董平 张玉峰

摘 要：概念整合课程是发展学生核心素养的重要支撑.层层递进的课程目标、针对性强的课程内容、有所裨益的教学建议和能够有效执行的评价建议是整合课程的四个重要方面.以变化量与变化率的概念整合为例，讨论了基于中学物理的概念教学内容整合的课程设计.

关键词：概念整合课程;变化量;变化率;学习诊断

中图分类号：G633.7     文獻标识码：B     文章编号：1008-4134（2021）13-0013-04

作者简介：董平（1982-），女，甘肃陇西人，博士，中学高级教师，研究方向：中学物理学科教学;

张玉峰（1973-），男，山东泰安人，博士，北京市特级教师，研究方向：物理学习与评价.

概念是人类对客观世界的一种本质的认识和科学的抽象，是人类认识从感性向理性过渡的桥梁.中学生正处于建立理性概念的阶段，概念的建立是学习过程中的一个重要环节.中学阶段物理学的概念数量多，涉及的具体知识内容也比较庞大，学习了许多概念之后，学生还很难在头脑中形成全面的概念体系，也就难以深层次理解概念及概念之间的关联.学习诊断的结果显示：部分学生缺乏从概念建构中萃取描述和解释自然现象的方式，缺乏将新建构的概念与原有知识建立实质性联系等问题.因此，基于中学物理课程标准的内容要求的概念整合类课程显得尤为重要.本文以“变化量与变化率”为例，来说明概念整合课程的设计.

设计一个完整的课程，首先我们需要明确课程目标，根据课程目标设计课程内容，再根据课程内容和学生实际情况提出教学建议，最后给出合理的评价建议.

1 课程目标

课程目标应根据教学的实际情况进行设计，针对不同的学生有所不同，在此给出相对比较全面的、层层递进的目标，在实际执行时可酌情增减.

具体目标为：

（1）能够体会变化量与变化率的概念的建立过程;

（2）能够系统地、深入地理解变化量与变化率的概念;

（3）能够分析清楚变化量与变化率与其他物理量之间的对应关系，建立物理量之间的关联网络;

（4）能够在实际情境中灵活运用变化量、变化率及其相关的内容;

（5）掌握策略性的路径与方法来分析与变化量、变化率有关的问题，且处理其他问题时能够将一些策略与方法进行迁移.

2 课程内容

在学习诊断中，有这样一个情境：车轮和电风扇的扇叶绕转轴运动时，可以用Δθ表示在一段时间Δt内转动的角度，用转动的角度Δθ与其经过的时间Δt之比定义角速度ω，即ω=ΔθΔt，用一段时间内角速度的变化率ΔωΔt来描述角速度ω的变化快慢，这个变化率称作角加速度β，即β=ΔωΔt.诊断中学生对于角速度和角加速度概念的理解、概念之间的关联出现了一些问题.角速度ω、角加速度β包含着变化量与变化率的概念，在高中物理范围内，还有很多物理量涉及到变化量与变化率的问题，对这些问题进行整合颇有价值.

第一层目标是体会变化量与变化率的概念的建立过程.要让学生体会这个大概念的建立过程，可以从为什么要引入变化量与变化率谈起.

2.1 为什么要引入变化量与变化率

在客观的物理世界中，伴随着时间的推演，物体占据的空间位置可能不同，物体运动的情况可能不同，物体具有的能量可能不同……这意味着描述物体方方面面的物理量可能发生变化.在物理量发生变化的过程中，我们想要描述物理量的变化，就需要引入变化量.若我们不仅关注物理量的变化，还想研究物理量变化的快慢，就需要引入变化率.

第二层目标是能够系统地、深入地理解变化量与变化率的概念.系统地理解概念，可以用一个个特例来总结归纳出概念的共性，也可以用一个统一的、普适的定义来概括这个概念，再用一些特例来帮助理解这个概念.深入地理解概念，就要求充分挖掘概念的内涵和外延.为了这个目标，我们设置了以下两个模块：（1）什么是变化量（或变化率），这个模块主要是分析变化量（变化率）这个大概念，从普适的定义出发，再辅以具体的情境和具体物理量的应用，来帮助学生系统地理解概念;（2）对变化量（或变化率）的再认识，这个模块主要是深入理解概念.

