董乐谦，张 琦

（北京交通大学 交通运输学院，北京 100044)

0 引言

随着市场化改革的不断深入，各种交通方式之间的竞争越来越激烈。2016年起，我国高速铁路动车组列车一、二等座票价已实行铁路运输企业依据价格法律法规自主制定，但相较于民航等交通方式仍有待提升灵活性和竞争力。列车开行方案是连接客流分配与制定列车时刻表的桥梁，一般包括列车的运行区段、开行频率、停站方案以及编组计划等内容。列车开行方案编制的优劣直接影响到高速铁路在旅客运输市场的竞争力与收益情况。因此，深入研究在运输市场中其他交通方式影响下，差异定价与高速铁路列车开行方案的联合优化问题，对于提高高速铁路在旅客运输市场的竞争力及效益具有积极意义。

列车开行方案问题在国内外已经得到了深入的研究。陈家兵[1]等采用动态定价的方法研究城际旅客的出行方便度以及城际铁路运输效益，构建列车开行方案与席位定价联合优化的双目标混合整数模型。大多数学者在对开行方案优化时采用双层规划模型，通过考虑列车总运行成本、旅客总旅行时间、流失客流数量以及列车开行数量等因素来对开行方案进行优化[2-4]。Yushi[5]从航空公司、高速铁路运营企业及社会总福利的角度出发，基于博弈论的思想，构建双层规划模型决策高速铁路开行频率，该模型包含了2段博弈，第一阶段使社会福利最大化，第二阶段使高速铁路运营企业和航空公司的利润最大化。还有学者通过构建更加合理的列车开行方案备选集来降低求解规模[6-7]。李文卿[8]对运输市场中各种交通方式之间的关系进行了深入研究并提出了综合换乘网络，该网络可以较为全面的刻画旅客在运输市场中的出行选择行为，并在此基础上运用博弈论建立了列车开行方案双层规划模型来对其进行优化。目前，尚未有在考虑其他交通方式的影响下，对列车开行方案与基于差异定价的客流分配联合优化的深入研究。为此，有必要在传统开行方案优化的基础上，考虑其他交通方式影响并引入差异定价思想，构建与客流分配联合优化的双层规划模型，同时选取京沪高速铁路进行实例分析。

1 基于差异定价的随机用户均衡分配(SUE)策略

1.1 旅客出行服务网络构建

旅客出行服务网络是在时空维度上实现客流分配的基础，在进行客流分配之前，首先需要构建旅客出行服务拓扑网络。旅客出行服务网络不仅包含物理意义层面的车站节点(包含机场、客运站以及铁路旅客车站等，下同)，还包括时间层面上的到站节点、出站节点等虚拟节点类型。同时，不同节点之间相连构成不同意义的弧段信息，包括旅客上下车弧段、旅客换乘弧段、交通工具的运行弧段以及停站等候弧段等。由于各OD间存在多种交通方式，针对不同的出行需求，旅客会在所有出行路径中选择最适合自己的路径完成出行。旅客出行服务拓扑网络如图1所示。

图1 旅客出行服务拓扑网络Fig.1 Topological network of passenger travel service

为此，对旅客出行服务拓扑网络G(N，Ar，L)进行如下描述：N表示服务网络中车站节点集合，令N= {typen，positionn，plann}，其中typen表示车站节点的类型，包括车站节点、出站节点以及到站节点；positionn表示车站的地理位置编号；plann表示交通工具运行方案线的编号。A表示服务网络中弧段信息的编号，令A= {pvr，lvr，cr，capr，typer，pplanr，lplanr}，其中pvr表示弧段r的前续节点；lvr表示弧段r的后续节点；cr表示弧段r的广义出行成本；capr表示弧段r的容量；typer表示弧段r的类型，包含乘车弧段、停站弧段、换乘弧段、上车弧段以及下车弧段；pplanr表示弧段r前续节点所属交通工具运行方案的编号；lplanr表示弧段r后续节点所属交通工具运行方案的编号。弧段r的类型由该弧段所连接节点的类型确定。乘车弧段的前续节点和后续节点必须相同，即二者应当位于同一条交通工具运行方案线上；停站弧段的前续节点和后续节点的车站节点地理位置属性及所属运行方案线必须相同，即二者必须位于同一方案线上的同一车站；换乘弧段的前续节点和后续节点的车站节点地理位置属性必须相同，但所属运行方案线必须不同，即二者必须位于不同方案线上的同一车站；上车弧段的前续节点必须为车站节点，后续节点必须是与地理位置处于同一车站的出发节点；下车弧段的前续节点必须是到达节点，后续节点必须为与该到达节点地理位置相同的车站节点。L为一组0-1变量组成的向量，表示交通工具运行方案是否开行。

