栾功

[摘   要]高考试题凝聚了命题专家的智慧，深入挖掘高考题目的教学价值，对发展学生思维，提高学生的解题能力有实际意义.

[关键词]高考;题目;价值;挖掘;思维

[中图分类号]    G633.6        [文獻标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）20-0001-04

高三复习课中经常遇到高考真题的讲评，那么如何深入挖掘这些题目的价值，深度发展学生数学思维呢？笔者以2019年高考全国Ⅲ卷理科第20题的探究为例，和一线教师交流探讨.

一、真题溯源

题目：已知函数[f（x）=2x3-ax2+b].

（1）讨论[f（x）]的单调性;

（2）是否存在[a]，[b]，使得[f（x）]在区间[0，1]的最小值为[-1]且最大值为1？若存在，求出[a]，[b]的所有值;若不存在，说明理由.

题源1： 湘教版普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2第45页习题8第3题：

设函数[fx=ax3-3ax2+ba>0]在区间[1， 4]上有最大值[23]，最小值[3]，求[a]，[b]的值.

题源2： 高等学校教材《数学分析讲义（第五版上册）》第285页：

若函数[fx]在闭区间[a， b]连续，在开区间[a， b]内可导，且[x1]，[x2]，…，[xn]是函数[fx]在开区间[a，b]内的所有驻点，则函数值[（[n+2]）个数][fa]，[fx1]，[fx2]，…，[fxn]，[fb]中最小者就是函数[fx]的最小值，最大者就是函数[fx]的最大值.由此可见，求可导函数的最值就归结为求可导函数在驻点及区间端点函数值中的最值.

评注：第（1）问考查含参多项式函数的单调性.因为导函数含有参数，所以需要对参数分类讨论，这对考生严密的逻辑推理能力和掌握的数学思想方法都有一定的要求.第（2）问以更为开放的形式呈现，讨论闭区间上的最值问题，考生既可以借助第（1）问所得函数[fx]的单调性，结合题设解决问题，也可以根据函数[fx]在闭区间[0，1]上的特征和最值的求解原理……