2.2 什么是变化量与变化率

2.2.1 什么是变化量

物理量发生变化必然对应着一个物理过程，这个过程不论长短，都有初状态和末状态.我们把某个物理量D的初状态记为D1，末状态记为D2，那么物理量D的变化量定义为ΔD=D2-D1.从定义可以看出，物理量的变化量，描述的是物理量状态之间的差异.

若物理量D为标量，计算ΔD时，直接用D2的数值减去D1的数值，变化量为正表示末状态的物理量D2比初状态的物理量D1大;变化量为负则表示末状态的物理量D2比初状态的物理量D1小.

若物理量D为矢量，计算ΔD时，应采用矢量相减的法则.如图1所示，采用由O点指向A点的有向线段来表示矢量D1，采用由O点指向B点的有向线段来表示矢量D2，则变化量ΔD即为由A点指向B点的有向线段，变化量ΔD既有大小也有方向，为一个矢量.

特殊地，当矢量D1、D2的方向在一条直线上时，有以下两种情况：

①若矢量D1、D2方向相同，我们可以直接用矢量D2的大小减去矢量D1的大小，变化量为正表示变化量的方向与D1、D2的方向相同，如图2所示;变化量为负则表示变化量的方向与D1、D2的方向相反，如图3所示.

②若矢量D1、D2方向相反，我们可以直接用矢量D2的大小加上矢量D1的大小进行计算，变化量ΔD的大小等于D1、D2的大小直接相加，方向与D2的方向相同，如图4所示.

2.2.2 对变化量的再认识

变化量描述了在一个过程中，物理量的末状态与初状态之间的差异，矢量的变化量就包括大小的差异和方向的差异，因此，我们可以以图1中矢量D1的起始点O点为圆心，以矢量D1的长度OA为半径作一段圆弧，圆弧与线段OB交于C点，如图5所示.矢量D1和矢量D2大小的差异为线段CB的长度，它们方向的差异体现在线段AC上.因此，变化量ΔD可以看作线段AC代表的矢量与线段CB代表的矢量之和.

标量的变化量则只需考虑其大小的差异即可.

2.2.3 什么是变化率

物理量发生变化时，其末状态和初状态之间的时间间隔记为Δt，定义时间变化率k=ΔDΔt，k越大，物理量D随时间t的变化率就越大，物理量就变化得越快.很多物理过程还伴随着空间位置的变化（即经过一段位移，高中阶段位置限定在一维坐标上），对应物理过程经过的位移记为Δx，就可以定义空间变化率k′=ΔDΔx，k′越大，物理量D随位置x的变化率就越大.

2.2.4 对变化率的再认识

变化率除了可以用定义式来表示外，还可以用物理图像来分析研究.如图6所示，物理量D随时间t变化的关系为图中的曲线，t1时刻物理量为D1，对应的状态为A状态，t2时刻物理量为D2，对应的状态为B状态，从A状态到B状态的过程中，物理量的变化量ΔD=D2-D1，持续的时间Δt=t2-t1，物理量D随时间的变化率k=ΔDΔt=D2-D1t2-t1为图像上A、B两点连线的斜率.这个斜率为曲线的割线的斜率，表示由状态A到状态B的过程中物理量随时间的平均变化率.当物理过程持续的时间Δt极短时，状态B趋近于状态A，A、B两点连线的割线的斜率趋近于A点处曲线切线的斜率，平均变化率趋于A点处的瞬时变化率.类似地，可分析物理量随位移的变化率在物理图像上的意义.

第三层目标是能够分析清楚变化量与变化率与其他物理量之间的对应关系，建立物理量之间的关联网络.这个目标要求对概念与其它概念之间的关联关系理解清晰，需要对实际概念之间的关联关系进行分析和研究.以下呈现这一部分的课程设计.

