朱小平

数学解题应追求自然、简捷、美妙。“先破后立”是解题教学的有效策略。“破”即破题，找准题眼切入。破后即解，解后宜品。品题的过程是对问题的反刍，即“立”。笔者以一道竞赛题为例，探讨初中几何解题教学的“破”“立”之法。

如图1，已知AD是△ABC的角平分线，AB

一、破题——抓住“平行”

从结论“平行”看，我们发现不能直接证MN∥AD，需中间量“搭桥”。教师可以引导学生思考找一个能与AD、MN都平行的中间量，从而产生作平行线的破题思路，且只可能从B、E、C任意一点作AD或MN的平行线。

证法1：如图2，先尝试过点B做BF∥AD交CA的延长线于F，结合AD平分∠BAC，由“平行+角平分线”得“等腰三角形”，知AF=AB，又CE=AB，所以CE=AF，因为M、N分别是BC、AE的中点，所以MN是△CBF的中位线。由三角形中位线定理可得结论。

证法2：如图3，尝试过点C作CF∥MN，而M是BC的中点，由“中点+平行”易联想平行线分线段成比例的推论，因而连接BN并延长交CF于点F，可证N是BF的中点。又因为N是AE的中点，连接EF，由SAS证明△ANB≌△ENF（“8字型全等”模型），得AB=EF=EC，则∠3=∠4，∠5=2∠3=∠BAC=2∠2，从而∠2=∠3，知AD∥CF，又MN∥CF，结论成立。

如图4，再尝试从E点作EF∥AD交BC于F，联想结论MN∥AD，则需证EF∥MN∥AD，又因N是AE的中点，易联想梯形中位线定理，证M是DF的中点即可得出结论。根据M是BC的中点，将问题转化为证BD=CF，可考虑它们所在的三角形全等，BD、CF所在的△ABD、△ECF中已有AB=CE，借EF∥AD及AD是角平分线可知∠3=∠2=∠1，两三角形已有一边、一角相等，但明显不全等，此时就要构造全等三角形。接下来我们兵分三路：

证法3：如图4，保持钝角△EFC不变，由SAS全等，可在AD边上截取AG=EF，连接BG，则△ABG ≌△ECF，可知BG=CF，∠4=∠EFC，由等角的补角相等可知∠BGD=∠EFB，利用AD∥EF，得到∠BDG=∠EFB，从而∠BGD=∠BDG，所以BG=BD，故BD=CF。关键点已突破，由梯形中位线易证结论。……