林伟 罗朝举 陈峥嵘

[摘   要]“思意数学”以问题引路，以“思”为魂，以“意”为核，旨在 “融思之规律、意之方法、思意于一体”.文章通过探索数学概念课教学方式，构建“思意数学”概念课教学模式，从而有效提高数学教学质量.

[关键词]思意数学;概念课;教学模式

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）17-0017-05

“思意数学”概念课通过各种教学形式、手段，对研究对象的本质属性进行揭示和概括，引导学生理解研究对象的共同属性，进一步认识和理解概念的内涵与外延.

一、“思意数学”概念课教学模式

概念课的教学模式，是通过“问题情境，引入概念——激學导思，形成概念——引议释疑，理解概念——点拨提高，深化概念——精讲精练，应用概念——归纳自结，升华概念”六个环节来实现（如图1所示）.

二、“思意数学”概念课教学实施

（一）问题情境，引入概念，开启思维

教师根据课标和教材要求，为学生创设生动形象的教学情境，根据概念类型、设计概念引入.学生依据教师创设的问题，自主尝试，感性体验，激发动机，思考问题，开启思维.

（二）激学导思，形成概念，交流思维

在这一环节中，当学生根据教师创设的问题情境，学生自主创新学习的过程，学生自主归纳、概括、抽象形成概念.在自主探索过程中遇到困难时，教师应适当启发点拨和创造性地引导学生“探究”，鼓励学生“质疑”.在学生自主学习、小组讨论、集体交流的过程中，交流思维.

（三）引议释疑，理解概念，提升思维

教师对抽象概念过程中出现差错的学生，进行解惑和适度的评价.学生积极参与，双向交流，自由发表意见，提升思维.

（四）点拨提高，深化概念，优化思维

教师通过辨析变式和等价变式，让学生对概念进一步深化的理解.学生根据教师设计概念等价深化变式，积极调动原有知识，与新学概念进行比较、分析，逐步形成新的知识结构与知识系统，通过自主思考、小组讨论等形式，对概念进行更深层次的认识和把握，优化思维.

（五）精讲精练，应用概念，拓展思维

教师根据学习目标和学生交流中所反馈的信息，精心选编题目，让学生在解答、变式、探索中，深化对概念的理解，促进认知结构的内化.

（六）归纳自结，升华概念，发展思维

师生对课堂教学内容及方法做适当的总结，对研究问题的方法进行回顾、反思，使学生对所学概念、方法的认识得以升华，建立新知识体系，从而全面实现教学目标，发展思维，形成能力.

三、“思意数学”概念课教学实践

下面以《古典概型》为例进行实践与探索.

（一）目标和目标解析

知识与技能目标：

1.理解基本事件的概念及其特点.

2.理解古典概型及其概率计算公式.

3.会用列举法、树状图、列表法计算一些随机事件所包含的基本事件个数及事件发生的概率.

过程与方法目标：

观察各个试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，学习掌握列举法、树状图、列表法等数学方法，学会运用转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想、集合的思想解决概率的计算问题.

情感态度与价值观目标：

通过小组合作探究，感受合作的重要性以及实事求是的科学态度.鼓励学生通过观察、类比，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，提高学生数学思维能力.

（二）教学过程

1.创设情境，引入概念，开启思维

师：上节课我们学习了随机事件及其概率，我们来看下面的问题.

问题1：在一个不透明的容器中装有标号分别为1，2，3的三个黄色乒乓球和标号为4，5，6，7的四个白色乒乓球，现从中任取一个球，那么事件“取出的球是黄色”发生的概率是多少？

问题2：如何解决问题1？你的方法可行吗？为什么？

设计意图：用学生刚刚学过的随机事件的概率知识来引入古典概型的教学，将内容放在学生思维的最近发展区，符合学生的认知特点.概念引入时的情境设计以学生熟悉的生活实例为背景，容易引起学生的兴趣，激发学生的求知欲望，开启学生思维，提高他们探究新知识的积极性.

师生活动：

生1：事件“取出的球是黄色”发生的概率是[47].

师：为什么？

生1：不清楚，我猜的.

师：我们学习数学知识不能仅靠猜测，还需要有严谨的推理论证过程.可否结合我们前面所学知识解决呢？

生2：根据前面所学的知识，我们需要用大量重复的随机试验，多次抽取、观察并计算“取出的球是黄色”这个事件的频率，再用事件发生的频率的稳定值进行估计.

生3：这个方法可行，也很方便，但是工作量太大，不能保证试验结果的稳定性.

