一道涉及三角形面积的中考题的多种解法

2021-09-28徐新贤

数理化解题研究·初中版 2021年9期

关键词：抛物线

摘要：对于平面直角坐标系中任意三角形面积的计算，利用割补法进行巧妙、创造性的构造，通过图形形状的转换使得三角形面积的计算变得简捷、容易.文中的几种构造思路开阔了眼界，为传统解法注入了新的活力.

关键词：抛物线;三角形面积;割补法

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2021）26-0030-02

收稿日期：2021-06-15

作者简介：徐新贤（1962-），男，本科，中学高级教师，从事中学数学教学研究.[FQ）]

抛物线内接三角形的面积计算问题是中考中的常考题型，由于其综合性较强，给一些同学带来了一定的困惑.通常一道质量较高的考试题，其解法大都不会是单一的，其对优秀学生与普通学生的区分往往体现在对解题方法的选择上.而把握题目特点并寻求较简洁的解法对培养学生们发散性思维及模型归纳能力有一定帮助.本文以2017年湖北孝感市的中考压轴题第24题为例提出多种解法，以启发中考复习课堂高效复习的思路.例（简化版）在平面直角坐标系xOy中，规定：抛物线y=a（x-h）2+k的伴随直线为y=a（x-h）+k.如图1所示，顶点在第一象限的抛物线y=mx-12-4m与其伴随直线相交于点A、B（点A在点B的左侧），与x轴交于点C、D.如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线上的一个动点，△PBC的面积记为S，当S取得最大值27/4时，求m的值.

此题的解题思路是这样的：先求出点B、C的坐标，然后写出△PBC的面积表达式，从而得出m的值.

首先应该明确题目中的一个隐含条件，即图1给出的抛物线开口向下，意即m<0.（为了叙述方便，下面分五个步骤进行求解）

（1）求点B的坐标.

∵抛物线的解析式为y=m（x-1）2-4m，

∴其伴随直线方程为y=mx-1-4m=mx-5m，

联立以上两式得mx-1（x-2）=0，即得x=1或x=2，把x值代入抛物线的伴随直线方程得y=-4m或y=-3m，∴A1，-4m，B（2，-3m）.∵m<0，∴A、B两点均在第一象限内.

（2）求点C的坐标.

把y=0代入抛物线方程可得x-1=2，即x=-1或x=3，∴C-1，0，D（3，0）.

（3）画出△PBC.

先描出B、C两点，连接BC，然后在BC上方的抛物线上任意取一点P（x，m（x-1）2-4m），连接PB、PC得到△PBC，如图2所示.

（4）写出△PBC的面积表达式.

注意到此题的实质是求平面直角坐标系中任意三角形的面积，常用的方法是在原图形的基础上通过添加与坐标轴平行（垂直）的辅助线，构造出（我们常说的割补法）容易计算面积的规则几何图形，从而算出任意△PBC的面积.常见有以下几种处理方法.

方法1 补成直角梯形

如图2所示，过P、B、C三点作坐标轴的垂线，补成直角梯形CQEB，则

S△PBC=S梯形CQEB-S△CQP-S△PEB=12（yP+yP-yB）xB-xC-12yPxP-xC

-12xB-xP（yP-yB）

=3m2x2-x-2=3m2（x-12）2-27m8

方法2 补成矩形

如图3所示，过P、B、C三点作坐标轴的垂线，补成矩形CQEF，

则

S△PBC=S矩形CQEF-S△CQP-S△PEB-S△CBF

=3m2x2-x-2

方法3 补、割成两个三角形（a）如图4所示，先过点B作x轴的垂线BF，补成四边形CPBF;再连接P、F把四边形割成两个三角形△CPF和△PBF，则

S△PBC=S四边形CPBF-S△CBF

=S△CPF+S△PBF-S△CBF

=3m2x2-x-2

方法4 补、割成两个三角形（b）

如图5所示，先过点P作x轴的垂线PE，然后连接BE补成四边形CPBE;则线段PE把四边形割成两个三角形△CPE和△PBE，

则

S△PBC=S四边形CPBE-S△CBE=S△CPE+S△PBE-S△CBE

=3m2x2-x-2

方法5 補、割成一个直角三角形和一个直角梯形

如图6所示，先过点B作x轴的垂线BF，补成四边形CPBF;再过点P作x轴的垂线PE，就把四边形割成一个直角三角形△CPE和一个直角梯形PBFE，

则

S△PBC=S四边形CPBF-S△CBF=S△CPE+S梯形PBFE-S△CBF

=3m2x2-x-2

方法6 过点P割成两个三角形

如图7所示，过点P作x轴的垂线交直线CB于点Q，则线段PQ把△PBC割成两个小三角形△CPQ和△PBQ，则

S△PBC=S△CPQ+S△PBQ

=12（yP-yQ）xP-xC+12（yP-yQ）xB-xP

=12（yP-yQ）xB-xC

这就是我们常说的“水平宽、铅垂高”法（是参考答案），此方法需要求出点Q的纵坐标.

设直线CB的解析式为y=kx+b，∵B（2，-3m），C（-1，0），∴2k+b=-3m-k+b=0，∴k=-mb=-m，∴直线CB的解析式为y=-mx-m，如图7所示，∵P（x，m（x-1）2-4m），而点Q与点P的横坐标相同，∴Q（x，-mx-m），∴yP-yQ=m（x-1）2-4m+mx+m=m（x2-x-2），∴S△PBC=12（yP-yQ）xB-xC=3m2x2-x-2）.

方法7 过点P及直线CB的延长线构造成一个大三角形

如图8所示，过点P作x轴的平行线与直线CB的延长线交于点Q，构造成一个大△CPQ，

则

S△PBC=S△CPQ-S△PQB

=12xQ-xPyP-12xQ-xP（yP-yB）

=12xQ-xPyB

此方法需要求出点Q的横坐标.

易得直线CB的解析式为y=-mx-m，

如图8所示，

∵P（x，m（x-1）2-4m），而点Q与点P的纵坐标相同，∴Q（xQ，m（x-1）2-4m），

把点Q的纵坐标值代入直线CB的解析式，可得xQ=-x2+2x+2，

∴xQ-xP=-x2+x+2，