吴静君

[摘  要] 以抛物线为背景的综合题常作为压轴题在中考中出现，考题的结构特点及设问形式虽有不同，但深入探索可全面认识考题，掌握类型问题的突破策略. 文章将以两道与几何面积及三角函数相关的问题为例，分析问题特点，总结突破策略，并提出相应的教学建议.

[关键词] 函数;面积;三角函数;思想方法

类题呈现，思路突破

考题1  如图1所示，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）与x轴的交于点A（-4，0）和B（2，0），在y轴上有一点E（0，-2），连接AE，点D是第二象限内抛物线上的动点，回答下列问题.

（1）求抛物线的解析式;

（2）求△ADE面积的最大值及此时点D的坐标;

（3）若tan∠AED= ，求此时点D的坐标.

思路突破：（1）使用待定系数法，将点A和B代入解析式即可，可求得抛物线的解析式为y=- x2- x+6.

（2）求△ADE面积的最大值及点D坐标，可采用面积割补的方式，构建面积模型.

第一步：作图，构面积模型

过点D作y轴的垂线，设垂足为K，如图2所示，由面积割补可得S△ADE=S梯形DKOA+S△AOE-S△KED .

第二步——设点，推导线段长

设点Dm，- m2- m+6，则点K0，- m2- m+6，可推知KE=- m2- m+8，DK=-m，AO=4，OE=2.

第三步：代入，构建面积函数

结合面积公式可得S△ADE=S梯形DKOA+S△AOE-S△KED= ×（KD+AO）×OK+ ×AO×OE- ×KD×KE= ×（4-m）×- m2- m+6+4- ×（-m）×- m2- m+8=- m+ 2+ .

第四步：分析，求面积最值

由于S△ADE=- m+ 2+ ，分析可知当m=- 时，△ADE的面积最大，且最大面积为 ，此时点D的坐标为- ， .

（3）求tan∠AED= 时点D的坐标，需将其放在直角三角形中，利用边长比值求解.

第一步：作图，构建直角三角形

过点A作DE的垂线，设垂足为N，设DE与x轴的交点为F，如图3所示.

第二步：转化，提取线段条件

已知tan∠AED= ，则AN= ，NE=3 .

第三步：推导，推导关键点坐标

因为∠ANF=∠EOF=90°，∠AFN=∠EFO，则△AFN∽△EFO，由相似性质得 = ，又EF 2=OF 2+4，NF=3 -EF，则有 = ，解得OF=2，即F（-2，0）.  可求得直线EF的解析式为y= -x-2，联立y=- x2- x+6，y=-x-2， 又点……