在构建旅客出行服务网络的基础上，采用K短路算法来寻找各OD间的平行出行路径并计算各路径的广义出行成本ch[9]。旅客在选择出行路径时的阻抗即为其广义出行成本ch，由路径的票价、旅行时间以及服务频率所决定。

式中：t h表示OD对w中旅客选择出行路径h时对应的旅行时间，min；p h表示OD对w中旅客选择出行路径h时对应的票价，元；f h表示OD对w中旅客选择出行路径h时的服务频率，列/d；α，β，γ分别为旅行时间、旅行票价以及路径服务频率所对应的权重系数。

1.2 基于差异定价的随机用户均衡分配(SUE)模型

在SUE模型中，假设出行者不能够准确地估计出行阻抗，对实际的出行阻抗有一个理解误差，即存在一个随机误差项。因此，出行者的路径出行费用包含2个部分：实际的路径出行费用ch和出行费用的随机误差ξh。出行者的路径出行费用计算公式为

当路径出行费用的随机项服从独立同分布的Gumbel分布时，可以得到多项式的Logit模型。此时，出行者的路径出行费用是路径流量Xh和实际路径出行费用的函数，具体如下。

其中，离散参数θ反映了出行者对理解阻抗的聚合度量。

SUE的均衡条件可以表述为：在一个随机用户平衡的网络中，没有出行者可以通过单方面改变自己的路径选择来降低自己的广义出行成本。为此，考虑弧段容量下的随机用户均衡分配模型[10]构建如下。

式中：ta表示弧段a的广义出行成本函数；Xh表示路径h的流量；qw表示OD对w的总需求；xa表示弧段a的流量；δh表示选择路径h出行的概率；carmax表示弧段a的最大容量。

路径选择概率由logit模型求得。

每条路径的票价是随着弧段容量的变化而随之改变的，其变化规则[9]如公式(7)所示。

式中：pGw,h表示OD对w中乘坐高速铁路出行时路径h的票价，元；表示OD对w中乘坐高速铁路出行时路径h的初始票价，元；表示弧段ar的票价改变量，元；πs表示票价变化时列车上座率，其中s=[1，2]，π1表示票价上升时的上座率，π2表示票价下降时的上座率；Ew,h表示OD对w的路径h所包含的弧段集合；ρ与μ表示价格调控系数。

2 基于差异定价的SUE分配与列车开行方案联合优化模型

通过设计一个混合整数双层规划模型，以求解其他交通方式影响下，高速铁路客流分配与列车开行方案联合优化问题。上层模型为列车开行方案优化模型，下层模型为基于差异定价的SUE客流分配模型。其中，上层模型是在客流需求、列车开行方案备选集以及其他交通方式产品一定的情况下，生成列车开行区段、停站方案以及列车的开行频率；下层模型是在上层模型所得到的开行方案的基础上，通过构建旅客出行服务拓扑网络进行客流分配，并对所有路径中选择高速铁路出行的不同路径进行差异定价。下层模型得到的客流分配结果以及定价方案作为对开行方案的评判标准，反馈到上层模型，作为上层模型开行方案的优化方向，来对上层开行方案结果进行更新，如此迭代至达到收敛条件，得到更加合理的列车开行方案、客流分配结果及各平行路径定价方案。

该模型的假定条件为：①研究对象为本线列车，不涉及跨线列车且本线列车所采用的动车组型号、动车组运行速度及每列车的编组情况均相同；②为了简化运算，在每一对OD中，仅考虑1种高速铁路以外的交通方式；③在对OD的不同出行路径进行差异定价时，仅考虑二等座席位。

