高贺清

[摘  要] 文章对一道解析几何探索性题目的解法，从同构式、曲线系、设点等不同角度进行了探究，并对问题进行了推广和引申.

[关鍵词] 解析几何;斜率;探索性问题

[?]试题呈现

题目：（2021年深圳市二模）在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，P是直线x=-2上的动点，过P作两条相异直线l和l，其中l与抛物线C：y2=4x交于A，B两点，l与C交于M，N两点，记l，l和直线OP的斜率分别为k，k和k.

（1）当P在x轴上，且A为PB中点时，求

k

.

（2）当AM为△PBN的中位线时，请问是否存在常数μ，使得+=μk？若存在，求出μ的值;若不存在，请说明理由.

分析：试题以直线与抛物线为载体，以其几何关系为背景，利用设而不求、方程思想等来解决问题，坐标法贯穿始终，主要考查直线与抛物线的位置关系及探索性问题，考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养及思辨能力. 虽说是学生非常熟知的探究性问题，且入口宽，但具有一定的灵活性，少了固有的套路，能真正考查学生临场应变能力，可以真实反映出学生对解析几何的思想、运算、翻译等基本技能的掌握程度.

[?]解法探究

（1）

k

=，答案从略.

（2）解法1：设P（-2，t），B

，y

，N

，y

，显然y≠y.

则k=，k=，k=-.

由AM为△PBN的中位线，知A

，

，M

，

.

因为A，B都在抛物线C上，所以

2

=4×①

2

=4×②

①-②得=，化简得到y+y=2t，即y=2t-y.

所以+=+=-===t=-2k.

故存在常数μ=-2，使得+=μk恒成立.

评注：此法类似“点差法”，以设点的坐标为突破口，回避了“联立方程组”这一处理直线和曲线位置关系的常规思路，另辟蹊径，大大简化了运算.

解法2：设P（-2，-2k），A（x，y），B（x，y），M（x，y），N（x，y）.

则k===，同理k=，所以+=.

因为AM为△PBN的中位线，所以A，M分别为PB，PN中点，所以2y=y-2k，2y=y-2k，两式相加得2（y+y）=（y+y）-4k①.

由MA∥NB，知（x-x）（y-y）=（y-y）（x-x），化简得y+y=y+y②.

由①②可得y+y=y+y=-4k，所以+=-2k.

故存在常数μ=-2，使得+=μk恒成立……