师：我们有没有更为简便易行，工作量不大，结果准确，或者说试验结果稳定的求概率的方法呢？

2.激学导思，形成概念，交流思维

问题3：掷一枚质地均匀的硬币一次，会出现哪几种结果？

问题4：掷一枚质地均匀的骰子一次，观察向上的点数，会出现哪几种结果？

问题5：从标号为[a， b， c， d]的四个球中任意取出两个，会出现哪几种结果？

设计意图：从学生熟悉的实例入手研究，有助于学生建立新的知识体系.另外，对基本事件特点的准确把握，有利于学生进一步归纳古典概型的特点及利用古典概型求事件发生概率的步骤.

师生活动：

生1：掷一枚质地均匀的硬币一次，会出现“正面朝上” “反面朝上”两种结果.

生2：掷一枚质地均匀的骰子一次，观察向上的点数，会出现“1点” “2点” “3点” “4点” “5点” “6点”六种结果.

生3：问题5可用树状图（如图2）来表示.

从标号为[a， b， c， d]的四个球中任意取出两个，会出现[a， b]，[a， c]，[a， d]，[b， c]，[b， d]，[c， d]六种结果.

师：当结果比较多时，如何确定你的结果的准确性？

生4：可以采用树状图、列表法、棋盘图的形式.

师：回答得非常好.

师：在问题3的试验中，结果只有两个，即“正面朝上” “反面朝上”.它们都是随机事件;在问题4的试验中，所有可能的试验结果只有6个，它们都是随机事件;在问题5的试验中，所有可能的试验结果只有6个，它们也都是隨机事件.我们把这类随机事件称为基本事件.

基本事件有如下特点：

（1）任何两个基本事件是互斥的;

（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.

3.引议释疑，理解概念，提升思维

问题6：在掷骰子的试验中，随机事件 “2点”和“4点”能同时发生吗？为什么？

问题7：在掷硬币的试验中，如何用基本事件表示必然事件？

问题8：在掷骰子的试验中，随机事件“出现偶数点”包含哪几个基本事件？发生的概率是多少？为什么？

问题9：在从标号为[a， b， c， d]的四个球中任意取出两个的试验中，随机事件“球[a]被取出”包含哪几个基本事件？发生的概率是多少？为什么？

问题10：观察对比，以上三个试验的共同点是什么？

设计意图：用一系列问题进行辨析，为学生解决疑难问题，进一步学习古典概型打下基础.从问题的辨析和概念的逐步抽象过程中，引导学生正确理解基本事件的概念.

师生活动：

生1：根据基本事件的特点，任何两个基本事件都是互斥的，所以在掷骰子的试验中，随机事件 “2点”和“4点”不可能同时发生.

生2：在掷硬币的试验中，必然事件由“正面朝上”和“反面朝上”两个基本事件组成.

生3：在掷骰子的试验中，随机事件“出现偶数点”包含基本事件“2点”“4点” “6点”，发生的概率为[12]，是因为向上的点数为奇数和偶数的可能性相同，各占一半.

生4：在从标号为a，b，c，d的四个球中任意取出两个的试验中，随机事件“球[a]被取出”包含3个基本事件，分别为[a， b]，[a， c]，[a， d]，发生的概率是[12]，因为球[a]被取出和不被取出可能性相同.

对于问题10，学生陷入沉默中.

师：大家可以结合前面学习的一些概率试验，相互交流讨论一下.

学生深入讨论后回答.

生5：以上试验中所有可能出现的基本事件的个数只有有限个;每个基本事件出现的可能性都相等.

师：回答得非常好，上述试验的共同特点是：（1）试验中所有可能出现的基本事件的个数只有有限个;（2）每个基本事件出现的可能性都相等.我们将具有这两个特点的概率模型叫作古典概率模型，简称古典概型.

问题11：以下概率模型是否为古典概型？

（1）从集合[x∈R1

（2）掷一枚质地不均匀的骰子一次，观察向上的点数.

设计意图：问题11的设计是为了让学生更加准确地理解与把握古典概型的两个基本特征.对于突破教学难点，即如何判断一个试验是否为古典概型提供帮助.

师生活动：

生1：（1）不是古典概型，因为试验中基本事件的个数是无限个.

生2：（2）不是古典概型，因为试验中每个基本事件发生的可能性不相等.

师：古典概型有两个特点，简单地说是有限性和等可能性.

4.点拨提高，深化概念，优化思维

师：请同学们分组填写表1，结合表格数据，尝试归纳出古典概型的计算公式.

