包旭苗

[摘  要] 抛物线中的直线与圆的相切模型有着极高的应用价值，该模型是基于教材常规问题的提炼与总结，实现了圆锥曲线知识与隐圆特性的融合. 开展圆锥曲线探究，建议采用猜想验证、总结拓展的方式，让学生经历探究过程，自我形成新知. 文章以抛物线中的相切模型为例，开展探究教学.

[关键词] 结论;抛物线;直线;相切;模型

圆锥曲线的问题形式十分多样，深入探究可提炼出一些较为特殊的结论，合理应用结论则可以显著提升解题效率. 上述“结论提炼—总结验证—应用探究”的循环模式也是数学探究所极力倡导的，下面对抛物线问题中直线与圆的相切结论进行探究.

[?]引例问题

问题：已知抛物线C的解析式为y2=4x，焦点为F，斜率为k的直线过点F，与抛物线C相交于点A和B. 若点M（-1，1），且∠AMB=90°，则斜率k的值为________.

解析：根据题干条件绘制图1所示图像，设直线与抛物线的交点为A（x，y）和B（x，y），采用点差法可表示斜率k. 可知y

=4x1，

y

=4x2，整理可得y-y=4x1-4x2，所以k==. 取AB的中点为N（x，y），分别过点A和B作准线x=-1的垂线，设垂足分别为A和B. 因为∠AMB=90°，所以MN=AB=·（AF+BF）=（

AA+

BB），点N为AB的中点，则MN与x轴相平行. 又知点M（-1，1），则y=1，由中点坐标公式可得y+y=2，即k=2.

[?]猜想验证

上述问题为抛物线与直线的相交问题，其特殊之处有三点：一是直线过抛物线的焦点，二是点M位于抛物线的准线上，三是交点A，B与点M构成了直角三角形，即∠AMB=90°. 问题虽然探究直线的斜率，但引入隐形圆则可以挖掘图像的特殊之处.

1. 推理猜想

线段AB为抛物线的焦点弦，∠AMB=90°，由“圆的直径所对的圆周角为直角……