徐勇

摘  要：数形结合是处理直线与圆问题的核心思想. 求解过程中代数方法烦琐或遇阻时转而从形的角度思考，在几何图形中深究几何性质，明晰几何关系后指挥代数运算，常能优化运算路径、简化运算过程.

关键词：直线与圆;数形结合;数学探究;思维导图

几何的优点是直观形象易懂，缺点是灵活多变不易把握;代数的优点是有很多现成的方法可以让学生按部就班地解决问题，缺点是烦琐，遇到不熟悉的问题时可能一筹莫展. 解析几何的本质是用代数方法解决几何问题，高中生在处理解析几何问题时往往重视代数法，而忽视了平面几何基础知识，进而陷入烦琐的运算困境，甚至半途而废.

一、典例剖析

1. 解析几何与向量

例1  在平面直角坐标系[xOy]中，[AB]是圆[O：x2+][y2=1]的直径，且点[A]在第一象限，圆[O1： x-a2+y2=r2][a>0]与圆[O]外离，线段[AO1]与圆[O1]交于点[M]，线段[BM]与圆[O]交于点[N]，且[OM+O1N=0]，则[a]的取值范圍为      .

笔者选用此题作为每日一题让学生求解，批改后发现问题严重，不仅结果不对，而且学生的作图与思考方式也值得商榷. 向量集代数与几何于一身，既有几何属性，又有代数属性. 解题时并非一定要用坐标化的方法，而应善于运用向量数形兼备的特点，必要时思其形，运用几何性质简化代数运算.

（1）图形失真，遮蔽有效信息.

学生画出的草图失真，如图1，不能对条件“[OM+][O1N=0]”进行有效诠释，不能直观看出[OM]与[O1N]平行. 画图太随意，没有连接[ON，] 没能发现四边形[OMO1N]是平行四边形，没有发现定值，即[O1M=1]. 平行四边形看……