设计意图：以表格形式给出思维发展的过程，使得学生在表格填写过程中经历从具体到抽象、从特殊到一般的抽象概括活动，思维得到锻炼，能力得到提高.

师生活动：学生按学习小组，填表、讨论归纳得出古典概型的概率计算公式，并总结求古典概型下随机事件概率需要具备的条件.

生1：掷一枚质地均匀的硬币一次的试验中，基本事件有“正面向上”“反面向上”.基本事件总数为2，事件A包含的基本事件个数为1，事件A发生的概率为[12].

生2：掷一枚质地均匀的骰子一次的试验中，基本事件有“1点” “2点” “3点” “4点” “5点” “6点”. 基本事件总数为6，事件A包含的基本事件个数为4，事件A发生的概率为[23].

生3：问题5的试验中，基本事件有[a， b]，[a， c]，[a， d]，[b， c]，[b， d]，[c， d].基本事件总数为6，事件A包含的基本事件个数为3，事件A发生的概率为[12].

师：发现什么规律没有？

生4：由上面的表格可以看出，对于古典概型，事件A发生的概率为：

[P（A）=A包含的基本事件的个数基本事件的总数].

师：对于古典概型，任何事件的概率都满足上面的公式吗？

生5：我们认为应该是.

师：好.我们可以看出求古典概型中事件发生概率的基本步骤有哪些？

生6：第一步，根据古典概型的两个特点，判定试验是否为古典概型;第二步，计算总的基本事件个数;第三步，计算事件A包含的基本事件个数;第四步，代入公式计算.

师：在使用古典概型的概率公式時，首先要判断所用概率模型是不是古典概型.

5.精讲训练，应用概念，拓展思维

问题12（口答）：单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A、B、C、D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案.假设考生不会做，他随机地选择一个答案，问他答对的概率是多少？

问题13：假设他用所学知识排除了[C]答案，那么他答对的概率是多少？

问题14：假设有20道单选题，如果有一个考生答对了17道，他是随机选择的可能性大，还是他掌握了一定的知识的可能性大？

问题15：新课程改革背景下，数学科考试中出现了多项选择题，这种题型不容易得满分，为什么？

设计意图：题目来源于学生最熟悉的考试中选择题的得分问题，贴近学生生活实际，是学生愿意思考的问题.让他们理解数学来源于生活，并且服务于生活.通过对问题及其变式的探讨，使学生进一步理解古典概型的两个特征.

师生活动：学生讨论后回答，教师适当点评.

生1：问题12，他答对的概率为[14].

师：谁能用今天学习的古典概型的知识解释一下？

生2：当这位考生在不会做的情况下，他随机选择四个答案（有限性）中任意一个是等可能的（等可能性），所以符合古典概型的两个特点.基本事件的总数是4，事件“选对答案”包含的基本事件个数是1，所以事件“选对答案”的概率是[14].

师：回答得非常好.

生3：问题13，假设他用所学知识排除了C答案，那么他答对的概率是[13].解释跟问题12类似.

师：由此看来，排除法也是我们解选择题的一种方法.

生4：问题14，假设有20道单选题，如果有一个考生答对了17道，他掌握了一定的知识的可能性比较大.因为如果他随机选择，每一题答对的概率都是[14].20道题，他答对的题数可能是5道，但是他答对了17道，说明他掌握了一定知识的可能性比较大.

师：回答得非常棒！

生5：多项选择题不容易得满分.这类题目一般有A、B、C、D四个选项，所有可能的基本事件有[A， B]，[A， C]，[A， D]，[B， C]，[B， D]，[C， D]，[A， B， C]，[A， B， D]，[A， C， D]，[B， C， D]，[A， B， C， D]，共11个，而正确答案只有一个，得满分的基本事件只有1个，得满分的概率为[111]，所以说多项选择题不容易得满分.

师：分析得很到位.

[例1]同时掷两枚质地均匀的骰子，计算向上的点数之和是5的概率是多少？

设计意图：利用实例引导学生理解古典概型的两个特点，进而把一些实际问题转化为古典概型来计算概率，深化巩固对古典概型及其概率计算公式的理解.

师生活动：师生共同分析，利用刚刚学习的利用古典概型求概率的步骤来解决问题.教师引导学生利用树状图、列表法，形象直观地列出所有基本事件，做到不重不漏.学生自己解答，教师巡视.

师：我们可以根据利用古典概型求概率的步骤来解决这个问题，同学们尝试把这道题目分解为三个小问题.