2.3 变化量或变化率与其它物理量的对应关系

当我们用变化量来描述物理量的变化、用变化率来描述物理量变化的快慢时，这种描述是表观的，是对现象的物理概括.于是我们进一步思考，在表观之下，内在的、深入的、机理性的本质是什么？

位置的变化量Δx是状态量速度v在时间Δt上的累积效果，速度的变化量Δv是状态量加速度a在时间Δt上的累积效果，动量的变化量Δp是状态量合外力F在时间Δt上的累积效果，动能的变化量ΔEk是状态量合外力F在空间Δx上的累积效果.因此，我们可以从其它物理量入手，来分析物理量变化量的情况.比如要分析电势能的变化量ΔEp，我们可以从电场力做功的角度入手，要研究机械能的变化量ΔE，可以从除了重力和弹簧弹力以外的其它力做功的角度入手.

一个自由下落的物体，其动能的增加量为ΔEk=Ek2-Ek1（Ek1、Ek2分别指初态和末态时的动能），重力势能的减少量为-ΔEp=Ep1-Ep2（Ep1、Ep2分别指初态和末态时的重力势能），根据动能定理和功能关系，可得等量关系ΔEk=-ΔEp，通过数学变形我们发现，存在等式Ek1+Ep1= Ek2+Ep2，这说明在某些物理量变化的过程中，存在着不变的量.这为我们探究客观世界的规律提供了一个很好的策略与路径.我们在追溯变化量时，可能发现在变化过程中的某些不变量;反之我们在分析一些不变的物理量时，也可能发现其中某些变化量的规律.这种由变化推演到不变，或由不变推演到变化的思辨过程，正是我们探索客观世界规律的过程中所需要的两种很好的思维路径.

有些情况下，考虑变化率与其它物理量的对应关系时，可以将变化量作为结果，来追溯产生变化量的原因.例如动能随空间位置的变化率ΔEkΔx等于合外力F的大小，动量随时间的变化率ΔpΔt也等于合外力F，合外力F既决定着动能的空间变化率，又决定着动量的时间变化率，是一个重要的物理量.我们还可以将变化量或变化率作为原因，来考虑变化量或变化率导致的结果.例如，磁通量的变化ΔΦ是产生感应电动势的原因，那么磁通量的变化率ΔΦΔt是否对应着感应电动势ε的大小呢？首先将磁通量的变化分为磁感应强度B的变化或线圈面积S的变化，进一步研究发现，S一定时，ΔBΔt越大，ΔΦΔt就越大，感应电动势ε就越大;B一定时，ΔSΔt越大，ΔΦΔt就越大，感应电动势ε就越大.这就是电磁感应的两种情况.在这个例子中，磁通量的变化导致了感应电动势的产生，磁通量的变化率决定了感应电动势的大小.在具体情境中，将变化率作为结果来分析产生变化率的原因，或将变化率作为原因来研究变化率导致的结果，对于理解变化率的大小很有帮助，而追本溯源这一思维过程，也正是物理学逻辑性的体现.

第四層目标为能够在实际情境中灵活运用变化量、变化率及其相关的内容，因此设计了下面的环节.

2.4 变化量及变化率的应用

如图7所示，一试探电荷+q在电场中仅受静电力作用，做初速度为零的直线运动.取该直线为x轴，起始点O为坐标原点，某条电场线沿+x方向.在试探电荷q由O点运动至A点的过程中，其动能Ek、电势能EP、总能量E与位移x的关系可用图像表示.取A点为零势能参考点.若图7中的电场为点电荷+Q产生的电场，图8中合理的是

首先应判断场源电荷的位置.由于场源电荷、试探电荷均为正电荷，试探电荷由静止释放后，由O点运动至A点，因此场源电荷位于O点的左侧，那么试探电荷O点运动至A点的过程中，受到的静电力逐渐减小.考虑到图像上某一点处切线的斜率可以反映物理量的变化率的情况，可知Ek-x图像应为一条斜率逐渐减小但Ek逐渐增大的图线，A、B选项均不对.Ep-x图像应为一条斜率的绝对值逐渐减小且Ep逐渐减小的图线，故C选项正确.总能量守恒，故D选项错误.因此正确选项为C.

第五层目标为掌握策略性的路径与方法来分析与变化量、变化率有关的问题，且处理其他问题时能够将一些策略与方法进行迁移.这是最高的目标，是对上述内容的反思与提升.

