曹广福

摘要：不管高考怎么命题，数学教学仅靠“刷题”和“套路”都是不行的，必须认真思考如何真正培养学生的数学思维能力。要培养学生的思维能力，关键不是呈现解题步骤，而是讲清楚并让学生体会到解题思路。为此，数学教学要传授数学思想，努力达成“应试”与“素质”的平衡。

关键词：新高考;数学教学;思维能力;解题思路;数学思想

一、“刷题”和“套路”不行了：从“八省联考”数学卷说起

2021年的“八省聯考”数学卷让众多学子铩羽而归，也让很多教师感到不适应——靠“刷题”和“套路”似乎不能解决问题了。比如，这套试卷的压轴题：

已知函数f（x）=ex-sin x-cos x，g（x）=ex+sin x+cos x。

（1）证明：当x>-5π4时，f（x）≥0;

（2）若g（x）≥2+ax，求a。

很多人觉得这道题很难，尤其是第（2）小题。同时，也有不少人给出了这道题的多种正确解答，但是，这些解答方法如同雾里看花，解题者是如何想到的？似乎尚没有一个使人感到逻辑自然的解答。也就是说，解题者没有将解题思路讲清楚，我们很难从解答中看到清晰的解题思路，更不要说它所体现的通性通法或思想方法了。

那么，这道题真的很难吗？非也！找到合适的思路，真是一点儿也不难。

第（1）小题是平常题目，姑且按下不表。对于第（2）小题，首先按顺序思考如下3个问题：

问题1：这是一个什么样的问题？

这是对题目的辨析，不搞清楚它，就会感到无从下手。答案很简单：一个固定函数的图像被一些直线从下方“支撑”住了。

问题2：这些直线是些什么直线？

这仍是对题目的辨析。直线y=2+ax ，过一个定点（0，2），换言之，这是过点（0，2）的一个直线束。

问题3：需要解决什么问题？

求出所有能“支撑”住函数y=ex+sin x+cos x图像的直线的斜率a的范围。

解决了这3个问题，第（2）小题的辨析过程就完成了。但要彻底解决第（2）小题，还需要做进一步的分析。因为所有直线都与y轴交于一点，我们自然应该弄清楚第4个问题：

问题4：所有直线都过点（0，2），那么，函数的图像与y轴有没有交点？交点是什么？

这个问题并不难回答：g（x）的图像与y轴交于点（0，2）。因此，直线束与函数图像有一个交点，即点（0，2）。

接下来的第5个问题很自然地就产生了。

问题5：直线y=2+ax如何才能“支撑”住g（x）的图像？

显然，直线如果穿过曲线，则不可能成为曲线的“支撑”;直线如果与曲线交于另外一点，除非在那一点与曲线相切，否则也不可能成为“支撑”。

有了这些分析，估计所有熟悉函数图像的人都清楚“支撑”函数图像的直线应该是什么样的直线了。

我们可以做一个“大胆猜测”：只在一种情况下，直线才可能“支撑”住函数的图像，这就是：直线在点（0，2）处与函数的图像相切，即a=g′（0）=2。

这个猜测合情合理，虽然它不能作为正式的证明，但是它无疑给了我们证明的基本思路。接下来的事情自然便是“小心求证”了。

有了上述一系列的分析、思考，是不是有一种拨云见日的感觉？

二、“刷题”和“套路”之外：解题能力的核心是思维能力

很多一线教师喜欢寻找“套路”，即“分类”;很多参考资料都在进行各种各样的“分类”。“分类”有没有用？可以肯定地说：有用。原因是，面对高考卷那么大的题量，不具备一定的熟练度，没有一定的“套路”，很难应付。但“套路”的作用终究是有限的，题目千变万化，永远会有你没有见过的“套路”，尤其是面对素养立意的新高考。所以，“套路”之外，我们还需要别的东西。这个东西不仅对应试大有裨益，对于一个人未来的人生也是十分重要的，它就是人们常常挂在嘴边，却看不见、摸不着的“思维能力”。这是数学素养的根本，包括数学直觉与数学思辨。

善于解题本身就是一种能力，这一点不容置疑。不同的人掌握解题方法的途径有所不同。靠“刷题”和“套路”积累经验、归纳题型，可以有效地提高解题速度。因此，面对大题量的试卷，适当的“刷题”和“套路”是必不可少的。但是，一味地依赖“刷题”和“套路”，会带来两方面的问题：其一，过量的“刷题”容易使人产生疲劳，久而久之就会把本来充满直觉和思辨的数学变成机械化的技能训练，只会几个“练熟了的动作”;其二，仅寻找“套路”容易限制思路，久而久之就会削弱思维的灵活性，无法应对题目的变化。

也就是说，靠经验和题型解题与靠直觉和思辨解题是两种完全不同的解题方式，各有优缺点：前者可以有效提高解题速度，后者可以应付从未见过的题型，两者缺一不可。一线教师切莫被误导，从一个极端走向另一个极端。

事实上，不管高考怎么命题，仅靠“刷题”和“套路”都是不行的。作为教师，必须“两条腿走路”：一方面，指导学生适当地“刷题”，总结“套路”;另一方面，认真思考如何真正培养学生的数学思维能力。这才是数学教学的正道。

