顾芳芳

[摘  要] 极点极线定理定义在圆锥曲线问题中有着广泛的应用，该定理对于学生而言相对较为陌生，但深刻理解，灵活应用，可显著提升解题效率，因此深入探究有着现实的意义. 文章从问题背景、知识定义、定理规律、应用强化等方面深入探究，并提出相应的教学建议.

[关键词] 极点;极线;圆锥曲线;定理;定义;应用

极点极线结论是研究圆锥曲线内在性质的基本理论，虽然在高中教材中体现得并不突出，但其作为圆锥曲线的基本特征，在高考解题中有着广泛的应用，利用该结论可挖掘问题本质，快速确定解题方向，提高解题效率. 该结论备受命题人青睐的原因有两点：一是具有高等数学的背景，拓展性强;二是可以全面考查学生的数学思维，以及推理运算能力，下面对该结论深入探究.

[?]提出问题

问题：已知过抛物线C：y2=4x的焦点的直线与抛物线相交于点A和B，抛物线在点A和B的切线交于点P，则点P的轨迹为________.

解析：探究抛物线切线交点的轨迹，方法有很多，下面探究其中的两种.

传统方法：设直线AB的方程为x=my+1，交点A（x，y），B（x，y）（y>0，y<0），联立直线AB与抛物线的解析式，整理可得y2-4my-4=0. 由韦达定理可得y+y=4m，yy=-4，则有y=2，y′=，可知抛物线在点A的切线方程为y=x+①，同理可求出抛物线在点B处的切线方程为y=x+②，联合①②可得

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x=-，从而有x==-1，所以点P的轨迹方程为x=-1.

通性通法：可直接设A（x，y），B（x，y），P（x，y），则抛物线在点A处的切线方程为yy=2x+2x，因为点P在该切线上，故可得yy=2x+2x. 分析可知点A和B均满足方程：yy=2x+2x，即该方程就为直线AB. 又知直线AB过抛物线焦点F（1，0），所以2x+2=0，可得x0=-1，从而可知点P的轨迹方程为x0=-1.

[?]问题探究

另外，上述关于点P的轨迹，由轨迹方程可知其轨迹实则为抛物线的准线，利用该方法探究椭圆问题也可得……