牛献礼

【摘 要】教师从数学学科整体脉络上分析教学内容，并结构化地设计教学过程，让学生在学习过程中边学边“联”，将数学学习结构化，帮助学生建立一个融会贯通的数学认知结构，才能有效地发展学生的思维能力，提升思维品质。本文以“有余数的除法”的教学为例，抓住教学内容的核心、联系及生长点，引导学生深刻理解“有余数的除法”算式中各部分间的结构关系，把新知纳入已有的知识结构体系中，推动学生对学习内容的整体把握，促使学生养成结构化的思维方式。

【关键词】有余数的除法 结构化学习 结构化思维

数学学习的过程就是新知识进入学生个体认知结构，并与原有认知结构中的旧知识重新建构的过程。数学教学需要基于数学知识的内在关联，通过结构化教学，帮助学生建立一个融会贯通的数学认知结构，从而达到发展学生思维能力、提升思维品质的目的。为此，教师要整体把握数学内容，并能结构化地设计教学过程，帮助学生在学习过程中边学边“联”，将数学学习结构化，最终学生得到的不仅是数学“知识链”“知识网”，更多的是数学思维能力与学习能力的提升。下面，笔者以“有余数的除法”一课的教学为例，谈谈如何让结构化学习真实地发生。

教学片段一：

1.动手“分小棒”，合作填表

出示：把10根小棒分给小朋友，每人分2根，可以分给几人？每人分3根、4根、5根呢？

要求：同桌两人合作，动手分一分小棒，并把每次分的结果记录在表格里。

学生合作分小棒，填写记录单，教师巡视。

2.对比辨析

随着学生口述，逐步呈现如下四种分法。

把10根小棒分给小朋友。

师：在第2种分法中，最后剩下的1根，为什么不分了呢？

生：因为每人要分3根，最后剩下这1根，不够再分给1个人了，就不分了。

师：在第3种分法中，最后剩下的2根，为什么也不分了呢？

生：因为每人要分4根，最后剩下这2根，不够再分给1个人了，就不分了。

师：仔细观察这4种分法，它们有什么相同点？

（小组讨论，全班交流）

生：第1种和第4种的分法都是平均分，因为它们每人分得一样多。

（课件演示：把每份圈一圈，发现每份确实同样多）

师：想一想，第2种和第3种的分法是平均分吗？为什么？

生1：不是平均分，因为最后有剩余，如果把剩余的1根给第1人，第1人就多了;如果给第2人，第2人就多了……每人分得不一样多。

生2：我觉得它们都是平均分的，因为每份分得也是同样多的。

（课件演示：把每份的根数圈一圈，直观发现“每份同样多”）

师：不管是“正好分完”还是“分后有剩余”，只要“每份同样多”，就是平均分！

3.分类归纳

师：根据刚才的讨论，你能给这几种分法分分类吗？

生：第1种和第4种分一类，它们“正好分完”;第2种和第3种一类，它们“分后有剩余”。

【思考】《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“数学知识的教学，要注重知识的‘生长点与‘延伸点，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性。”在上述教学中，笔者把“表内除法”（余数为0）与“有余数的除法”（余数不为0）看成一个整体，对比学习。首先，抓住新旧知识的“联结点”——平均分，创设“分小棒”的操作情境，让学生在动手操作中体会分的过程以及得出分的结果，并引导学生发现“平均分”时，存在“正好分完”和“分后有余”两种情况，体会“余数”和“有余数的除法”产生的必要性。接着，用一个表格整合了本节课所有操作活动的信息，直观呈现了“正好分完”和“分后有余”两种分法的不同，这样做有利于学生深刻理解“平均分”的本质：不管“正好分完”还是“分后有余”，只要每份同样多，都是平均分。同时，让学生经历余数与有余数的除法等概念的形成过程，学生在多次操作的过程中强烈地感知“剩余”，并通过对“如何處理平均分的剩余部分”的辨析，初步了解“分后有余”时剩余部分数量与总数、每份数之间的关系，初步建立起“余数”的表象。

