马驰骋 周继磊 许英姿 王延遐

摘 要 通过将材料力学理论与线性代数课程交叉教学，建立两门课程间的知识联系。以材料力学中的应力分析章节为具体依托，探讨了两门课程中的知识点交叉，强化了学生对材料力学中主应力的理解，又赋予线性代数中特征值和特征向量以物理意义，最终达到提升教学效果和激发学生创新性思维的目的。

关键词 材料力学 线性代数 交叉 主应力 特征值

中图分类号：G424                                  文献标识码：A    DOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2021.10.036

Abstract Through the cross teaching of mechanics of materials and linear algebra， the knowledge connection between the two courses is established. Based on the chapter of stress analysis in mechanics of materials， this paper discusses the intersection of knowledge points in the two courses， strengthens students' understanding of principal stress in mechanics of materials， and endows eigenvalues and eigenvectors in linear algebra with physical meaning， so as to improve teaching effect and stimulate students' innovative thinking.

Keywords material mechanics; linear algebra; cross; principal stress; characteristic value

0 引言

力學的相关课程是与数学联系最为紧密的课程，力学同时也是连接工程的主要桥梁。相对于其他课程而言，材料力学的知识点庞杂，新概念新名词多。例如弹性模量、泊松比、应力、应变、压杆失稳等名词都是学生首次接触。如何将各类力学概念直观地表达出来，让学生易于接受是目前材料力学教学中的一个挑战。基本力学概念的不清晰对知识点的学习和力学公式的应用都会带来影响。例如材料力学应力状态分析章节的学习，[1，2]对大多数同学来说是一个难点。这一章以纯粹的力学模型——应力单元体为研究对象，通过数学推导建立任意方向面上的应力计算公式，并推广出主应力等概念。复杂烦琐的公式推导造成学生学习兴趣不高而且教学效果差。

线性代数课程也存在同样的问题，大量的新名词如行列式、矩阵、秩……让学生在学习过程中缺乏现实生活的对照，导致学生的学习兴趣和学习主动性低。虽然同学们对线性代数中特征值和特征向量等概念已经有了清楚的认识。[3]但是由于学习过程中，没有明确的分析对象，学生对这些基本概念感到非常困惑，因此教学效率相对较低。

与线性代数课程相关知识点的交叉，是笔者所在的教学部的一个重要改革方向。本论文依托材料力学中主应力和线性代数中特征值的对应关系，介绍了这两门课程中的交叉教学，在工程力学、材料力学的学习中，回顾线性代数的知识交叉，深化学生对力学知识和数学知识的理解。[4-5]首先介绍了材料力学的教学难点及与线性代数的交叉教学意义，然后建立了材料力学中任意截面上应力计算与线性代数中坐标变换的关系，分析了主应力/主应力方位与特征值/特征向量的对应关系，最后通过两个教学案例给出了详细的说明。

1 交叉知识点

浙江大学刘鸿文教授的《材料力学》中应力状态分析安排在第7章，位于基本变形和组合变形章节中间，而哈尔滨工业大学的张少实教授的《新编材料力学》将应力状态分析放在了绪论之后。可见应力状态分析这一章的内容既可以是求解工具（刘版），也能是提纲挈领的点睛之笔（张版）。倘若开展材料力学和线性代数的交叉教学，笔者建议采用张老师的新编材料力学教材。下面我们着重介绍在相关的教学实践中建设的材料力学-线性代数交叉教学设计。

1.1 任意截面上应力计算与坐标变换

实验发现，铸铁的压缩破坏发生在与横截面成45？55凹薪堑男苯孛嫔希呐ぷ苹捣⑸谟牒峤孛娉？5凹薪堑穆菪孛嫔稀T谥嵯蚶贡湫魏团ぷ湫蔚难爸校嵯蚶贡湫沃泻峤孛嫔险αψ畲螅ぷ湫沃泻峤孛孀钔獠嗟那杏αψ畲螅吞几值钠苹悼梢缘玫嚼砺弁昝赖慕馐汀N裁粗难顾跗苹岛团ぷ苹刀际欠⑸谛苯孛嫔夏兀？

