王丽玲

[摘  要] 导数是研究函数与不等式问题的重要工具，也是高中数学的重点知识，在高考中备受命题人青睐. 通常函数与不等式、导数问题解析过程需要转化问题，构造函数，利用导数知识来分析函数性质，问题的解法虽较为多样，但导数始终是解此类题的关键知识. 文章围绕一道函数与不等式问题，开展解法探究，多解思考，并立足教学，提出相应的建议.

[关键词] 函数;导数;不等式;构造;分类讨论

[?]问题探究

问题再现：（2021年八省联考数学卷第22题）已知函数f（x）=ex-sinx-cosx，g（x）=ex+sinx+cosx.

（1）证明：当x>-时，f（x）≥0;

（2）若g（x）≥2+ax，求a.

问题解析：上述是一道函数与不等式压轴题，考查函数与不等式、导数的相关知识，问题所涉两问均可归为不等式成立问题，可利用导数来研究函数的性质. 常规思路是基于不等式构造函数，利用函数对应的导函数来研究其性质，逐步探究函数的值域，从而证明不等式或转化不等式问题.

（1）x的取值范围影响f（x），需要分别讨论x在

-，-

，

-，0

和[0，+∞）三个区间内的情形，具体如下.

①当x∈

-，-

时，f（x）=ex-sin

x+

>0;

②当x∈

-，0

时，f′（x）=ex-cosx+sinx，f′（0）=0，f″（x）=ex+sinx+cosx=ex+sin

x+

>0，则函数f′（x）在

-，0

上单调递增，则有f′（x）

-，0

上单调递减，则f（x）>f（0）=0;

③当x=0时，由函数的解析式可得f（0）=1-0-1=0，当x∈[0，+∞）时，构造函数H（x）=-sinx+x（x≥0），则H′（x）=-cosx+1≥0，故函数H（x）在区间[0，+∞）上单调递增，从而有H（x）≥H（0）=0，即-sinx≥ -x，则函数f（x）=ex-sinx-cosx≥ex-x-1. 令y=ex-x-1，对其求导可得y′=ex-1，当x≥0时，y′≥0，故y=ex-x-1在区间[0，+∞）上单调递增，所以函数的最小值y=e0-0-1=0，推理可得ex-x-1≥0，故函数f（x）=ex-sinx-cosx≥ex-x-1≥0.

综上可知，当x>-时，f（x）≥0.

（2）该问探究g（x）≥2+ax时a的取值，其中a为参数，可归为含参不等式恒成立问题，参数a的取值将影响到不等式的成立，常见的方法是分离参数法.

①当x=0时，g（0）=2，显然不等式g（x）≥2+ax时，有a∈R.

②当x>0时，g（x）≥2+ax等价于a≤，记F（x）=，对应导函数F′（x）……