2.1 模型简介

模型中决策变量符号说明如表1所示。

表1 决策变量符号说明Tab.1 Symbol description of decision variables

上层开行方案优化模型的目标函数为铁路运营企业效益最大化；约束条件有区间能力约束、车站最低服务频率约束、列车能力约束、OD需求约束以及服务频率约束。模型具体如下。

式中：ZY为铁路运营企业效益，元；CT为列车停站成本，元；nTk为k方案列车停站数量；TkY为k方案列车区间运行总时间，h；Cg为高速铁路列车1 h固定运行成本；θkj为0-1变量，表示列车运行方案k与区间j的对应关系；δk i为0-1变量，表示列车运行方案k与车站i的对应关系；φj为区间j所允许的最大通过能力，列/d；φi为车站i所需的最小服务频率，列/d；σarGw,h为0-1变量，表示OD对w的第h条路径与弧段ar的对应关系；τk为列车运行方案k的列车定员，人；DGw为选择高速铁路出行的OD对w的总出行需求，人；η jGw为0-1变量，表示OD对w与线路区间j的对应关系。

下层基于差异定价的SUE客流分配模型的目标函数为旅客总出行成本最小；约束条件有OD间高速铁路所分担客流量约束、总客流量约束以及票价约束。其具体公式如下。

2.2 改进的粒子群算法

由于所建立模型为混合整数双层规划模型，难以求出精确解，因而使用启发式算法对该模型进行求解。所使用的启发式算法为改进的粒子群算法，该算法中还包含了K短路算法以及MSA算法。改进的粒子群算法主要步骤如下。

步骤1：输入列车及其他交通方式开行方案的备选集、车站最低服务要求、区段最大通过能力客流需求、各OD初始票价等信息。

步骤2：根据备选集生成在所有方案仅开行1列的情况下所包含的服务节点、服务弧段以及弧段相关信息。

步骤3：初始化种群，设置种群规模为N，迭代最大步数为M，粒子编号n= 1，当前迭代步数m= 1。初始化种群的方法为：按照粒子中一半随机生成一半精确求解得到的受约束的随机初始化方法[9]生成N个初始开行方案。

步骤4：在粒子n所生成的开行方案下对步骤3中的弧段出行成本以及弧段容量信息进行更新。若某方案开行频率为0，则该方案所对应的弧段出行成本为极大值，容量为0。

步骤5：K短路算法寻找当前开行方案下各OD的前K条最短路径并计算其广义出行费用。

步骤6：考虑弧段容量下基于差异定价的随机用户均衡分配策略进行客流分配并计算目标函数值及定价结果。其中用到MSA算法，其主要步骤如下。①初始化。基于当前开行方案所计算得出的K短路情况下，利用公式(6)计算每条路径被选择的概率δh；②根据步骤①所得概率δh计算各路径应分配流量X1，并计算各路径弧段所分配的客流量，令n= 1，，β0= 1；③根据当前所得结果计算当前分配结果下各路径新的广义出行费用以及被选择的概率δh，并计算各弧段的附加交通量；④计算可行的下降方向并进行判断：如果d n的模大于d n-1的模，则β n=β n-1+η，否则β n=β n-1+γ，其中令η= 1.5，γ= 0.1；⑤确定迭代步长λn= 1 /β n，并更新路段流量x n+1=x n+λnd n；⑥进行收敛判断d n的模是否小于ε，若满足，则停止计算，并根据公式(7)计算各路径最终票价，否则令n=n+1，返回步骤②。

步骤7：判断n是否等于N，是则转步骤8；否则n=n+1，转步骤4。

步骤8：根据各个粒子对应开行方案的目标函数值，确定当前个体最优pbest和种群最优gbest。

步骤9：判断迭代步数m是否小于M，是则令迭代步数m=m+1，并更新全部粒子，n=1，转至步骤4；否则输出当前情况下的最优开行方案、客流分配结果及定价方案。

3 案例分析

通过选取2019年12月6日京沪高速铁路区间下行方向(开行区段在北京南—上海虹桥以内的所有列车)的实际列车开行方案以及售票情况作为对比来验证并分析模型的有效性。其他交通方式客流数据通过参考中国民用航空总局各航线旅客数量以及相关客运网站得到。加入其他交通方式后会增加模型的求解规模，为了适当降低求解规模，从京沪高速铁路24个车站中选取10个主要车站、共计45个OD进行研究。

为了更好地计算京沪高速铁路线路上各OD旅客不同出行路径的广义出行成本，首先针对所选择的数据情况，对公式(1)中的权重系数α，β，γ进行参数标定，所计算结果满足显著性检验的要求。旅客对旅行时间、票价以及路径服务频率的敏感度参数标定结果如表2所示。

表2 旅客对旅行时间、票价以及路径服务频率的敏感度 参数标定结果Tab.2 Calibration results of the sensitivity parameters of passengers to travel time, fares, and route service frequency

