湖南 王经天 刘湘中

在教师的教学过程中，不注重“功能关系”和“能量守恒定律”的辨析和对学生的规范要求，导致学生在利用“功能关系”或“能量守恒定律”建立方程时理论依据不清，列出的方程杂乱无章，教师在批改试卷或作业的过程中需对学生建立的方程进行调整才能判断学生建立的功能关系或能量守恒的方程是否正确，导致现状的原因是学生无法分清“功能关系”和“能量守恒定律”，本文通过区别功能关系和能量守恒定律，让学生在板块问题和弹簧问题的体验中找到解决能量问题的基石，让板块和弹簧问题不再孤立。

一、理解功和能量变化的关系

1.理解功和能变化的因果关系

功是能量转化的原因——“因”；能量转化是力做功的结果——“果”。

2.理解力所做的功和能量变化的定量关系

①在概念上理解功和能的定量关系：功是能量转化的量度——某个力做了多少功就会有多少能量从一种形式转化为其他形式。

②借助功能关系示意图在数值上理解功和能量间的定量关系，力所做的功既等于减少的能量又等于增加的能量。

③借助功能关系示意图理解系统中减少的能量和增加的能量间的关系，对于某一能量守恒的系统，系统中减少的能量和增加的能量相等。

图1

3.“寻因究果”理解功能关系式

图2

学生初学之时，在用功能关系式解题时必须让学生养成良好的书写习惯，方程的左边是力所做的功，方程的右边是能量或能量的变化，这样书写方程才符合功是“因”、能量变化是“果”的逻辑关系。对于考查功能关系的选择题通常采用“声东击西”的策略才能有的放矢。

( )

【答案】BD

【解析】根据功能关系可知，能量的变化是“果”，力做的功才是能量变化的“因”。处理这类问题的方法是“声东击西”，即在判断能量的变化时，先放弃“果”的判断，转而先求解能量变化的“因”，即求出引起能量变化的力所做的功。

“因”依据“果”A.合力做的功为WF合=23mghWF合=ΔEk动能增加了23mgh,所以A错误B.电场力的做功为WF电=-13mghWF电=-ΔEp电电势能增加了13mgh,所以B正确C.重力做的功为WG=mghWG=-ΔEp重重力势能减少了mgh,所以C错误D.除重力以外的力做的功为WF电=-13mghW除G、F弹=ΔE机械能减少了13mgh,所以D正确

【点评】“声东击西”——先“因”后“果”，水到渠成。

二、理解能量守恒定律

能量守恒定律的表达式之一：E减=E增(或E增=E减)。

在利用能量守恒定律解题时，分析所选的系统中减少的能量和增加的能量，把减少的能量放在方程的一边，把增加的能量放在方程的另一边，所建立的方程即为能量守恒定律的方程。

图3

【点评】在方程的左边是弹簧和物体A、B整体增加的能量，方程的右边是弹簧和物体A、B整体减少的能量，因此建立方程的理论依据是能量守恒定律。

三、区别功能关系和能量守恒定律

对比【例1】和【例2】所建立的方程可知，用功能关系和能量守恒定律建立方程的区别是：用功能关系建立方程的时候，方程的左边是力做的功，方程的右边是能量的变化；而用能量守恒定律建立方程的时候，方程的一边是系统内减少的能量，另一边是系统内增加的能量。学生在初学之时，一定要按照功能关系式和能量守恒方程的区别养成良好的书写习惯。

四、合理的选择功能关系式和能量守恒定律处理问题

在所有的功能关系式中，动能定理利用最广，动能定理对单个物体可用，对多个物体组成的系统可能可用。有两种情况不可用，在这两种情况下恰恰利用能量守恒定律非常方便，从而实现了对动能定理的不足之处完美的补充，动能定理不可用的两种情况如下：

【情形一】如图4所示，质量为M的长木板静止在光滑的水平面上，一质量为m的小物块(可看成质点)以初速度v0滑上长木板的上表面，物块和木板之间的动摩擦因数为μ，经过一段时间物块和木板达到共同速度v，此过程中木块的对地位移为x块，木板的对地位移为x板，板块之间的相对位移为d。

