重庆 张大洪

单导体棒在磁场中切割磁感线运动而产生的动生感应电动势中的过程与收尾问题，是一种重要的电磁感应问题；在动生感应中导体棒切割磁感线运动而产生感应电流，并同时受到安培力的作用，由于导体棒的速度变化导致安培力变化，因而导体棒运动过程中的加速度将发生相应变化；当导体棒加速度变为0后其必将做匀速直线运动，我们将其此时的速度称作“收尾速度”；当在一定条件下，导体棒最终将做匀变速直线运动，我们将其不变的加速度称作“收尾加速度”；下面我们从实例来分类讨论此专题中的“收尾速度”与“收尾加速度”的分析方法。

一、“单杆”的收尾速度与动态过程的评析

【例1】(基本题型)如图1-1所示，宽L=1 m的U形光滑导线框架与水平面成夹角θ=30°倾斜放置在与框面垂直向上的匀强磁场中，磁感应强度B=0.2 T；在框架上垂直框边放一根质量m=0.8 kg，电阻r=0.08 Ω的导体棒ab；图中定值电阻R=0.02 Ω，导体框架的电阻不计。现将ab棒从静止释放让它沿框架无摩擦下滑，设框架足够长且取g=10 m/s2。求ab棒运动的最大速度vm=？

图1-1

图1-2

【拓展一】将磁场方向改成竖直向上，且ab棒与框架间的动摩擦因数为μ=0.2，则ab棒的最后运动速度大小又为多少？

图1-3

【点评】在计算感应电动势时注意B、L、v必须两两正交时才能用E=BLv，否则要对B或v进行分解处理；在作安培力的方向时注意F⊥B、F⊥I。

【拓展三】用功能原理处理棒的运动过程与最终状态。在“拓展一”的条件中当ab棒的速度从v=1 m/s加速到v2=5 m/s的过程中，电阻R放出的焦耳热为0.5 J，框架与棒由于摩擦而增加的内能为2 J，求棒在框架上滑动的距离为多少？

【分析】由于导体棒的重力提供其沿框面运动的动力，故该动力所做的功一部分用来增加棒的动能、一部分用来克服滑动摩擦力做功、一部分用来克服安培力做功；所以电磁感应的功能原理可以表述为W外动=ΔEk+W克安+W克摩+W克其他：其中

1.W外动表示棒所受到的使其相对于磁场运动的外动力对棒所做的功；

4.W克摩表示棒运动中克服摩擦力做的功，摩擦力为恒力时W克摩=Ffs；

5.W克其他表示棒运动中克服除摩擦阻力、安培阻力外的其他阻力所做的功。

【拓展四】用平均力处理动态过程中的相关问题：在“(基本题型)”中当棒从静止释放沿框面下滑的高度为2 m时棒的速度增加为5 m/s，则此过程经历了多少时间？

【拓展五】含电源的动生感应问题：在“(基本题型)”中若只将外电阻R换成一个电动势为ε=2 V、内阻r=0.02 Ω的电池，题目中其他条件不变，如图1-4所示；求棒由静止释放后所能达到的最大速度？

图1-4

点评：注意感应电动势与电池电动势的方向关系及计算中的正、负关系。

【拓展六】含电容器的动生感应问题：在“(基本题型)”中若只将外电阻R换成一个C=5F的电容器，如图1-5所示，题目中其他条件不变，求棒从静止释放沿框面下滑 8 m 时的速度及所经历的时间？

图1-5

【拓展七】导体棒的恒定功率拉动问题：在“(基本题型)”中若给导体棒ab作用一个沿框面向上的外力使棒沿框面向上运动，运动中保证外力的功率不变，结果测出ab棒最后以速度20 m/s匀速运动；已知棒从静止开始经过时间1.2 s沿框面运动s=10 m时的速度为10 m/s，求该过程中电路产生的焦耳热。

图1-6

二、“单杆”的收尾加速度及过程评析

1.由电容器的充电来维持的匀加速收尾过程

【例2】如图2-1所示，宽L=1 m的U形光滑导线框架与水平面成θ=30°角倾斜放置在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B=0.2 T；在框架上垂直框边放一根质量m=0.8 kg，电阻r=0.08 Ω的导体棒ab；图中一个C=5 F的电容器连接在框架上，导体框架的电阻不计。现将ab棒从静止释放让它沿框架无摩擦下滑，设框架足够长且取g=10 m/s2。求：

图2-1

(1)棒从静止释放后将做何种运动，最终的加速度是多少？

(2)棒从静止释放沿框面下滑9.854 m时的速度及所经历的时间？

图2-2

2.由电阻的相应变化来维持的匀加速收尾过程

【例3】图2-3中AB、CD是两根特制的完全相同的电阻丝，竖直固定在地面上，上端用电阻不计的导线连接，两电阻丝间距为L，有一根质量为m电阻不计的金属棒ab跨在AC两点间的x轴原点处，并与电阻丝接触良好且无摩擦，空间有垂直纸面向里的匀强磁场B，释放金属棒后它将向下滑动。求：

图2-3

3.由外力的变化维持的匀变速收尾过程

【例4】图2-4中两相互平行的光滑金属导轨位于水平面内，间距L=0.2 m，在导轨的一端接有阻值为R=0.5 Ω的电阻；在x≥0区域有一与水平面垂直的均匀磁场B=0.5 T；一质量为m=0.1 kg的金属杆垂直放置在导轨上并以v0=2 m/s的初速度进入磁场中，在安培力及垂直于杆的水平外力F共同作用下做匀变速直线运动，加速度大小为a=2 m/s2方向与初速度方向相反；设导轨及金属杆的电阻均不计且接触良好，求：

图2-4

(1)电流为0时金属杆所处的位置？

(2)电流为最大值的一半时施加在金属杆上外力F的大小及方向？

(3)保持其他条件不变而初速度v0取不同值，则开始时外力F的方向与初速度v0取值的关系？

【分析】由题意知，杆必向右做匀减速直线运动到速度为0后再向左做匀加速直线运动直到离开磁场区域，故电流为0时表示杆的速度为0；

①若此时杆向右运动，则外力方向不定，我们假设外力F水平向右由牛顿定律有F安-F=ma即F=F安-ma=BIL-ma=-0.18 N，故杆向右运动，外力F大小为0.18 N，方向水平向左。②若此时杆向左运动，则外力F方向必水平向左且有F-F安=ma即F-BLI=ma代入数据得F=0.22 N。