三、培养思维能力：思路比技巧更重要

“道胜于术，无招胜有招。”解数学题也是这个道理。一个好的解题方案不应该以玩技巧为重点——虽然技巧必不可少，但更重要的在于思路。这个思路应该可以重复，具有一般性，即属于通性通法，体现思想方法。如果把解题过程看作一部运行的机器的话，技巧就是机器的润滑剂，思路才是发动机。在科学实验中，偶然性结果不能当成真理，只有经过重复实验可以再现的结果才能称得上真理。可以重复、具有一般性的思路可以帮助解题者以不变应万变：任它题型千变万化，我自有应付之策。

当然，要培养学生的思维能力，关键不是呈现解题步骤，而是讲清楚并让学生体会到解题思路。甚至，很多时候，题目无所谓好坏，不知所云的解答才是更糟糕的，它会把学生引向歧路——说到底，是把一个充满直觉和思辨的问题变成了纯粹的玩技巧的问题。

再回头去看上述“八省联考”数学卷的函数与导数压轴题，相信大家都能理解上文给出的5个思考问题形成的逻辑链条，也比较容易从中找到解题的基本思路——它的每一步都是基于自然的思考。正所谓“道法自然”。

我们不妨用类似的方法来解决下面这道2021年广东省广州市一模数学卷压轴题：

已知函数f（x）=xln x-ax2+x（a∈R）。

（1）证明：曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l恒过定点;

（2）若f（x）有两个零点x1、x2，且x2>2x1，证明：x21+x22>4e。

对于第（2）小题，不妨也按顺序思考如下5个问题：

问题1：如果函数有两个零点x1与x2，这两个点满足什么条件？

问题2：如何寻找x1与x2的关系？

问题3：函数的两个零点满足条件x2>2x1，如果将x2用2x1代替，ln x1+1x1与ln 2x1+12x1应该是什么关系？

问题4：既然有ln x1+1x1=ln x2+1x2，x1与x2有可能位于x=1的同一侧吗？

问题5：回到问题3，ln x1+1x1与ln 2x1+12x1应该是什么关系？

这里，只要想清楚了问题2，对问题3中的两个代数式就一点儿也不会感到奇怪。而问题4则是对函数图像及特殊点与图像位置关系的分析。可见，解决函数问题离不开对函数几何特征的分析。

上述5个问题弄清楚了，这道题便迎刃而解。

四、传授数学思想：努力达成“应试”与“素质”的平衡

检验学生对某类知识的掌握程度，方法主要有两个：一是考试，二是实践。实践环节很难在学校学习阶段完成：虽然可以通过课外实践、创新大赛等形式在一定程度上有所体验，但那只是对部分学生的局部性检验，不具备一般性。根本的实践环节需要在学生走向社会、参与实际工作之后完成。因此，作为高校选拔学生的方式，考试无疑是目前最重要、最公平的途径。从这个意义上说，离开应试谈素质教育是没有意义的。作为数学教学“指挥棒”的数学高考，命题应该遵循什么原则？充分体现数学思想。2021年“八省联考”数学卷的压轴题就充分体现了这样的原则。

那么，数学课堂教学如何适应新高考的要求？根本方法只有一个：回归数学教育的本质。数学教育的本质是什么？传授数学思想，培养数学直觉和思辨能力。有效路径是什么？有限的“再创造”，让枯燥的数学知识回归为解决问题过程中有趣的思考，让学生深刻领会数学知识背后的数学思想，最终达到将数学思想转换成解题方法的目的。为此，教学中需要重视以下两个环节。（1）审题。审题具有两个基本功能，一是搞清楚题目在说什么，清晰理解题目的条件与结论;二是对问题有一个初步的感知，明确是什么类型的问题。在上述“八省联考”数学卷压轴题的思考过程中，问题1到问题3都属于审题过程中的思辨。（2）解题。在上述“八省联考”数学卷压轴题的思考过程中，问题4和问题5则是解题过程中的思辨。正是通过这样的思辨，才有了后面的直觉猜测。

而且，这样思辨的过程，充分体现了微积分中的局部化思想，用微积分的常用术语来描述，即微分近似公式。然而，机械地记忆微分近似公式（切线代替曲线）是远远不够的，需要对这一公式的本质有深刻的理解，即清楚地了解函数与一阶近似式的误差是一個高阶无穷小量。换言之，这个误差与自变量的增量相比可以忽略不计。在理解问题本质的前提下，需要寻找运用初等方法解决问题的途径。

改革并非否定传统的教学，而是纠正过去的偏差。数学思想需要传授，数学技巧也必不可少，关键在于二者如何兼顾。为此，我们还需要做到：（1）概念课不可以一带而过，因为没有对概念内涵的深刻理解，就无法面对相对复杂尤其是模棱两可的问题;（2）原理课一定要阐述清楚原理，让学生了解原理的来龙去脉（为了解决什么问题）以及蕴含的深刻思想，否则，学生在面对新的问题时将一筹莫展，不知道如何运用已经具备的数学工具。

五、写在最后

虽然笔者不反对教师在课堂教学中，帮助学生总结解决常见问题的一般方法并进行归纳分类，这在基本功训练过程中是行之有效的，对于应付大题量的考试也大有助益;但这不是数学教育的根本，数学教育的本质是传授数学思想，教学生学会思考。

面对新高考，用一个教育心理学家常说的词来概括，学生更需要“元认知”能力，他们需要知道怎么想到用某个方法来解决某个问题。

思维能力的培养不是一句改革口号，也不是专家写文章才需要的专业术语，它需要教师在课堂教学中不断摸索，真正让学生在面对各种问题的时候，做到“无招胜有招”。