图4

【情形二】如图5所示，质量为m的小球和轻质弹簧连接在一起并处在压缩状态静止在光滑的地面，左端紧靠墙壁，释放小球让弹簧恢复到原长。

图5

【分析】对弹簧和小球组成的系统，系统所受的合外力为墙壁对弹簧的支持力，支持力不做功，所以弹簧和小球组成的系统的合外力做功为零，根据动能定理有系统的动能不变，而实际上系统的动能增加，由此可见对弹簧和小球组成的系统不能用动能定理。但以弹簧和小球组成的系统可用能量守恒定律进行分析，弹簧减少的弹性势能等于小球增加的动能，因此此处能量守恒定律给动能定理做了完美的补充。

五、实现利用功能关系式和能量守恒解决问题的自由转换

【例3】(多选)如图6所示，一足够长的木板在光滑的水平面上以速度v向右匀速运动，现将质量为m的物体竖直向下轻轻地放置在木板上的右端，已知物体m和木板之间的动摩擦因数为μ，为保持木板的速度不变，须对木板施一水平向右的作用力F。从物体m放到木板上到它相对木板静止的过程中，下列说法正确的是

( )

图6

A.因摩擦产生的热量为mv2

C.力F对木板做功的数值为mv2

D.力F对木板做功的数值为2mv2

【答案】BC

【解析】方法一：对木板和物块整体，根据能量守恒定律建立方程。

方法二：分别隔离木板和物块，根据动能定理建立方程。

【点评】在【例3】中，板块之间有摩擦且有相对滑动，可单独对木板或物块使用动能定理，但不可整体使用动能定理，而对整体可用能量守恒定律建立能量守恒方程；在【例2】中，含有弹簧的问题，不能对弹簧和物体A、B整体使用动能定理求解，但对弹簧和物体A、B整体采用能量守恒建立方程非常方便。利用功能关系式和能量守恒定律既各有所长又各有所短，合理选择功能关系和能量守恒定律解题才能让两者和谐统一。

【例4】如图7所示，不带电物体A和带电的物体B用跨过定滑轮的绝缘轻绳相连，A、B质量分别为2m和m，劲度系数为k的轻弹簧一端固定在水平面上，另一端与物体A相连，倾角为θ的斜面沿斜面向上的匀强电场中，整个系统不计一切摩擦。开始时，物体B在沿斜面向上的外力F=3mgsinθ的作用下保持静止且轻绳恰好伸直，然后撤去外力F，直到物体B获得最大速度，且弹簧未超过弹性限度，求物体B获得最大速度v时，弹簧的弹性势能为多少？

图7

【解析】对物体和弹簧连接在一起组成的系统，最好对物体和弹簧整体采用能量守恒定律建立方程处理；当然也可以把物体隔离，分别对物体用动能定理建立方程处理。在平时的学习中，学生面对涉及弹簧能量的问题时建议两种方法都去尝试使用，在熟练到一定程度时，可根据自己的喜好合理进行对象的选择及方法的选择。

方法一：对弹簧、物体A和B组成的系统，根据能量守恒建立方程。

当施加外力F时，对物体B分析可知

F-mgsinθ-F电=0

所以F电=2mgsinθ

当撤去外力F后，在B获得最大速度时有

kx=F电+mgsinθ

对弹簧、物体A和B组成的系统据能量守恒定律得

方法二：对物体A和B组成的系统，根据动能定理建立方程。

对A和B组成的系统据动能定理得

其中F电=2mgsinθ，WF弹=Epmax

六、“抓状态建方程”找到利用功能关系式与能量守恒解决问题的基石

“抓状态建方程”的内涵：在具体应用中，当物体处在平衡状态时，往往要对物体进行受力分析建立力的平衡方程；当物体处在加速状态或处在某个特殊位置时，往往要对物体进行受力分析，根据牛顿第二定律建立加速度的方程。

功能关系和能量守恒肯定离不开力的做功，而功是过程量，因此在进行功能分析的时候，离不开对物体运动的过程分析，在对物体的受力及过程均分析清楚的情况下，才能合理的选择功能关系式或建立能量守恒的方程。