教学片段二：

1.探究“有余数的除法”的算式

师：想一想，怎样用算式记录这两种“正好分完”小棒的过程？

学生口述，师板书：10÷2=5（人），10÷5=2（人）。

师（指分后剩余1根的分法）：想一想，怎样用算式记录这种“分后有余”的情况呢？试一试。

学生尝试列式，在小组内交流算式和想法。全班交流时呈现以下几种典型写法：

（1）3×3+1=10（根）

（2）10÷3=3（人）剩1（根）

（3）10÷3=3（人）……1（根）

（4）10÷3=3（1）

师：仔细观察这些算式，比一比，你更喜欢哪个算式？

引导学生统一写成10÷3=3（人）……1（根）

【思考】上述让学生尝试用算式记录“分后有剩余”情况的过程，就是让学生亲身经历“分小棒”过程的数学化，经历“有余数的除法”横式模型的建构过程，这个由具象事例进行数学抽象的“建模”过程不可忽略，即便学生自己思考列出的算式并不一定准确。其实，列出的算式并无所谓对错，教师应多关注思考结果的合理性，并在此基础上规范写法。

师：你能结合分小棒的过程，说一说算式中每一个数表示的意思吗？

生：10表示要分10根小棒，3表示每人分3根，3人表示分给了3人，1根表示分完后还剩下1根小棒。

师：在除法算式中，“10”和等号左右两边的“3”分别叫什么名称？你觉得最后的“1”根应该叫作什么？

板书：

师（指分后剩余2根的分法）：你会用算式记录这种“分后有剩余”的情况吗？

（学生独立完成，集体评议）

板书：10÷4 = 2（人）……2（根）

师：你能结合分小棒的过程，说一说算式中每一个数表示的意思吗？

2.算式比较，理解“余数”与“除数”的关联性

师：请大家仔细观察这些除法算式，它们有什么相同点和不同点？

（在学生回答的基础上，教师利用结构化的板书，构建完整的知识结构，如下图）

师：我们再来比较一下这两道有余数除法的算式，为什么第一道算式的余数是“1”，第二道的余数是“2”呢？

生：因为第一种分法是剩余1根，第二种分法是剩余2根。

师：第一种分法是每人分3根，除数是3，剩余1根，余数就是1;第二种分法是每人分4根，除数是4，剩余2根，余数就是2。看来余数跟除数有关。

【思考】上述教学中，借助“表内除法”的认知基础，帮助学生初步建立有余数的除法中被除数、除数、商与余数之间的结构关系，初步形成有余数除法的表象。通过结构化的板书，把新知识纳入已有的知识结构之中，让学生体会数学的逻辑美和简洁美。这样的结构化教学，可以推动学生对学习内容的整体把握和有效建构，促使学生慢慢养成结构化的思维方式，提升学生的迁移能力。当结构化教学的渗透成为一种自觉时，一定能激发学生强大的学习动力，让学生的思维走向自主建构的结构化，进而形成和发展学生的数学核心素养。

教学片段三：

习题1：圈一圈，填一填。

（1）9支铅笔，每人分2支，可以分给（）人，还剩（）支。

÷ =  （）…… （）

（2）9支铅笔，平均分给2人。每人分（）支，还剩（）支。

÷ =   （）……  （）

学生独立完成，教师巡视指导，然后全班交流。

师：这两个问题都用算式9÷2=4……1解决，想一想，它们表示的意思一样吗？

师（小结）：无论是“每人分2支”，还是“平均分给2人”，都可以用有余數的除法算式来表示。

2.拓展应用

师：除了分铅笔，你还能用“9÷2=4……1”编一个其他的例子吗？

（学生围绕“9÷2=4……1”举例。引导学生多样化举例）

师：无论是分小棒、铅笔、糖，还是同学分组，这么多不同的事都能用同一道数学算式来表示，你有什么感受？

生1：我觉得数学算式很神奇！

生2：数学算式很了不起！

【思考】上述教学中，先是让学生再次经历分物过程的数学化，并将“有余数的除法”模型由“包含除”迁移到“等分除”。接着，借助“编故事、举例子”，将“有余数的除法”模型由“分铅笔”迁移拓展到“分书本”“分糖”“分组”……体现了由数学抽象返回生活原型寻找意义的过程。更难得的是，能够让二年级的学生真正感悟出“数学算式很神奇”“数学算式很了不起”，其价值远远胜过掌握几个知识点。