2.5 反思与提升

有了以上对于变化量和变化率的认识和理解，我们再来看学习诊断中一个典型的问题.

问题：若硬杆从静止开始绕转轴O匀加速转动，转动的角加速度为β，经过时间t，求硬杆转过的角度θ.

分析：该问题指向同学们对于概念与规律的综合分析与迁移应用.角加速度并没有直接与转过的角度相联系，而是通过角速度相联系.Δω=βΔt，而Δθ=ωΔt，这就存在一个困难，在这个问题中角速度ω是一个变量，怎样处理它的累积效果呢？我们回忆一下，在匀变速直线运动中，由于Δv=aΔt，加速度a一定时，我们可以画出物体的v-t图像是一条直线，由于Δx=vΔt，v-t图像下包围的面积就是这段时间内物体的位移了.我们完全可以迁移这个策略，由于Δω=βΔt，角加速度β一定时，我们可以画出物体的ω-t图像是一条直线，由于Δθ=ωΔt，ω-t图像下包围的面积就是这段时间内物体转过的角度了.实际上这个角度也叫“角位移”.

反思：变化率不是定值时，怎样计算其在时间上或空间上的累积效果？

提升：上题给出了具体的示范，可以利用图像来处理这类问题，图像下包围的面积就是累积效果.这样处理时，其实是将图像下包围的面积切分成一个个非常非常窄的小矩形条，每个小矩形条的面积都等于它的长乘以宽，宽就是我们划分出的非常小的时间范围，长就是在这个非常小的时间范围内，被当作常量的物理量.然后将这些小矩形条的面积相加，得到总的累积效果.这个策略提示我们，在处理变化率为变量的问题时，可以在一段非常小的时间内，或一段非常短的位移内，将变量当作常量来处理，然后将很多很多这样的小段相累加，得到最终累加的效果.这蕴含着“化变为恒”的思想，正是在这样的思想的指引下，伟大的科学巨匠牛顿创立了微积分的初步算法，在科学史上留下了浓墨重彩的一笔.

3 教学建议

根据以上课程内容和学生的实际情况，提出以下教学建议：

（1）对于程度较好的学生，建议采用“总—分—总”的模式进行教学.先引导学生总结变化量与变化率的概念，引导学生思考变化量与变化率与其它物理量的关系，再让学生举例说明高中物理涉及到的变化量与变化率是怎样体现概念性与规律性的，最后引导学生思考与总结，提升学生的整体理解和逻辑把握.

（2）对于程度中等的学生，建议采用“分—总”的模式进行教学.先引导学生说出一些具体的变化量与变化率，逐层深入地分析这些变化量与变化率本身的特点，再进行归纳总结它们的共性，最后进行拓展延伸，用本文的逻辑链条将学生零散的知识点串联起来.

（3）对于程度较差的学生，建议采用“分—分—总”的模式进行教学.先给出一些具体的变化量与变化率的示范，逐个分析具体的变化量与变化率的概念，再引导学生说出一些具体的变化量与变化率，逐层深入地分析这些变化量与变化率本身的特点，最后进行归纳总结它们的共性，理清学生的思路，引领学生掌握部分策略与路径.

4 评价建议

評价学生关于整合课程的接受程度和学习效果，可以采用多种方法.本文从落实课程目标的角度，给出以下建议：

（1）通过让学生口述概念、辨析概念的正误或举例说明概念的建立过程等方式，评价学生第一层学习目标是否达到，即对于概念的建立过程是否清晰.

（2）设计概念辨析类问题，或者让学生分类列举具体概念，来确定学生第二层学习目标是否达到，即是否系统地、深入地理解概念.

（3）设置一系列相关的问题串，来检验学生是否能够分析清楚概念之间的对应关系，是否建立物理量之间的关联网络.

（4）创设问题情境，通过组织学生分析、讨论、拓展研究等方法，判断学生能否在实际情境中灵活运用概念及其相关的内容.

（5）让学生进行归纳总结，或让学生进行问题迁移，来引导学生分析问题时掌握策略性的路径与方法并将一些策略与方法进行迁移.

（收稿日期：2021-05-07）