【例6】如图8所示，在倾角为30°的光滑斜面上，一轻质弹簧两端连接两个质量均为m=1 kg的物块B和C。物块C紧靠着挡板P，物块B通过一跨过光滑定滑轮的轻质细绳与质量为m0=8 kg、可视为质点的小球A相连，与物块B相连的细绳平行于斜面，小球A在外力作用下静止在对应圆心角为60°、半径R=2 m的光滑圆弧轨道的最高点a处，此时细绳恰好伸直且无拉力，圆弧轨道的最低点b与光滑水平轨道bc相切。现由静止释放小球A，当小球A滑至b点时，物块B未到达a点，物块C恰好离开挡板P。已知重力加速度g取10 m/s2，弹簧始终处于弹性限度内，细绳不可伸长，定滑轮的大小不计。求：

图8

(1)弹簧的劲度系数；

(2)在物块C恰好离开挡板P瞬间，小球A的速度vA。

【解析】(1)弹簧的劲度系数k与弹簧的弹力相关联，因此需对物体进行受力分析，当小球A位于a处时，物块B处在平衡状态，需对B建立平衡方程；当小球A滑至b点时物块C恰好离开挡板P，C的加速度为0，C处在平衡状态，需对C建立平衡方程——“抓状态建方程(抓平衡状态建平衡方程)”

对B由力的平衡得kx=mgsin30°

对C由力的平衡得kx′=mgsin30°

由几何关系知R=x+x′

将A在b处的速度分解有vAcos30°=vB

【点评】【例6】的第(1)问中抓平衡状态建平衡方程，是“抓状态建方程”的典型应用。通过建立平衡方程后可明显地看出弹簧的压缩量x和伸长量x′相等，因此弹簧的弹性势能在这两个状态相等，为第(2)问建立能量守恒方程(机械能相等)做好铺垫。

【例7】(多选)如图9所示，质量分别为mA=2 kg，mB=1 kg 的两个物块中间连接有劲度系数为k=200 N/m的弹簧，整个装置放在倾角为30°的光滑斜面上，斜面底端有固定挡板，对物体A施加一个沿斜面向下的大小为F=20 N的力，整个装置处于静止状态，g=10 m/s2，突然撤去外力F后，则

( )

图9

A.当弹簧恢复原长时，物块A沿斜面上升5 cm

B.当物块B刚要与挡板分离时，物块A的加速度为a=7.5 m/s2

C.当物块B刚要与挡板分离时，物块A克服重力做的功为1.75 J

D.物块A和物块B组成的系统机械能守恒

【答案】BC

【解析】当力F作用在A上时，A处在静止状态，需对A建立平衡方程mAgsinθ+F=kx1，解得x1=15 cm，所以A错误；撤掉F后，当物块B刚要与挡板分离时，B的加速度为0，需对B建立平衡方程mBgsinθ=kx2，解得x2=2.5 cm；撤掉F后，当物块B刚要与挡板分离时，A有加速度，需对A建立牛顿第二定律kx2+mAgsinθ=mAa，解得a=7.5 m/s2，所以B正确；WGA=mAg(x1+x2)=1.75 J，所以C正确；对弹簧、物块A和B组成的系统：在撤掉外力F后系统的总能量守恒，弹簧的弹性势能在变化，所以物块A、B组成的系统的机械能也在变化，所以D错误。

【点评】通过“抓状态建方程”的应用，逐步让学生对特殊状态产生一定的敏锐性，为解决能量问题做好应有的铺垫，所以“抓状态建方程”是利用功能关系与能量守恒定律解决问题的基石。

板块问题和弹簧问题是学生学习过程中的疑难点，功能关系和能量守恒定律也是学生学习过程中的疑难点，本文先从理论上辨析了功能关系式和能量守恒定律的区别，再以板块模型和弹簧模型构建情景，让学生在使用功能关系式和能量守恒定律解决问题的直接体验中，对不同的研究对象，学会合理的选择功能关系式和能量守恒定律，并通过“抓状态建方程”的应用，力求让学生找到功能关系和能量守恒的基石，同时让板块问题和弹簧问题不再孤立。