朱小平

数学解题应追求自然、简捷、美妙。“先破后立”是解题教学的有效策略。“破”即破题，找准题眼切入。破后即解，解后宜品。品题的过程是对问题的反刍，即“立”。笔者以一道竞赛题为例，探讨初中几何解题教学的“破”“立”之法。

如图1，已知AD是△ABC的角平分线，AB

一、破题——抓住“平行”

从结论“平行”看，我们发现不能直接证MN∥AD，需中间量“搭桥”。教师可以引导学生思考找一个能与AD、MN都平行的中间量，从而产生作平行线的破题思路，且只可能从B、E、C任意一点作AD或MN的平行线。

证法1：如图2，先尝试过点B做BF∥AD交CA的延长线于F，结合AD平分∠BAC，由“平行+角平分线”得“等腰三角形”，知AF=AB，又CE=AB，所以CE=AF，因为M、N分别是BC、AE的中点，所以MN是△CBF的中位线。由三角形中位线定理可得结论。

证法2：如图3，尝试过点C作CF∥MN，而M是BC的中点，由“中点+平行”易联想平行线分线段成比例的推论，因而连接BN并延长交CF于点F，可证N是BF的中点。又因为N是AE的中点，连接EF，由SAS证明△ANB≌△ENF（“8字型全等”模型），得AB=EF=EC，则∠3=∠4，∠5=2∠3=∠BAC=2∠2，从而∠2=∠3，知AD∥CF，又MN∥CF，结论成立。

如图4，再尝试从E点作EF∥AD交BC于F，联想结论MN∥AD，则需证EF∥MN∥AD，又因N是AE的中点，易联想梯形中位线定理，证M是DF的中点即可得出结论。根据M是BC的中点，将问题转化为证BD=CF，可考虑它们所在的三角形全等，BD、CF所在的△ABD、△ECF中已有AB=CE，借EF∥AD及AD是角平分线可知∠3=∠2=∠1，两三角形已有一边、一角相等，但明显不全等，此时就要构造全等三角形。接下来我们兵分三路：

证法3：如图4，保持钝角△EFC不变，由SAS全等，可在AD边上截取AG=EF，连接BG，则△ABG ≌△ECF，可知BG=CF，∠4=∠EFC，由等角的补角相等可知∠BGD=∠EFB，利用AD∥EF，得到∠BDG=∠EFB，从而∠BGD=∠BDG，所以BG=BD，故BD=CF。关键点已突破，由梯形中位线易证结论。

证法4：如图5，保持锐角△ABD不动，由SAS全等，可在射线EF上截取EG=AD，连接CG，则△ABD≌△ECG，可知∠ADB=∠G，由AD∥EF可证∠ADB=∠EFB，又因为∠EFB=∠CFG，所以∠ADB=∠EFB=∠CFG=∠G，则BD=CG=CF，由梯形中位线易证结论。

证法5：如图6，考虑从一般到特殊，可同时构造两个全等直角三角形。过点C作CH⊥EF于H，过点B作BG⊥AD于G，由AAS先证△ABG≌△ECH，再证△BGD≌△CHF，所以BD=CF，接下来易证。

品题：上述问题的解决抓住“平行”，五种证法既有共性，又有不同。从辅助线的添加来看，都作了平行线，但平行的位置不尽相同;从基本模型构造看，都构造了三角形中位线或梯形中位线模型，在不同的证法中还存在其他的模型;从数学思想方法看，都用到了转化思想，后三种证法中又渗透了“分类”和“从一般到特殊”的思想。辅助线的添加是有规律可循的，教师要引导学生抓住题眼，突破思维障碍，教会学生分析与思考，注重反思与总结，感悟通性与通法。

二、破题——抓住“中点”

从“中点”看，我们可以发现中点既没在等腰三角形中，也没在直角三角形中，而是在一般三角形中。由此，学生容易联想“中点配中点，配成中位线”的规律。因为M与N两个中点并不能直接形成中位线，故需要再配某一边的中点。这是教师需要引导学生尝试寻求的破题对象。

证法6：如图7，题目中已有中点，如何再配一边的中点？结合已知条件“CE=AB”，如果能让两条相等线段CE与AB分别充当两个不同三角形的第三边，再去寻找这两个三角形共同的第二边的中点，就能把看似无关的条件关联起来。此时，联想“三角形中位线定理”，做如下思考：AE为一边（有中点），AB为第三边，由A、B、E“三点定形”定出△ABE，连接BE即为第二边，取BE的中点则水到渠成。或者BC为一边（有中点），EC为第三边，B、E、C三点定出△BEC，依旧要取BE的中点。两者可同時思考、互相验证，达到一致目标后，连接FN、FM，则FN、FM分别是△EAB与△BCE的中位线，可知FN=[12AB][=12CE][=FM]，FN∥AB，FM∥AC，则∠FMN=∠FNM=∠CNM，∠CNF=∠CAB，再由AD平分∠CAB，可证∠CAD=[12∠CAB=12∠CNF=∠CNM]，所以MN∥AD。

证法7： 如图8，从“中点”看，N不是△ABC一边的中点，可从中点M出发，再配一边的中点，形成中位线。结合AD是角平分线联想：等腰三角形顶角的平分线必平分底边，因此在AC上截取AF=AB构造等腰三角形，则BF与AD的交点H即为所寻的中点。又因M是BC的中点，则MH=[12CF]，MH∥FC，即MH∥AN，由AB=CE可知AB=AF=EC，AF-EF=CE-EF，即AE=CF，所以MH=[12FC=12AE=AN]。由MH∥AN，得到平行四边形AHMN，结论可证。

品题：这两种证法都是主抓“中点”破题，构造了三角形中位线模型。证法6抓住“中点”结合“线段相等”联想三角形中位线定理，将“相等线段”作为三角形的第三边，将含中点的线段作为一边，由“三点定形”法轻松确定第二边及其中点。这样分析有理、有据、有序，学生易懂、易会。证法7抓住“中点”结合“角平分线”，联想等腰三角形的“三线合一”，构造平行四边形解决问题。解题教学不仅是以题论题，更应该以题论道，教会学生运用联想发现问题、分析问题，促使学生系统地掌握知识，逐步改善思维品质，提升解决问题能力。

三、破题——抓住“角平分线”

由AD是角平分线联想“角平分线+平行”得“等腰三角形”也能解决问题。

证法8：如图9，由AD是角平分线联想“角平分线+平行”得“等腰三角形”，可过点B作BF∥AC交AD的延长线于F，可得∠1=∠2=∠3，所以AB=BF=EC。易考虑BF、EC所在的三角形全等。连接EF交BC于G，可证△BGF≌△CGE。已知BG=CG（G是BC中点），又M是BC中点，故G与M重合，EM=MF，由中位线定理可证MN∥AD。也可作BF∥AC交EM的延长线于F，连接AF，证AF与AD共线即可。上述方法就是我们通常说的“同一法”。

品题：此题中构造了“角平分线+平行”得“等腰三角形”模型、“8字型全等”模型、“三角形中位线”模型。学会构造基本模型解决问题是学习几何的重要方法。

（作者单位：襄阳市襄州区教育教学研究中心）