展开公式（4）可以直接得到公式（1-3）。需要注意的是，材料力学中切应力有正负，但是写成矩阵的形式应该遵循弹性力学的原则，即矩阵是对称的。

1.2 主应力/主应力方位与特征值/特征向量

通过公式（2）可以计算应力的极值和对应的 角度，具体推导可以参考刘鸿文老师的材料力学。在学习中，学生往往通过机械记忆的方法将这几组公式记在脑海中，然后在考试中生搬硬套，极少有学生能够自己按照静力学平衡的思路推导建立这几组公式。我们在这里直接给出最大应力和最小应力的表达式：

对比公式（5）和公式（9），可以发现两者结果是完全一致的，而特征向量和截面的方位角恰好也是对应的，说明材料力学和线性代数的这几个知识点完全可以交叉。并且在上课的过程中，教师可以利用MATLAB中“ [V，D] =eig（A）”演示，[7]其中V和D分别表示特征向量和特征值。既能够促进学生对相关知识点的理解和掌握，还可以强化计算机辅助教学，让学生“学有所用，用有所依”，而不是仅仅被灌输干涩的知识。

2 材料力学与线性代数的交叉教学案例

利用线性代数知识分析这个问题，将应力写成矩阵形式：

根据线性代数的知识，可以得到上述矩阵的特征向量和特征值为 1=320.71MPa和 2=179.29MPa，即应力张量矩阵的特征恰好是主应力。特征向量可以计算得到：e1=[-0.9239，0.3827]和e2=[-0.3827， -0.9239]。最大正应力沿着与垂直的方向，最小正应力沿着与e2的方向，因为两个特征值都大于零，因此都沿着截面法线向外。

综上所述，材料力学中的主单元体就是通过坐标转换，把应力单元体旋转到一个特定的角度，恰好上面只有对角线的应力，即正应力，这个正应力对应着矩阵的特征值，而特定的角度对应着矩阵的特征向量。

3 结论

交叉课程内容，扩展课程背景，是目前教学改革和课程建设的一个重要方向。本文针对材料力学和线性代数的两门课程的知识点交叉教学展开了探讨，建立了材料力学和线性代数知识点之间的联系，凝练了相应的教学案例，具有重要的理論实践意义。在材料力学应力状态的学习阶段，针对主应力，主应力的方位联系线性代数中的特征值和特征向量，并利用线性代数中的坐标变换解释了材料力学中任意方向上的应力计算。通过两门课程知识的交叉，对同学们理解这些数学定义和力学物理概念有重要的意义。经过多年的教学实践，发现两门课程的知识交叉讲解，可以有效地提高学生的学习兴趣，着重锻炼了学生利用材料力学和线性代数解决工程问题的能力。也期望本文介绍的知识交叉能够抛砖引玉，促进“材料力学”课程教学的部分内容的教学变革探索和实践。

基金项目：国家自然科学基金青年基金，柔性多体时变参数系统振动主被动控制技术（11702162），教育部高教司2018年第一批产学合作协同育人项目，弯曲梁正应力电测实验可视化技术研究（201801098024），材料力学实验教学有限元辅助资源建设（201801098005）

参考文献

[1] 刘鸿文.材料力学.I.[M].高等教育出版社，2017.

[2] 张少实，王春香.新编材料力学[M].机械工业出版社，2013.

[3] 刘三阳，马建荣，杨国平.线性代数（第二版）[M].高等教育出版社，2005.

[4] 郭空明，徐亚兰，朱应敏.线性代数线性方程组教学中的一个实用力学案例[J].教育教学论，2020（09）：266-267.

[5] 郭空明，章云，徐亚兰.对高校工程力学课程的多方位思考[J].教育教学论坛，2016（37）：195-196.

[6] 刘建林.工程力学中的张量分析[M].科学出版社，2018.

[7] 周建兴.MATLAB从入门到精通[M].人民邮电出版社，2008.