潘 刚 方 莲 陈文娟

（合肥工业大学基础部，安徽 合肥 242000）

1 引例问题

在参考文献[1]中有这样一道中学物理竞赛考题：

问题.已知飞机场跑道上空空气的折射率随高度变化的规律是n=n0（12+αy），其中α=1.5×10-6，n0是地面处空气的折射率，某人站在机场跑道上看远处，他的眼睛距离地面的高度是h=1.7 m，求他能看到跑道的长度.

这道题目显然是一个变折射率光学问题.观察空气折射率随高度变化的关系式可知，空气越往上折射率越大，根据折射定律（图1），光线水平入射必向上弯曲射入人眼.那么逆着光线看，光线水平入射的点是此人能观察到的最远的点.所以需要关注光线的弯曲情况，建立光线满足的微分方程.这是本考题的核心和关键点.

光学中可以由费马原理导出折射定律

图1 折射定律

式中角度θ为光线方向与法线的夹角.

用微元法考察曲线（图2）则有

图2 利用微元方法考察曲线

图3 光线方程满足的守恒量

联立（2）、（3）两式得到

方程（4）便是光线的微分方程表达式.代入求解

因为α=1.5×10-6≪1，略去α的高次项得到

分离变量法得到

代初值条件y（0）=0得到

这就是求出的光线方程表达式f（x），当y=1.7时算得x=1505.55，这就是人站在跑道上能看到的最远距离.

基金项目：本文系安徽省省级线上教学优秀课堂大学物理项目（项目编号：2020xskt388）阶段研究成果之一.

通过引例问题可以看出，本题中给出了折射率梯度，要求计算光线方程并分析一些问题.那么对于要研究的海市蜃楼问题，可以采用类似的方法.不过这个问题中……