生1：可以分解为三个小问题：（1）同时掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数这个试验是不是古典概型？（2）基本事件总数是多少？（3）向上的点数之和是5这个事件包含的基本事件个数是多少？

师：好的，下面我们围绕分解的这三个小问题进行分析讨论.

生2：我认为这个试验不是古典概型，因为虽然试验满足有限性，但是不满足等可能性.

师：解释一下你的结论.

生2：可以用树状图来解释.

共有21个基本事件，但是每一个基本事件出现的可能性是不同的，如1-1包含的基本事件只有一个，而1-2，2-1则有两个.

师：你认为1-2和2-1是同一种结果.外表相同的骰子有没有区别呢？

学生陷入疑惑中.

生3：我们组认为这个试验是古典概型，可以用列表法来解释.

把两个骰子分别标记为1号骰子和2号骰子，因为试验包含的基本事件有36个，满足有限性，而且每个基本事件发生的可能性是相等的，都是[136].

师：从刚才两个小组同学的回答，我们看到，用古典概型计算概率时，一定要先判断所给试验是否为古典概型.

解：掷一个骰子的结果有6种.我们把两个骰子标上记号1，2以便区分，由于1号骰子的每一个结果都可与2号骰子的任意一个结果配对，组成同时掷两个骰子的一个结果，因此同时掷两个骰子的结果共有36种，向上的点数之和为5的结果（记为事件[A]）有4种.

由于所有36种结果是等可能的，因此，由古典概型的概率计算公式可得

[P（A）=436=19].

6.归纳自结，升华概念，形成能力

问题16：基本事件有什么特点？

问题17：古典概型有哪些特点？古典概型的概率计算公式是什么？

问题18：求古典概型中事件发生概率的基本步骤有哪些？

设计意图：通过小结回顾，将学生在本节课学习的知识融入自身的知识系统中.

师生活动：师生共同归纳总结本节课所学知识.

生1：基本事件有两个特点：（1）任何两个基本事件是互斥的;（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.

生2：古典概型有两个特点：（1）试验中所有可能出现的基本事件的个数只有有限个;（2）每个基本事件出现的可能性都相等.

古典概型的概率计算公式：

[P（A）=A包含的基本事件的个数基本事件的总数].

生3：求古典概型中事件發生概率的基本步骤：第一步，根据古典概型的两个特点，判定试验是否为古典概型;第二步，计算总的基本事件个数;第三步，计算事件[A]包含的基本事件个数;第四步，代入公式计算.

（三）目标检测设计

1.课堂检测

（1）假设储蓄卡的密码由6个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9十个数字中的任意一个.假设一个人忘记了自己的储蓄卡密码的后四位，问他到自动取款机上随机试一次就能取到钱的概率是多少？

（2）同时抛掷三枚均匀的硬币，会出现几种结果？求 “至多出现两枚正面向上”的事件的概率.

设计意图：让学生进一步掌握古典概型及其概率公式，并能够学以致用，加深对本节课的理解.

2.课后检测

A，B，C，D 4名学生按照任意次序站成一排照相，试求事件“A，B都不在边上”的概率.

设计意图：在理解掌握古典概型及其概率公式的基础上，学生能够自行探索较为简单的排列组合问题，列举基本事件时做到考虑全面，不重不漏.

四、教学反思

本节课的教学以问题为主线，学生围绕问题不断思考、交流、概括、归纳，从而获取新知识，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.

（一）对教学内容反思

本节课是围绕古典概型的概念、特征及其概率计算，会判断那些随机事件为古典概型的探索是教学重点，所以对于基本事件个数的复杂计算不做探讨.为了让学生能把握判断的关键，从大量实例反复推敲、比较，螺旋式上升，稳扎稳打，落实重点.

（二）培养合情推理和合理应用的意识

关注古典概型知识的合情推理，即它是现实生活中普遍存在的一种概型，通过学生举例，发现这种概率模型在我们身边随处可见，研究它有广泛的意义.另外，公式只在古典概型下适用，问问学生这一点在哪里体现，回顾古典概型的两个特点，完善知识体系，在逻辑上明确合理性.

（三）反思预设与生成

学生一直都有事做，思维一直保持活跃，热情不能冷却，这些都是预设的期望.在教学设计时，保证在学生思维的最近发展区提问和组织教学活动，为学生搭建思维的台阶.但是学生的思维是有区别的，如果教师搭建的台阶都一般高，那显然不能够因材施教，因此教师要有角度看问题和问问题.这就像面对一个多面体，角度不同，生成的也就不同.

（责任编辑 黄桂坚）