认为，首先应尽可能拉长对综合运用定律和性质解决问题的过程，使学生充分地经历探究、尝试、比较等学习活动。如关于连减的简便计算，学生在学会不同算法后，需要再去理解“为什么想到这样算？”“为什么可以这样算？”等原理性问题，才能继续从算理和算法两个层面开展探究。其次，教师还应落实解决问题策略的多样化，重点引导学生的发散思维，在学生习得尽可能多的方法后，引导他们展开比较与交流，体会简便计算的关键是根据数据特征找到合理的方法，从而培养学生思维的灵活性。

4. 把握“节奏”，达成高效的实施

运算定律的内容属于计算教学的范畴。因而，在课堂实施中，教师需要特别注意把握好“自主探索、分析概括与随堂练习”等环节间的教学节奏，也就是通常所说的“讲与练”的节奏。同时，教师应该根据学生作业中的错误所提供的“教学反馈”，合理地把控“旧知温习”与“新知教学”之间的节奏。需要说明的是，不论是何种教学“节奏感”，都应充分结合内容与学生实际情况，如教师能将之调控得当，那么这种节奏感体现在实际效果中的作用，将会非常明显。

三、关注学生学习的效果促反思

毫无疑问，学生对知识与技能的实际掌握情况，并在此基础上获得思维发展与能力提升的程度，是开展教学实践研究的出发点和归结点，也是衡量教师教学水平的主要指标。据此，在实际教学中，教师应通过教学前测、作业反馈、阶段性测评等多种方式跟踪了解学生的学习状况。此外，还应考虑到小学生的心理特点和认知发展上的差异，有针对性地开展教学实施。

1. 重视教学前测、阶段性测评的作用，以此作为重要的实施依据

前文提及，本单元教学应利用新旧知识间的联系，唤醒学生已有的知识经验。那么，实际操作中，首先要明确就应该是学生的知识起点在哪里，这就需要教师通过前测进行了解。如在开展加法运算定律、乘法运算定律第一课时的教学之前，教师可以将教材中“做一做”的习题作为前测素材。结合笔者实际进行的操作和统计分析，接近97%的学生能够顺利地完成解答，而对其中设置的问题“你能说说为什么可以这样算吗？”只有47%的学生能够进行比较合理的解释。根据这一结果，笔者认为课堂实施的重点应落在运算定律的归纳与意义理解相结合上。

作为计算教学的内容，教师尤须重视阶段性测评，以便及时地查漏补缺，并反思教学实施中的问题。针对本单元内容，笔者认为可以分别在“减法的性质”“乘法分配律”的知识教学之后，精心编制习题进行测评和分析。结合笔者的实际经验，这样的测评既能使学生巩固所学知识，还能减少对后续知识学习的不利影响。

2.结合学生认知发展与心理特点，有针对性地选取和使用教学素材

四年级的学生，其认知以及思维方式正处于由具体形象向抽象逻辑成分转变的关键阶段。在单元重难点知识的教学中，教师应采用合适的教学媒介辅助施教，在吸引学生注意力的同时，极大地提高他们对知识理解与掌握的程度。

【片段四】加法中的数据特征与简便运算

（操作引入）出示两张卡片纸，分别剪成不同的两个部分，让学生观察，怎样的两张正好可以拼成一张完整的卡片纸。（引语）在数学中也有这样的现象。

请同学们在作业纸上连一连：

6    791  115   132

34    9   118    85

师：你是依据什么来连线的？

生：因为可以凑成整十、整百的数。

师：同样，6、791、34、9可以连在一起成为一个整体，115、132、118、85也可以连在一起成为一个整体。你们知道为什么吗？

生：因为它们四个凑一起也可以凑成整十整百的数。

师：也就是两种连接方式，都依据的是这些数字所具备的可凑整的数据特征。通过这个，你们能联想到我们学过的哪些知识吗？

生：加法交换律、加法结合律。

师：对，也可以统称为“运算定律”。

上述环节中，以卡片直观的“形状”特征关联了相对抽象的“可凑整”数据特征，这样的操作活动与数的拆分、合并相对应。教师在此时可利用心理学中追求完整的行为动机，顺势引入对后续环节的探索。笔者认为，如果将这样的设计思路拓展至乘法分配律等知识的教学中，即采用“数形结合”的方法，也能得到意想不到的教学效果。例：学校购买校服，每件上衣30元，每条裤子25元，买4套这样的校服，一共需要多少元？在学生列式计算后，教师可以引导他们用画图的方式来表示不同算法，以加深理解（如图3）。

3.以联系与发展的眼光看待学生，适当地区别对待施行分层教学

尊重学生客观存在的差异是每个教师必须正视的问题。事实上，集体授课的制度和模式下，教师不应该对每个孩子实际掌握知识的情况都用同一把“尺子”去衡量。因而，在“运算定律”这一单元的教学过程中，针对不同学生的实际情况，教师还要做好针对性的“培优补差”。

对于学习有困难的学生，作业的完成情况多半会不够理想。但是，这一情况所反映出的问题既可以作为很好的教学素材，也有助于教师进一步地反思教学设计和课堂实施行为。而对学有余力的学生，教师也可以根据实际情况适当地拓展其知识的广度。例：在“连减与连除”的教学中，教师可以向学生进一步展示以下两组理解难度更高的运算性质“模型”（如圖4）。

虽然本文是立足于“对教材内容的理解”“课堂教学的实施”和“学生学习的效果”这三个维度进行论述的。但是笔者认为，这三者之间其实并不存在明确的界限，同时教师所有行为的总和应始终指向于使每个学生更好地理解知识和发展能力。在教学过程中，教师需要更多地从“怎么教”的角度出发，养成勤于思考、善于思考的习惯，便能少一些本文开头的抱怨，使学生的学习变得更高效。

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