将同一交通方式内服务相同的OD、具备相同停站方案的产品定义为一类产品，依据本案例中客流量与列车开行方案情况，整理得到包含38类高速铁路产品和27类其他交通方式产品(18个OD对间无其他交通方式存在)的备选集。其中27类其他交通方式产品中包含大巴22类，民航5类。车站最低服务频率如表3所示。其中，各车站最低服务频率由各车站客流需求计算得到。通过能力上限φj所有区段均取值50列/d。

模型其余参数取值如表4所示。算法中粒子种群数量设置为10，迭代次数为500。其中，假设列车编组都为16辆编组，故列车定员设为1 190人；旅客时间价值由国民收入法计算得到；列车开行固定成本、停站成本、停站时间及换乘等待时间由查阅相关论文取值得到[9]；弧段成本变化客流量比例参数及价格调控系数参数的取值通过灵敏度分析的方法得到。

表3 车站最低服务频率 列 / dTab.3 Minimum service frequency at stations

表4 模型其余参数取值Tab.4 Values of other parameters in the model

由以上输入条件进行模型的计算，得到的高速铁路列车开行方案编制结果(仅展示了高速铁路列车的开行方案情况)如图2所示。

图2 高速铁路列车开行方案编制结果Fig.2 Compilation results for the train operation diagrams on high speed railways

选取该方案中部分OD不同出行路径的差异定价方案如表5所示。

差异定价方案显示当OD旅行距离较短时，如北京—天津、苏州—上海等OD对，竞争方式为大巴，K短路中各条平行出行路径票价基本相同，即旅途较短时高速铁路与大巴竞争，高速铁路的竞争力更加明显，为此可以增大该距离段高铁开行频率以分担更多客流；随着OD旅行距离的上升，高速铁路票价与大巴票价差距开始增大，高速铁路票价增幅较快，而大巴增幅较慢，二者的竞争态势趋于明显，此时结果显示高速铁路会产生差异定价来保持其竞争力，如徐州—南京及南京—上海等OD，K短路中各条平行出行路径票价存在较为明显的差异，调低客流较少路径的票价，以提高其竞争力；当OD旅行距离为长途出行时，大巴丧失了竞争力，而民航与高铁间竞争越来越激烈，并且在非节假日民航机票折扣较大，高速铁路不具有明显竞争力，票价浮动不太明显，如北京—上海，在5条可行路径中，第二条(k= 2)为民航出行，其余4条为高速铁路出行，其票价差异较小，此时应当适当降低高速铁路开行频率来保持高速铁路的上座率，以降低运营 成本。

将该开行方案的客流分担情况及客票收入情况与真实数据进行对比。模型结果与实际情况对比如表6所示。

表6 模型结果与实际情况对比Tab.6 Comparison between model results and actual conditions

由表6可看出，模型所求出结果的列车总对数、停站次数与实际情况相差不大，但客流分担比例、客票收入和上座率有一定幅度上升。其中，部分OD客流及列车服务频率变化情况如表7所示。

表7 部分OD客流及列车服务频率Tab.7 Passenger flow and train service frequency in some ODs

由表7可以得到，在航空较为占优势的区段，如北京—上海及天津—上海等，高速铁路客流分担率无明显变化，故可以通过降低开行频率来降低运营成本；在与大巴竞争较为激烈的区段，如济南—上海、北京—沧州、苏州—上海等区段，高速铁路客流有一定幅度的增加，其服务频率也随之有小幅度上升。部分高速铁路优势区段如北京—天津、北京—徐州等OD，其服务频率有较大幅度提升，是因为模型在计算广义出行费用时考虑了服务频率的影响，即服务频率越高，代表其越具有竞争力。通过对上述结果分析可知，研究所提出的开行方案优化模型可以根据不同交通方式对高速铁路旅客运输所造成的不同影响，对列车开行方案的三要素及各条路径票价同时进行优化，为适应市场化环境下的高速铁路开行方案编制提供参考。

4 结束语

列车开行方案是铁路运输组织的核心，在市场化的大环境下，需要在考虑其他交通方式的影响下对列车开行方案进行优化，保持高速铁路的竞争力并提高高速铁路的运营效益。通过构建考虑其他交通方式影响下高速铁路列车开行方案优化模型并提出基于差异定价的SUE客流分配策略，以调整高速铁路列车在不同运距的OD间的服务频率及对高速铁路同一OD不同出行路径进行差异定价来提高高速铁路在旅客运输市场中的竞争力及运营效益。