余春妹

[摘  要] 二次函数与几何是中考的考查重点，其中的相似三角形存在性问题尤为重要. 问题解析要关注其中的相似对应，把握相似三角形的判定定理，从函数与几何的关联视角切入，合理构建解题思路. 文章将深入探究函数背景中的相似三角形问题，结合实例问题进行探讨，突破难点并进行拓展探究，以飨读者.

[关键词] 二次函数;几何;相似;最值;分类讨论

问题综述

函数中因动点产生的相似三角形问题十分常见，通常以探究的形式综合构建，如求解图形相似时点的坐标，如三角形相似时边长大小或直线斜率等. 对于三角形相似时点的坐标问题，可先分析已知三角形的几何特征，然后根据相似对应关系进行分类讨论. 如若问题没有给出三角形的边长，则可以根据函数解析式以及直线与曲线的交点坐标来表示各边长，之后根据相似关系构建方程. 下面结合实例加以探究.

问题探究

问题：如图1所示，二次函数y=ax2+bx+2的图像与x轴相交于点A（-1，0），B（4，0），与y轴相交于点C.

（1）试求函数的表达式;

（2）点P为函数在第一象限内图像上的一点，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，连接PC.

①求线段PQ的最大值;

②如果以点P，C，Q为顶点的三角形与△CBO相似，试求点P的坐标.

思路分析：（1）点A和B为抛物线与x轴的交点，根据交点坐标可将抛物线设为y=a（x+1）（x-4），整理可得a=- ，即可求出函数的解析式.

（2）①点P为抛物线上的动点，PQ可视为是△PBC底边BC上的高，可设出点P的坐标，然后利用几何性质推导点Q的坐标，将PQ长表示为关于坐标参数的……